第一課時 1。1.1 命題及其關系（一）教學要求：了解命題的概念，會判斷一個命題的真假，并會將一個命題改寫成“若p，則q”的形式。教學重點：命題的改寫.教學難點：命題概念的理解。教學過程:一、復習準備：閱讀下列語句，你能判斷它們的真假嗎？（1）矩形的對角線相等；（2）312；（3)312嗎？（4)8是24的約數；兩條直線相交，有且只有一個交點；他是個高個子。二、講授新課：教學命題的概念：①命題：可以判斷真假的陳述句叫做命題（proposition）.也就是說,判斷一個語句是不是命題關鍵是看它是否符合“是陳述句"和“可以判斷真假”這兩個條件.上述6個語句中,（1）（2）（4）（5）(6)是命題。②真命題：判斷為真的語句叫做真命題（trueproposition）；假命題：判斷為假的語句叫做假命題（falseproposition).上述5個命題中，（2)是假命題,其它4個都是真命題。③例1：判斷下列語句中哪些是命題？是真命題還是假命題?(1）空集是任何集合的子集；（2)若整數a是素數，則a是奇數；（3)2小于或等于2；（4)對數函數是增函數嗎?（5）2x15；(6）平面內不相交的兩條直線一定平行;明天下雨。(學生自練個別回答教師點評）④探究：學生自我舉出一些命題，并判斷它們的真假。將一個命題改寫成p，則q”的形式：①例1中的（2）就是一個“若p，則q”的命題形式，我們把其中的p叫做命題的條件，q叫做命題的結論.②試將例1中的命題（6)改寫成“若p，則q"的形式。③例2:將下列命題改寫成“若p，則q”的形式.（1）兩條直線相交有且只有一個交點；（2)對頂角相等；(3）全等的兩個三角形面積也相等.（學生自練個別回答教師點評）小結：命題概念的理解，會判斷一個命題的真假，并會將命題改寫“若p，則q的形式。三、鞏固練習:1。練習：教材P4 、、3 。作業：教材P9 第1題第二課時 1。1。2 命題及其關系（二）教學要求第1頁（57頁)關系。教學重點:四種命題的概念及相互關系。教學難點：四種命題的相互關系.教學過程:一、復習準備：指出下列命題中的條件與結論，并判斷真假:矩形的對角線互相垂直且平分；yx23x2.二、講授新課：1.教學四種命題的概念：原命題 逆命題若p，則q 若q，則p

否命題若p，則q

逆否命題若q①寫出命題“菱形的對角線互相垂直"的逆命題、否命題及逆否命題，并判斷它們的真假.（師生共析學生說出答案教師點評）例1：(1）同位角相等，兩直線平行；;.（學生自練個別回答教師點評）2。教學四種命題的相互關系：①討論：例1中命題（2）與它的逆命題、否命題、逆否命題間的關系.②四種命題的相互關系圖：原命題 互 若p則q 互

逆命題若q則p互 為 逆否 互否否命題

逆 否為否為互 逆否命題若┐p則┐q 互

若┐q則┐p③討論：例1中三個命題的真假與它們的逆命題、否命題、逆否命題的真假間關系。④結論一：原命題與它的逆否命題同真假；結論二：兩個命題為互逆命題或互否命題,它們的真假性沒有關系.2p2q22pq2.（利用結論一來證明(教師引導學生板書教師點評）3。小結：四種命題的概念及相互關系。三、鞏固練習:(1)yx23x2若abacbc；(3）x2y20xy0；（4）;（5）相切兩圓的連心線經過切點。作業：教材P9頁 第2（2)題 P10頁 第3(1）題1。2充分條件和必要條件（1)【教學目標】從不同角度幫助學生理解充分條件、必要條件與充要條件的意義；第2頁（共57頁)結合具體命題，初步認識命題條件的充分性、必要性的判斷方法；培養學生的抽象概括和邏輯推理的意識．【教學重點】構建充分條件、必要條件的數學意義;【教學難點】命題條件的充分性、必要性的判斷．【教學過程】一、復習回顧命題：可以判斷真假的語句，可寫成：若p四種命題及相互關系：請判斷下列命題的真假：（1）xyx2

