模塊一極限（計算）Ⅰ經典習題一．四則運算1、2、3、已知，則.4、5、6、已知，其中是常數，則（）(A)(B)(C)(D)7、8、9、10、11、存在，不存在，則正確的是（）（A）不一定存在(B）不一定存在（C）必不存在（D）不存在12、假設可導，有不可導點，則下列函數中一定有不可導點的有個。（1）（2）（3）（4）二．洛必達法則13、求下列極限（1）（2）（3）（4）（5）（6）14、設函數在點處有，，則______.15、設函數在點處具有連續的二階導數，試求極限.16、設函數在點處二階可導，.試求極限.17、設函數在點處可導，.試求極限（1）；（2）.三．泰勒公式18、求下列極限（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）19、當時，是比高階無窮小，則（）（A）(B)(C)(D)20、設則（）(A)2(B)4(C)6(D)821、設點處二階可導，求.22、設三階可導，且，則下列說法錯誤的是（）(A)(B)(C)(D)23、設二階可導，，證明：當時，是的高階無窮小.24、設，求.四．冪指函數的處理25、求下列極限（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）26、設函數在有定義，且滿足，求.五．夾逼定理與定積分定義27、設且則（）（A）都收斂于(B)都收斂，但不一定收斂于（C）可能收斂，也可能發散(D)都發散28、求下列極限（1）（2）29、設，則（）（A）(B)(C)(D)30、設則31、求下列極限（1）（2）（3）（4）（5）（6）六．單調有界收斂定理32、設，，求.33、設，，求.34、

Ⅱ參考答案一．四則運算1、【答案】：【解析】：原式2、【答案】：【解析】：，，3、【答案】：.【解析】：，.4、【答案】：.【解析】：5、【答案】：.【解析】：6、【答案】：(C)【解析】：由得：，所以此時必有：，，故7、原式8、【答案】：.【解析】：9、【答案】：.【解析】：10、【答案】：.【解析】：.11、【答案】：（D）【解析】：若存在，必得存在，從而應得存在，這與已知矛盾，故A、B不正確.對于（C），只需取反例說明即可例存在，不存在但是存在的，故（C）必不正確.12、【答案】：.【解析】：（1）（3）（4）有不可導點.二．洛必達法則13、（1）【解析】：（2）【解析】：（3）【解析】：（4）【解析】：（5）【解析】：原式（6）【解析】：原式14、【答案】：0【解析】：由，知，，于是當時，.故.15、【解析】：16、【解析】：17、（1）【解析】：（2）【解析】：.三．泰勒公式18、（1）【解析】：（2）【解析】：原式（3）【解析】：（4）【解析】：（5）【解析】：（6）【解析】：故 （7）【解析】：（8）【解析】：19、【答案】：(B)【解析】：利用泰勒公式由題設20、【答案】：(C)【解析】：利用泰勒公式代入可得，也即從而有，可知，故選(C).21、【解析】：由泰勒公式得代入可得.22、【答案】：(D)【解析】：利用泰勒公式從而有，可知，故選(D).23、【解析】：由泰勒公式得從而24、【解析】：可知.四．冪指函數的處理25、（1）【解析】：原式，在此數列的極限可以轉化為函數的極限問題，考慮極限，所以原式=（2）【解析】：（3）【解析】：令，則.故.（4）【解析】：（5）【解析】：（6）【解析】：，故，（7）【解析】：（8）【解析】：（9）【解析】：（10）【解析】：.26、【解析】：.由極限存在與無窮小量的關系知，上式可改寫為，其中滿足.由此解出.從而.五．夾逼定理27、【答案】：（A）【解析】：由得又由及夾逼定理得，因此，由此得，故應選（A）28、（1）【解析】：，有界，故.（2）【解析】：，有界，故.29、【答案】：(B)【解析】：，由于且，按極限的夾逼定理得30、【答案】：【解析】：令，則故當，利用夾逼定理可得31、（1）【解析】：由于再由，則原式（2）【解析】：（3）【解析】：，。，。可知。（4）【解析】：，。，。可知。（5）【解析】：（6）【解析】：六．單調有界收斂定理32、【解析】：易證，同時，可知單調有界。令，可得，