第二章函數、導數及其應用第五節指數與指數函數命題分析預測學科核心素養本節在高考中的考查熱點有：(1)比較指數式的大小；(2)指數函數的圖象與性質的應用；(3)以指數函數為載體，與其他函數、方程、不等式等知識的綜合應用，以選擇題和填空題為主，難度中等.本節通過指數運算、指數函數的圖象及性質考查數形結合思想、分類討論思想的運用和考生的邏輯推理、數學運算核心素養.知識點一根式與指數冪的運算1．根式的概念xn＝a正數負數相反數

aa－aa

0沒有意義(2)有理數指數冪的性質①aras＝__________(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝__________(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝__________(a＞0，b＞0，r∈Q)．ar＋sarsarbr在進行指數冪的運算時，一般用分數指數冪的形式表示，并且結果不能同時含有根號和分數指數冪，也不能既有分母又含有負指數．易忽視字母的符號．

C

－2x2y

(0，＋∞)

減函數增函數指數函數y＝ax(a>0，a≠1)的圖象和性質跟a的取值有關，要特別注意區分a>1和0<a<1.[小題診斷]1．某種產品的產量原來是a件，在今后m年內，計劃使每年的產量比上一年增加p%，則該產品的產量y隨年數x變化的函數解析式為(

)A．y＝a(1＋p%)x(0＜x＜m)B．y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N)C．y＝a(1＋xp%)(0＜x＜m)D．y＝a(1＋xp%)(0≤x≤m，x∈N)B2．(易錯題)若函數f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值為2，則a＝________.3．如圖所示是指數函數(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，則a，b，c，d與1之間的大小關系為_________________．c>d>1>a>b>0

π＋8[方法總結]

1.指數冪的運算首先將根式、分數指數冪統一為分數指數冪，以便利用法則計算，還應注意：(1)必須同底數冪相乘，指數才能相加．(2)運算的先后順序．2．當底數是負數時，先確定符號，再把底數化為正數．3．運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數．1．函數f(x)＝1－e|x|的圖象大致是(

)A2．已知f(x)＝|2x－1|，當a＜b＜c時，有f(a)＞f(c)＞f(b)，則必有(

)A．a＜0，b＜0，c＜0B．a＜0，b＞0，c＞0C．2－a＜2cD．1＜2a＋2c＜2D解析：作出函數f(x)＝|2x－1|的圖象如圖所示，因為a＜b＜c，且有f(a)＞f(c)＞f(b)，所以必有a＜0，0＜c＜1，且|2a－1|＞|2c－1|，所以1－2a＞2c－1，則2a＋2c＜2，且2a＋2c＞1.[方法總結]

1.對于已知函數解析式識別函數圖象的選擇題，可以考慮應用特值法．2．對于與指數函數的圖象有關的問題，一般從最基本的指數函數的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到．[注意]

當底數a與1的大小關系不確定時，應注意分類討論．

高考常以選擇題或填空題的形式考查指數函數的性質及應用，難度偏小，屬中、低檔題．常見的命題角度有：(1)比較指數式的大小或解不等式；(2)與指數函數有關的函數值域問題；(3)探究指數型函數的性質.角度(一)比較大小或解不等式[例1]

(1)(2020·全國Ⅱ卷)若2x－2y＜3－x－3－y，則(

)A．ln(y－x＋1)＞0

B．ln(y－x＋1)＜0C．ln|x－y|＞0 D．ln|x－y|＜0A(2)若偶函數f(x)滿足f(x)＝2x－4(x≥0)，則不等式f(x－2)＞0的解集為_______________．{x|x＞4或x＜0}[方法總結]

1.比較兩個指數冪大小時，盡量化為同底或同指，當底數相同，指數不同時，構造同一指數函數，然后比較大小；當指數相同，底數不同時，構造同一冪函數，利用圖象比較大小．2．有關指數不等式問題，應注意a的取值，及結合指數函數的性質求解．

C

[方法總結]形如y＝a2x＋b·ax＋c(a>0，且a≠1)型函數最值問題多用換元法，即令t＝ax轉化為y＝t2＋bt＋c的最值問題，注意根據指數函數求t的范圍．

C

(2)已知函數f(x)＝a|x＋b|(a＞0，且a≠1，b∈R)．①若f(x)為偶函數，求b的值；②若f(x)在區間[2，＋∞)上是增函數，試求a，b應滿足的條件．[解析]

(2)①因為f(x)為偶函數，所以對任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，即a|x＋b|＝a|－x＋b|，|x＋b|＝|－x＋b|，解得b＝0.Ⅰ.當a＞1時，f(x)在區間[2，＋∞)上是增函數，即h(x)在區間[2，＋∞)上是增函數，所以－b≤2，b≥－2；Ⅱ.當0＜a＜1時，f(x)在區間[2，＋∞)上是增函數，即h(x)在區間[2，＋∞)上是減函數，但h(x)在區間[－b，＋∞)上是增函數，故不存在a，b的值，使f(x)在區間[2，＋∞)上是增函數．