第十二章全等三角形專題訓練(五)構造全等三角形的常用技巧第十二章全等三角形專題訓練(五)構造全等三角形的常用技巧類型一利用“角平分線”構造全等三角形角平分線涉及的輔助線作法較多，在本章中，常用到的基本模型有如下三種(AD為∠MAN的平分線，均有△PAB≌△PAC)：類型一利用“角平分線”構造全等三角形(一)結合“

過角平分線上一點作角兩邊的垂線”模型構造全等三角形1．如圖，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分線，將三角尺的直角頂點P在射線OM上滑動，兩直角邊分別與OA，OB交于點C，D.求證：PC＝PD.(一)結合“過角平分線上一點作角兩邊的垂線”模型構造全等三八年級數學上冊第十二章全等三角形專題訓練五構造全等三角形的常用技巧課件新人教版2．如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，若BD平分∠ABC，求證：∠A＋∠C＝180°.2．如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，若BD八年級數學上冊第十二章全等三角形專題訓練五構造全等三角形的常用技巧課件新人教版方法2：結合“過角平分線上一點作角平分線的垂線”模型來構造全等三角形3．如圖，BD是∠ABC的平分線，AD⊥BD，垂足為D，求證：∠BAD＝∠DAC＋∠C.方法2：結合“過角平分線上一點作角平分線的垂線”模型來構造全證明：延長AD交BC于點E，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠BDE＝90°.∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠EBD.又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD，∴∠BAD＝∠BED，∵∠BED＝∠DAC＋∠C，∴∠BAD＝∠DAC＋∠C證明：延長AD交BC于點E，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠BD4．如圖，在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝90°，BD平分∠ABO交OA于點D，AE⊥BD于點E.求證：BD＝2AE.4．如圖，在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝90°，BD平八年級數學上冊第十二章全等三角形專題訓練五構造全等三角形的常用技巧課件新人教版類型二利用“截長補短法”構造全等三角形5．如圖所示，AB∥CD，BE，CE分別是∠ABC，∠BCD的平分線，點E在AD上，求證：BC＝AB＋CD.(提示：在BC上截取BF，使BF＝BA，連接EF)證明：在BC上截取BF＝AB，連接EF.先用SAS證△BAE≌△BFE，得∠A＝∠EFB.又AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，又∠EFB＋∠EFC＝180°，∴∠D＝∠EFC，再用AAS證△EFC≌△EDC，∴FC＝CD，∴BC＝BF＋FC＝AB＋CD類型二利用“截長補短法”構造全等三角形6．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分別平分∠BAC，∠ACB，AD，CE相交于點O.(1)求∠AOC的度數；(2)求證：AC＝AE＋CD.6．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分別平分八年級數學上冊第十二章全等三角形專題訓練五構造全等三角形的常用技巧課件新人教版類型三利用“倍長中線法”構造全等三角形如果問題中的有關線段比較分散，同時條件中又含有三角形的中線(或中點)，此時常將中線(或過中點的線段)延長一倍后再與原三角形的某一頂點連接，以構成“8”字形的全等三角形．類型三利用“倍長中線法”構造全等三角形倍延中線7．如圖，在△ABC中，D為BC的中點．(1)求證：AB＋AC>2AD；(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范圍．倍延中線解：(1)證明：延長AD至點E，使DE＝AD，則AE＝2AD，連接BE.∵D為BC中點，∴CD＝BD，又AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB(SAS)，∴BE＝AC，又∵AB＋BE>AE，∴AB＋AC>2AD(2)∵AB－BE<AE<AB＋BE，∴AB－AC<2AD<AB＋AC，又AB＝5，AC＝3，∴2<2AD<8.∴1<AD<4解：(1)證明：延長AD至點E，使DE＝AD，則AE＝2AD倍延過中點的線段8．如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF.求證：BE＋CF＞EF.倍延過中點的線段證明：如圖，延長ED到點G，使DG＝ED，連接CG，FG，∵CD＝BD，∠CDG＝∠BDE，DG＝DE，∴△DCG≌△DBE(SAS)，∴CG＝BE，再證△DEF≌△DGF(SAS)，∴FG＝FE，在△CFG中，CG＋CF＞FG，∴BE＋CF＞EF證明：如圖，延長ED到點G，使DG＝ED，連接CG，FG，∵類型四根據“一線三等角”構造全等三角形如圖，兩種基本模型中“一線”指直線l，“三等角”指∠BAC＝∠ADB＝∠AEC(一般情況下都等于90°)，則有結論∠1＝∠3或∠2＝∠4.類型四根據“一線三等角”構造全等三角形9．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，將△ABC放在平面直角坐標系中，如圖所示．(1)如圖①，若A(1，0)，B(0，3)，求C點坐標；(2)如圖②，若A(1，3)，B(－1，0)，求C點坐標；(3)如圖③，若B(－4，0)，C(0，－1)，求A點坐標．9．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，將△AB八年級數學上冊第十二章全等三角形專題訓練五構造全等三角形的常用技巧課件新人教版第十二章全等三角形專題訓練(五)構造全等三角形的常用技巧第十二章全等三角形專題訓練(五)構造全等三角形的常用技巧類型一利用“角平分線”構造全等三角形角平分線涉及的輔助線作法較多，在本章中，常用到的基本模型有如下三種(AD為∠MAN的平分線，均有△PAB≌△PAC)：類型一利用“角平分線”構造全等三角形(一)結合“

