1第二節冪級數一、冪級數的概念二、冪級數的斂散性三、冪級數的運算和性質四、典型例題五、小結與思考1第二節冪級數一、冪級數的概念二、冪級數的斂散性三、冪2一、冪級數的概念1.復變函數項級數定義其中各項在區域

D內有定義.表達式稱為復變函數項級數,記作

2一、冪級數的概念1.復變函數項級數定義其中各項在區域D內3稱為這級數的部分和.級數最前面n項的和和函數3稱為這級數的部分和.級數最前面n項的和和函數4稱為該級數在區域D上的和函數.如果級數在D內處處收斂,那末它的和一定4稱為該級數在區域D上的和函數.如果級數在D內處處收斂,那52.冪級數當或函數項級數的特殊情形或這種級數稱為冪級數.52.冪級數當或函數項級數的特殊情形或這種級數稱為冪級數.6二、冪級數的斂散性1.收斂定理(阿貝爾Abel定理)如果級數在收斂,那末對的級數必收斂且絕對收斂,如果在級數發散,那末對滿足的級數必發散.滿足6二、冪級數的斂散性1.收斂定理(阿貝爾Abel定理)如果級7證由收斂的必要條件,有因而存在正數M,使對所有的n,7證由收斂的必要條件,有因而存在正數M,使對所有的8而由正項級數的比較判別法知:收斂.另一部分的證明請課后完成.[證畢]8而由正項級數的比較判別法知:收斂.另一部分的證明請課后完成92.收斂圓與收斂半徑對于一個冪級數,其收斂的情況有三種:(1)對所有的正實數都收斂.由阿貝爾定理知:級數在復平面內處處絕對收斂.92.收斂圓與收斂半徑對于一個冪級數,其收斂的情況有三種10(2)對所有的正實數除z=0外都發散.此時,級數在復平面內除原點外處處發散.(3)存在正實數R,使得|z|<R時級數絕對收斂使得|z|>R時級數發散10(2)對所有的正實數除z=0外都發散.此時,級數11.收斂圓收斂半徑冪級數的收斂范圍是以原點為中心的圓域.11.收斂圓收斂半徑冪級數的收斂范圍是以原點為中心的圓域.12答案:冪級數的收斂范圍是何區域?問題1:在收斂圓周上是收斂還是發散,不能作出一般的結論,要對具體級數進行具體分析.注意問題2:冪級數在收斂圓周上的斂散性如何?12答案:冪級數的收斂范圍是何區域?問題1:133.收斂半徑的求法方法1:比值法那末收斂半徑133.收斂半徑的求法方法1:比值法那末收斂半徑14方法2:根值法那末收斂半徑說明:(與比值法相同)如果14方法2:根值法那末收斂半徑說明:(與比值法相同)如果15三、冪級數的運算和性質1.冪級數的有理運算15三、冪級數的運算和性質1.冪級數的有理運算162.冪級數的代換(復合)運算如果當時,又設在內解析且滿足那末當時,說明:此代換運算常應用于將函數展開成冪級數.162.冪級數的代換(復合)運算如果當時,又設在內解析且滿17定理四設冪級數的收斂半徑為那末(2)在收斂圓內的導數可將其冪級數逐項求導得到,是收斂圓內的解析函數

.(1)3.復變冪級數在收斂圓內的性質17定理四設冪級數的收斂半徑為那末(2)在收斂圓內的導數可將18(3)在收斂圓內可以逐項積分,簡言之:在收斂圓內,冪級數的和函數解析;冪級數可逐項求導,逐項積分.(常用于求和函數)即18(3)在收斂圓內可以逐項積分,簡言之:在收斂圓內,19四、典型例題例1

求冪級數的收斂范圍與和函數.解級數的部分和為19四、典型例題例1求冪級數的收斂范圍與和函數.解級數的20級數收斂,級數發散.且有收斂范圍為一單位圓域由阿貝爾定理知:在此圓域內,級數絕對收斂,收斂半徑為1,20級數收斂,級數發散.且有收斂范圍為一單位圓域由阿貝爾定理21解所以例2求的收斂半徑.21解所以例2求的22例3把函數表成形如的冪級數,其中是不相等的復常數.解把函數寫成如下的形式:代數變形,使其分母中出現湊出22例3把函數表成形如的冪級數,其中是不相等的復常數.解23級數收斂,且其和為23級數收斂,且其和為24例4求級數的收斂半徑與和函數.解利用逐項積分,得:所以24例4求級數的收斂半徑與和函數.解利用逐項積分,得:25例5計算解25例5計算解26第二節冪級數一、冪級數的概念二、冪級數的斂散性三、冪級數的運算和性質四、典型例題五、小結與思考1第二節冪級數一、冪級數的概念二、冪級數的斂散性三、冪27一、冪級數的概念1.復變函數項級數定義其中各項在區域