y2（2）x2

y2xy；（3）若x1，則x21; （4）若x21則x1二、講授新課1。推斷符號“”的含義：p，則qp成立，那么qpq";如果“若p，則q”為假，即如果p成立,那么qpq”。用推斷符號“和”寫出下列命題:⑴若ab，則acbc;⑵若ab，則acbc；2．充分條件與必要條件pq，那么稱pq充分條件；同時稱qp必要條件．如何理解充分條件與必要條件中的“充分"和“必要"呢？pqp必有q,所以pqqpq是p的必要條件說明沒有qpqp成立的必不可少的條件,但有p。充分性：的“若ppqq則非（即qp命題按條件和結論的充分性、必要性可分為四類：（1）充分必要條件(充要條件），即pq且qp;（2)充分不必要條,即pq且q p;必要不充分條件，即pq且qp；既不充分又不必要條件，即pq且q p．3．從不同角度理解充分條件、必要條件的意義(1）借助“子集概念”理解充分條件與必要條件。設B為兩個集集合AB是xAxBxAxBxB”是“xA”的必要條p則pq,若把p看做集合A,把q看做集合B“pqAB借助“電路圖”理解充分條件與必要條件。設“開關AABB12ABAB的必要條件。第3頁（共57頁)A B A C BC圖1A B圖3⑴若ab，則acbc；⑵若x0，則x20；⑶若兩三角形全等，則兩三角形的面積相等．三、例題1pq的什么條件．x10x1x20；

A 2C B圖4⑵p：兩直線平行，q:內錯角相等;：ab,：a2b2；⑷p：四邊形的四條邊相等，q:四邊形是正方形．四、課堂練習課本P8 練習1、、五、課堂小結1．充分條件的意義；2．必要條件的意義．六、課后作業：1。2充分條件和必要條件（2）[教學目標]：1．2．掌握判斷命題的條件的充要性的方法;[教學重點、難點］：理解充要條件的意義，掌握命題條件的充要性判斷．［教學過程］：一、復習回顧一般地，如果已知pq,那么我們就說p是q成立的充分條件，q是p的必要條件⑴“abc”是“cca0”的 充分不必要 條件．⑵若ab都是實數從①ab0②ab0③ab0④ab0⑤a2b20⑥a2b20中選出使ab都不為0的充分條件是 ①②⑤ ．二、例題分析活判斷．下面我們來看幾個充要性的判斷及其證明的例題．1．要注意轉換命題判定，培養思維的靈活性1xy2、y不都是1,pq的什么條件？分析:要考慮pq的什么條件，就是判斷“若p則”及“若q則p”的逆否命題是“若y都是1xy2"真的第4頁（共57頁)qxy2,則、y都是1pq的充分不必要條件注：當一個命題很難判斷其真假性時，我們可以從其逆否命題來著手．練習：已知x2x

2x2x1，則是的什么條件？3方法:p:2x2 q:1x23顯然是的的充分不必要條件方法二：要考慮是的什么條件,就是判斷“若則”及“若則“若則"等價于“若q則“若則”等價于“若p則故是的的充分不必要條件要注意充要條件的傳遞性，培養思維的敏捷性2MNP是PMQ條件？分析命題的充分必要性具有傳遞性MNPQ 顯然M是Q的充分不必要條件充要性的求解是一種等價的轉化3：求關于x的一元二次不等式ax21ax于一切實數x分析：求一個問題的充要條件，就是把這個問題進行等價轉化a0由題可知等價于a0