過角平分線上一點作角兩邊的垂線”模型構造全等三角形1．如圖，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分線，將三角尺的直角頂點P在射線OM上滑動，兩直角邊分別與OA，OB交于點C，D.求證：PC＝PD.(一)結合“過角平分線上一點作角兩邊的垂線”模型構造全等三八年級數學上冊第十二章全等三角形專題訓練五構造全等三角形的常用技巧課件新人教版2．如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，若BD平分∠ABC，求證：∠A＋∠C＝180°.2．如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，若BD八年級數學上冊第十二章全等三角形專題訓練五構造全等三角形的常用技巧課件新人教版方法2：結合“過角平分線上一點作角平分線的垂線”模型來構造全等三角形3．如圖，BD是∠ABC的平分線，AD⊥BD，垂足為D，求證：∠BAD＝∠DAC＋∠C.方法2：結合“過角平分線上一點作角平分線的垂線”模型來構造全證明：延長AD交BC于點E，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠BDE＝90°.∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠EBD.又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD，∴∠BAD＝∠BED，∵∠BED＝∠DAC＋∠C，∴∠BAD＝∠DAC＋∠C證明：延長AD交BC于點E，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠BD4．如圖，在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝90°，BD平分∠ABO交OA于點D，AE⊥BD于點E.求證：BD＝2AE.4．如圖，在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝90°，BD平八年級數學上冊第十二章全等三角形專題訓練五構造全等三角形的常用技巧課件新人教版類型二利用“截長補短法”構造全等三角形5．如圖所示，AB∥CD，BE，CE分別是∠ABC，∠BCD的平分線，點E在AD上，求證：BC＝AB＋CD.(提示：在BC上截取BF，使BF＝BA，連接EF)證明：在BC上截取BF＝AB，連接EF.先用SAS證△BAE≌△BFE，得∠A＝∠EFB.又AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，又∠EFB＋∠EFC＝180°，∴∠D＝∠EFC，再用AAS證△EFC≌△EDC，∴FC＝CD，∴BC＝BF＋FC＝AB＋CD類型二利用“截長補短法”構造全等三角形6．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分別平分∠BAC，∠ACB，AD，CE相交于點O.(1)求∠AOC的度數；(2)求證：AC＝AE＋CD.6．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分別平分八年級數學上冊第十二章全等三角形專題訓練五構造全等三角形的常用技巧課件新人教版類型三利用“倍長中線法”構造全等三角形如果問題中的有關線段比較分散，同時條件中又含有三角形的中線(或中點)，此時常將中線(或過中點的線段)延長一倍后再與原三角形的某一頂點連接，以構成“8”字形的全等三角形．類型三利用“倍長中線法”構造全等三角形倍延中線7．如圖，在△ABC中，D為BC的中點．(1)求證：AB＋AC>2AD；(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范圍．倍延中線解：(1)證明：延長AD至點E，使DE＝AD，則AE＝2AD，連接BE.∵D為BC中點，∴CD＝BD，又AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB(SAS)，∴BE＝AC，又∵AB＋BE>AE，∴AB＋AC>2AD(2)∵AB－BE<AE<AB＋BE，∴AB－AC<2AD<AB＋AC，又AB＝5，AC＝3，∴2<2AD<8.∴1<AD<4解：(1)證明：延長AD至點E，使DE＝AD，則AE＝2AD倍延過中點的線段8．如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF.求證：BE＋CF＞EF.倍延過中點的線段證明：如圖，延長ED到點G，使DG＝ED，連接CG，FG，∵CD＝BD，∠CDG＝∠BDE，DG＝DE，∴△DCG≌△DBE(SAS)，∴CG＝BE，再證△DEF≌△DGF(SAS)，∴FG＝FE，在△CFG中，CG＋CF＞FG，∴BE＋CF＞EF證明：如圖，延長ED到點G，使DG＝ED，連接CG，FG，∵類型四根據“一線三等角”構造全等三角形如圖，兩種基本模型中“一線”指直線l，“三等角”指∠BAC＝∠ADB＝∠AEC(一般情況下都等于90°)，則有結論∠1＝∠3或∠2＝∠4.類型四