D內有定義.表達式稱為復變函數項級數,記作

2一、冪級數的概念1.復變函數項級數定義其中各項在區域D內28稱為這級數的部分和.級數最前面n項的和和函數3稱為這級數的部分和.級數最前面n項的和和函數29稱為該級數在區域D上的和函數.如果級數在D內處處收斂,那末它的和一定4稱為該級數在區域D上的和函數.如果級數在D內處處收斂,那302.冪級數當或函數項級數的特殊情形或這種級數稱為冪級數.52.冪級數當或函數項級數的特殊情形或這種級數稱為冪級數.31二、冪級數的斂散性1.收斂定理(阿貝爾Abel定理)如果級數在收斂,那末對的級數必收斂且絕對收斂,如果在級數發散,那末對滿足的級數必發散.滿足6二、冪級數的斂散性1.收斂定理(阿貝爾Abel定理)如果級32證由收斂的必要條件,有因而存在正數M,使對所有的n,7證由收斂的必要條件,有因而存在正數M,使對所有的33而由正項級數的比較判別法知:收斂.另一部分的證明請課后完成.[證畢]8而由正項級數的比較判別法知:收斂.另一部分的證明請課后完成342.收斂圓與收斂半徑對于一個冪級數,其收斂的情況有三種:(1)對所有的正實數都收斂.由阿貝爾定理知:級數在復平面內處處絕對收斂.92.收斂圓與收斂半徑對于一個冪級數,其收斂的情況有三種35(2)對所有的正實數除z=0外都發散.此時,級數在復平面內除原點外處處發散.(3)存在正實數R,使得|z|<R時級數絕對收斂使得|z|>R時級數發散10(2)對所有的正實數除z=0外都發散.此時,級數36.收斂圓收斂半徑冪級數的收斂范圍是以原點為中心的圓域.11.收斂圓收斂半徑冪級數的收斂范圍是以原點為中心的圓域.37答案:冪級數的收斂范圍是何區域?問題1:在收斂圓周上是收斂還是發散,不能作出一般的結論,要對具體級數進行具體分析.注意問題2:冪級數在收斂圓周上的斂散性如何?12答案:冪級數的收斂范圍是何區域?問題1:383.收斂半徑的求法方法1:比值法那末收斂半徑133.收斂半徑的求法方法1:比值法那末收斂半徑39方法2:根值法那末收斂半徑說明:(與比值法相同)如果14方法2:根值法那末收斂半徑說明:(與比值法相同)如果40三、冪級數的運算和性質1.冪級數的有理運算15三、冪級數的運算和性質1.冪級數的有理運算412.冪級數的代換(復合)運算如果當時,又設在內解析且滿足那末當時,說明:此代換運算常應用于將函數展開成冪級數.162.冪級數的代換(復合)運算如果當時,又設在內解析且滿42定理四設冪級數的收斂半徑為那末(2)在收斂圓內的導數可將其冪級數逐項求導得到,是收斂圓內的解析函數

.(1)3.復變冪級數在收斂圓內的性質17定理四設冪級數的收斂半徑為那末(2)在收斂圓內的導數可將43(3)在收斂圓內可以逐項積分,簡言之:在收斂圓內,冪級數的和函數解析;冪級數可逐項求導,逐項積分.(常用于求和函數)即18(3)在收斂圓內可以逐項積分,簡言之:在收斂圓內,44四、典型例題例1

求冪級數的收斂范圍與和函數.解級數的部分和為19四、典型例題例1求冪級數的收斂范圍與和函數.解級數的45級數收斂,級數發散.且有收斂范圍為一單位圓域由阿貝爾定理知:在此圓域內,級數絕對收斂,收斂半徑為1,20級數收斂,級數發散.且有收斂范圍為一單位圓域由阿貝爾定理46解所以例2求的收斂半徑.21解所以例2求的47例3把函數表成形如的冪級