或

0a0或0a40a40充要性的證明4：證明:對于y，xy0是x2y20的必要不充分條件．必要性：對于、yR,如果x2y20則x0，y0 即xy0故xy0是x2y20的必要條件不充分性:對于x、yR，如果xy0，如x0，y1,此時x2y20故xy0是x2y20的不充分條件綜上所述：對于yR,xy0是x2y20的必要不充分條件．2x10；q：1mx1m0．若是m的取值范圍．解：由于是的必要不充分條件，則pq的充分不必要條件m2于是有 m9101m第5頁（共57頁)三、練習:）對于實數、y，x≠2y≠6”的什么條件．（充分不必要條件）已知ab0，求證：ab1的充要條件是：a3b3aba2b20。簡單的邏輯聯結詞（二）復合命題判斷復合命題真假的方法；教學難點：對“p或q”復合命題真假判斷的方法課 型新授課教學手段：多媒體一、創設情境?（錯誤的叫假命題）邏輯聯結詞是什么？（“這些詞叫做邏輯聯結詞）、“且構成的命題是復合命題）復合命題的構成形式是什么？p或q(記作“p∨q”）;p且q(記作“p∨q”)；非p(記作“┑q”）二、活動嘗試問題1:判斷下列復合命題的真假(1）8≥7（2）2是偶數且2是質數；（3）不是整數；解：(1）真；(2）真；（3)真；命題的真假結果與命題的結構中的p和q的真假有什么聯系嗎？這中間是否存在規律?三、師生探究“非p”形式的復合命題真假：例1：寫出下列命題的非，并判斷真假：p：方程x2+1=0p：存在一個實數x，使得(3）p：對任意實數x，均有（4）p：等腰三角形兩底角相等顯然，當p為真時，非p為假；當p為假時,非p為真．“pq”形式的復合命題真假：例2：判斷下列命題的真假：（1）正方形ABCD是矩形，且是菱形；（2）5是10的約數且是15的約數(3）5是10的約數且是8的約數（4）x2-5x=0的根是自然數所以得：當p、q為真時，p且q為真；當p、q中至少有一個為假時，p且q為假?！皃q":第6頁（共57頁)3：1015(2）5128的約數；（3)5是12的約數或是15的約數；（4）方程x2－3x—4=0的判別式大于或等于零、q中至少有一個為真時，pq、q都為假時，pq為假。四、數學理論“非p:當p為真時，非p為假；當p為假時，非p為真．（真假相反）p p真 假假 真“pq”形式的復合命題真假：當、q為真時，p且q為真； 當、q中至少有一個為假時，p且q為假.（一假必假）pqp且q真真真真假假假真假假假假“pq”形式的復合命題真假：當p、q中至少有一個為真時，p或q為真；當p、q都為假時，p或q為假.pqpqP或q真真真真假真假真真假假假注：1°像上面表示命題真假的表叫真值表；2°由真值表得：“非p”形式復合命題的真假與p的真假相反；“p且q"形式復合命題當pq;“p或q"形式復合命題當pq3°真值表是根據簡單命題的真假，判斷由這些簡單命題構成的表示“圓周率π表示“△ABC"pqpq的真假。4°介紹“或門電路”“與門電路”?；蜷T電路（) 與門電路（)第7頁（共57頁)五、鞏固運用例4：判斷下列命題的真假：（1)4≥3 對一切實數x2x10分析：（4）為例：第一步：把命題寫成“對一切實數x,x2x10或x2x10”是p或q形式第二步：其中p是“對一切實數x,x2x10”為真命題；q是“對一切實數x,x2x10”是假命題。第三步：因為pq由真值表得：“對一切實數x,x2x10”是真命題。例5：分別指出由下列各組命題構成的p或q、p且q、非p形式的復合命題的真假：（1）p：2+2=5； q：3>2（2)p：9是質數； q：8是12的約數；（3）p：1∈{1，2}； q：{1}{1，2}（4）p:｛0}； q：{0}解：①p或q:2+2=53>2;pq：2+2=53>2非p：2+25.∵p假q真，∴“pqq"為假，“非p.②p或q：9812q：9812;非p：9不是質數?！遬假q假，∴“pqq,“非p”為真。③p或q：1∈｛1,2｝或｛1，2｝；pq：1∈{1，2}且｛1}｛1,2}；非p：1｛1，2}?！遬真q真，∴“pqq”為真，“非p.④p或q：φ｛0}或φ=｛0｝；pq：φ{0}且φ={0｝;p:φ｛0｝.∵p真q假，∴“p或q”為真且q”為假，“非p”為假七、課后練習1．命題“正方形的兩條對角線互相垂直平分”是（ )A．簡單命題 B．非p形式的命題 C．p或q形式的命題 D．p且q的命題如果命題p是假命題，命題q是真命,則下列錯誤的是（ ）A．“p且q”是假命題 B．“p或q”是真命題C．“非p"是真命題 D．“非q”是真命題3．（1)如果命題“p或q”和“非p"都是真命則命題q的真假。（2）如果命題且q”和“非p"都是假命題，則命題q的真假4．分別指出下列復合命題的形式及構成它的簡單命題，并指出復合命題的真假。(1）5和7是30的約.(2）菱形的對角線互相垂直平分.（3)8x－5＜25．判斷下列命題真假：（1）10≤8； （2)π為無理數且為實數；(3）2+2=5或3＞2． （4）若A∩B=，則A=或B=．6p:x2+mx+1=0,q4x2+4（m—2)x+1=0pqqm第8頁（共57頁)八、參考答案：1．D 2．D 3．（1)真；（2)假4．(1)是“p或q”的形式.其中p:5是30的約數；q：7是30的約數，為真命題．（2)p且qp：菱形的對角線互相平分；為真命題．(3)是“┐p”的形式。其中p：8x－5＜2有自然數解?！遬：8x－5＜2有自然數解．如x＝0，則為真命題．故“┐p”為假命題．5．（1）假命題;（2）真命題；（3）真命題．（4）真命題．6．由p命題可解得m＞2,由q命題可解得1＜m＜3；由命題pq且q為假，所以命題pq中有一個是真，另一個是假m2若命題p真而q為假則有m1,或m3

m3若命題p真而q為假，則有m2 1m21m3所以m≥3或1＜m≤21。4全稱量詞與存在量詞教學案課型：新授課教學目標:知識目標：①通過教學實例，理解全稱量詞和存在量詞的含義；②能夠用全稱量詞符號表示全稱命題，能用存在量詞符號表述特稱命題；③會判斷全稱命題和特稱命題的真假;教學重點：理解全稱量詞與存在量詞的意義.教學難點：正確地判斷全稱命題和特稱命題的真假.教學過程:一．情境設置：哥德巴赫猜想是世界近代三大數學難題之一.1742年，由德國中學教師哥德巴赫在教學中首先發現的。1742年6月7日哥德巴赫寫信給當時的大數學家歐拉,正式提出了以下的猜想：69這就是哥德巴赫猜想．歐拉在回信中說，他相信這個猜想是正確的，但他不能證明。從此，這道數學難題引起了幾乎所有數學家的注意。哥德巴赫猜想由此成為數學皇冠上一顆可望不可及的“明珠"．中國數學家陳景潤于1966年證明：“任何充分大的偶數都是一個質數與兩個質數的乘積的和”第9頁（共57頁)通常這個結果表示為“1+2"這是目前這個問題的最佳結果．題．二．新知探究觀察以下命題：（1)對任意xR，x3;所有的正整數都是有理數；f(x)Dxf(x)f(x)f(x)（4)所有有中國國籍的人都是黃種人．問題1.(1）（2)上述4個命題，可以用同一種形式表示它們嗎?填一填：全稱量詞：全稱命題:全稱命題的符號表示：試一試：判斷下列全稱命題的真假．（1）所有的素數都是奇數；（2）xR,x211； (4）abxxmn 2,m,nQabxxmn 2,m,nQ想一想：你是如何判斷全稱命題的真假的？問題2.下列命題中量詞有何特點？與全稱量詞有何區別？(1）存在一個xR,使2x 13；0 0至少有一個xZ,x230 0存在量詞特稱命題第10頁（共57頁)特稱命題的符號表示特稱命題真假的判斷方法練一練:判斷下列特稱命題的真假．0(1)xx00

2x 30;0(2）存在兩個相交平面垂直于同一平面；（3）有些整數只有兩個正因數．三．自我檢測1"語言表達下列命題(１)自然數的平方不小于零（２）存在一個實數，使2X2X102、判斷下列命題的真假：（1）每個指數函數都是單調函數；（2)任何實數都有算術平方根； （3)x

x|xx2是無理數（4)x R,x 0 0３、下列說法正確嗎？因為對Mp(xxMp(xf(x)x22xm，若對xf(x0恒成立,求m的取值范圍；四．學習小結五．能力提升下列命題中為全稱命題的是（ ）有些圓內接三角形是等腰三角形；（B）存在一個實數與它的相反數的和不為(C）所有矩形都有外接圓；(D）過直線外一點有一條直線和已知直線平行．第11頁（共57頁)下列全稱命題中真命題的個數( )①末位是0的整數，可以被3整除；②對xZ,2x21為奇數．③角平分線上的任意一點到這個角的兩邊的距離相等；（A)0 1 （C）2 （D）3．下列特稱命題中的個數是（ ）Rx0（A）0 （B）1 （C)2 （D）34．命題“存在一個三角,內角和不等于180”的否定( （A）180；（）180；（C）180;D）1805．用符號“pf(xa(x2b(x，則存在實數a,b,使不等式xf(x)1(x21)對任意實數x恒成立”．27．對x(0,)，總a(0,)使得f(x)xax數學：2.1《橢圓及其標準方程》教案

2恒成立，求a的取值范圍．一、教學目標：知識與技能：理解橢圓標準方程的推導；掌握橢圓的標準方程；會根據條件求橢圓的標準方程，會根據橢圓的標準方程求焦點坐標.過程與方法：數學思想；培養學生運用類比、聯想等方法提出問題。情感態度與價值觀：二、教學重點與難點重點難點：三、教學過程：（一）講授新課演示定義：我們把 叫做橢圓，這兩個定點F1F2叫做橢圓的，兩個焦點之間的距離叫做橢圓的，通常用2c（c>0）表示，而這個常通常用2a表示，橢圓用集合表示為 。第12頁（共57頁)問題(1）定義應注意哪幾點（2）定長和兩個定點之間的距離大小還有哪些情況?.2．橢圓的標準方程(1)回顧求圓的標準方程的的基本步: yMF 0 F x1 2(2）橢圓標準方程的推導觀察：你能從中找出a,c, a2

c2

表示的線段嗎?我們推導出焦點在X軸的橢圓的標準方程為：思考:焦點在Y軸上橢圓的標準方程？ 小結：同學們完成下表橢圓的定義圖 形標準方程焦點坐標a,b,c的關系焦點位置的判斷（二）題組訓練：題組一：1。在橢圓25x2

4y

100中,a= 焦距是 焦點坐標是 。焦點位軸上x2如果方程

y2

1表示焦點在X軸的橢圓，則實數m的取值范圍是 ．4 m題組二:求適合下列條件的橢圓的標準方程第13頁（共57頁)a=4,b=1,焦點在x.a=4，c= 15,題組三:1.已知兩定點（-3，0),(3,0），PPF1

PF2

10，則點P的軌跡是 ，若點PPF1

PF2

6，則點P的軌跡是 .x22。P為橢圓

y

14,則P到另一個焦點的距離為25 16x2橢圓

y

1，過焦點F

的直線交橢圓于A，B兩點則

的周長為16 9 1 2題組四：如果點在運動過總滿足關系: x2(y3)2的軌跡是什么曲線?寫出它的方程.

x2(y3)210，點M已知△ABCBC616,求頂點A的軌跡方程。(三）課堂小結：應注意什么問題？?（四）布置作業：5 3已知橢圓兩個焦點F（—2,0),F（2，0），并且經過點P( , )，求它的標準方程.1 2 2 22橢圓的兩個焦點且橢圓上一點到兩個焦點的距離之和是20,求此2橢圓的標準方程。若為AB30，求的重心G.教學目標：

2。2橢圓的簡單幾何性質(1）通過對橢圓標準方程的討論，理解并掌握橢圓的幾何性質;（2）;(3）教學重點:橢圓的幾何性質。通過幾何性質求橢圓方程并畫圖教學難點:橢圓離心率的概念的理解.教學方法：講授法課型:新授課第14頁（共57頁)教學工具：多媒體設備一、復習：橢圓的標準方程。二、講授新課:（一）通過提出問題、分析問題、解決問題激發學生的學習興趣，在掌握新知識的同時培養能力。[我們現在利用焦點在x.］x已知橢圓的標準方程為：a

yb2

1(ab0)1.范圍［.］問題1 方程中x、y的取值范圍是什?由橢圓的標準方程可知，橢圓上點的坐標(x,y)都適合不等式x2≤1, y2≤1a2 b2即 x2≤a2, y2≤b2所以 ｜x|≤a， 即 －a≤x≤a， －b≤y≤b這說明橢圓位于直線x＝±a,y＝±b所圍成的矩形里.2。對稱性復習關于x軸，y點(x,y)x點y軸對稱的點的坐標為，點(x,y）問題2 在橢圓的標準方程中①以代以－x代x③同時以代x、以代你有什么發?,y方程不變，那么當點P（x，y）上時，它關于x的軸對稱點P（x－y也在曲線上，所以曲線關于x對稱。如果以－x代xy軸對稱。］x代xy代,這時曲線又關于什么對稱呢？[曲線關于原點對稱。］歸納提問：從上面三種情況看出，橢圓具有怎樣的對稱性？橢圓關于x軸，y軸和原點都是對稱的。]橢圓的對稱中心是什么？［橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。3。頂點[要求出曲線與x軸,y]問題3 怎樣求曲線與x軸、y軸的交點？第15頁（共57頁)在橢圓的標準方程里，1 令x=0,得y=±b。這說明了B（0,－b），B（0,b)是橢圓與y軸的兩個交點1 2令y=0，得x=±a.這說明了A1(－a,0），A（a，0）是橢圓與x軸的兩個交點。2x軸,y點。線段A1A2,B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸。2它們的長|A1A2|=2a，|B1B2

｜=2b (ab)觀察圖形，由橢圓的對稱性可知,橢圓短軸的端點到兩個焦點的距離相等，且等于長半軸長，即

F

F|=|B

F｜=a122122在Rt△OB2F2中，由勾股定理有122122|OF｜2=｜BF|2－|OB｜2,即c2＝a2－b22 22 2這就是在前面一節里，我們令a2－c2＝b2的幾何意義。離心率定義：橢圓的焦距與長軸長的比e＝c.a因為a>c〉0，所以0<e<1.問題4 觀察圖,說明當離心率e變化橢圓形狀是怎樣隨之變化的？[調用幾何畫板，演示離心率變化（分越接近10)對橢圓形狀的影響得出結論：(1)e1時,則c越接近，從而b越小因此橢圓越扁；（2)e0時c0，從而b越接近于a,當且僅當a＝b時，c＝0，這時兩個焦點重合于橢圓的中心，圖形變成圓。當e＝1.[為什么？留給學生課后思考］例題例1求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標，并用描點法畫出它的圖形.[根據剛剛學過的橢圓的幾何性質知，橢圓長軸長2a，短軸長2b，該方程中的a＝?b＝？c＝?因為題目給出的橢圓方程不是標準方程，所以必須先把它轉化為標準方程，再討論它的幾何性質]解:x52

y42

1，這里a＝5，b＝4,所以c＝2516＝3因此，橢圓的長軸和短軸長分別是2a＝10,2b＝8c 3離心率e＝a＝5兩個焦點分別是F（－3,0）,F(3，0），1 21 1 四個頂點分別是A1(－5，0)A（5，0）A（0,－4）F（0,4）1 1 ［提問：怎樣用描點法畫出橢圓的圖形呢？我們可以根據橢圓的對稱性，先畫出第一象限內的圖形.］將已知方程變形為 y4y45

4 25x2，根據525x2在0≤x≤5的范圍內算出幾個點的坐標（x，y)x012345y43.9373.2240先描點畫出橢圓的一部分，再利用橢圓的對稱性畫出整個橢圓（如圖）第16頁（共57頁)說明:本題在畫圖時，利用了橢圓的對稱性。利用圖形的幾何性質,可以簡化畫圖過程，保證圖形的準確性。形狀和大小的草圖：以橢圓的長軸、短軸為鄰邊畫矩形；由矩形四邊的中點確定橢圓的四個頂點；.［畫圖時要注意它們的對稱性及頂點附近的平滑性]（四）練習填空：已知橢圓的方程是9x2+25y2=225,(1)將其化為標準方程(2)a= ，b= ，c= 。(3)橢圓位于直所圍成區域.橢圓的長軸、短軸長分別和 離心率兩個焦點分別，四個頂分別、 。例2、求符合下列條件的橢圓的標準方程：(1)經過點(—3,0)、（0,—2);(2）長軸的長等于20,離心率等于0.63MxyF4,0的距離和它到直線lx254M.4 5（教師分析——示范書寫)例4(橢圓繞其對稱軸旋轉一周形成的曲面）的一部分。過對稱軸的截口ABC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點F1點F2上,由橢圓一個焦點F1發出的光線，經過旋轉橢圓面反射后集中到另一個焦點F2。已知ACF1F2，｜F1A|=2。8cm，|F1F2｜=4