《數學分析》課程簡介課程編號：08014001、08014023、08014029課程名稱：數學分析

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/MathematicsAnalysis(1-3)學分:5+6+6=17學時：80+96+96=272適用專業：數學與應用數學、信息與計算科學建議修讀學期：1-3開課單位：數理科學與工程學院信息與計算科學系、數學與應用數學系先修課程：初等數學考核方式：閉卷考試，平時30%，考試70%。教材與主要參考書目：教材：數學分析、華東師大編、高教出版社、2010（第4版）1．數學分析簡明教程.常庚哲.徐森林.中國科學技術大學出版社.19982．數學分析.陳紀修.高等教育出版社.2000內容概述：本課程是基礎數學與應用數學，乃至其他理工科專業的最重要的公共基礎課程。后繼課程如常微分方程、概率統計、實變函數、力學分析、數量經濟分析等課程，均以本課程為基礎。本課程的目的除使學生掌握較深刻的極限理論與微積分學的相關知識外，對學生的分析和解決問題的能力、基本的數學素質進行培養與鍛煉。學生在三個學期內，要完成極限理論、一元函數微積分學、多元函數微積分學、級數理論等方面的基本概念、基本理論的學習任務，基本的運算能力得到培養，并為學習后繼課程和進一步獲得數學知識奠定必要的數學基礎。Descriptionofcontent:Descriptionofcontent:Thiscourseisthemostimportantpublicfoundationcourseofbasicmathematics,appliedmathematicsandotherspecialtiesinscienceandengineering.Subsequentcourses,suchasordinarydifferentialequation,probabilityandstatistics,realvariablefunction,mechanicalanalysis,econometricanalysis,areallonthebasisofthiscourse.Thepurposeofthiscourseistomakestudentsmastermoreprofoundlylimitationtheoryandrelatedknowledgeofthedifferentialcalculus,besides,itaimstodevelopandtrainthestudents'abilityofanalyzingandsolvingproblemsaswellastheirbasicmathematicalquality.Withinthreesemesters,studentsmustfinishthestudyofbasicconceptsandbasictheoriessuchasthelimittheory,theunaryfunctioncalculus,multivariatefunctioncalculustheory,seriestheory,inordertocultivatetheirbasicoperationability,andlaynecessarymathematicalbasisforlearningsubsequentcoursesandacquiringfurthermathematicalknowledge.《數學分析》教學大綱一課程性質、目的與任務數學分析是信息與計算科學和數學與應用數學專業的一門重要的基礎課。它不僅是培養學生用數學的思想認識問題、分析并解決問題的重要入門課程，也是后繼課程——微分方程、復變函數、微分幾何、實變函數、泛函分析、概率論與數理統計等的基礎。本課程的基本內容有極限理論、一元微積分學、多元微積分學和級數理論，分三學期學習，總學時272學時，總學分17學分（第一學期80學時，5學分，第二學期96學時，6學分，第三學期96學時，6學分）。通過本課程的學習，學生能夠正確理解數學分析的基本概念，掌握基本定理、基本原理、基本方法；正確理解實數理論、極限理論、一元函數微積分、無窮級數和多元微積分等方面的系統知識和基本原理以及它們之間的內在聯系；深刻認識極限的思想和方法，弄清不變與變，有限與無限，特殊與一般，抽象與具體的內在關系；掌握數學分析中的論證方法和常用的分析技巧，具有運用數學分析的方法去觀察問題、思考問題、分析問題和解決問題的能力，提高抽象思維和邏輯推理的專業素質；熟練掌握微積分學的基本運算方法和運算技巧，獲得本課程所要求的分析、論證、計算等方面的能力；對中學數學中的有關內容有深刻的了解，以較高的觀點分析和處理好這些內容；提高建立數學模型，并具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析和解決問題的能力，為進一步學習其它專業課程打下必要的基礎，為創新能力的培養提供重要平臺。二教學內容、基本要求及學時分配教學內容、基本要求：1．極限理論：這一部分是本課程的基礎，也是整個基礎數學的教學難點與重點；要求學生對極限語言有一定的了解。2．一元函數的連續性：該部分是學生第一次用極限理論描述函數性態，解決閉區間上連續函數的性質；對其理論要求一般了解。3．一元函數的可微性：該部分是本課程的核心第一個部分，是本課程的重點；要求熟練掌握導數的運算、可導與連續的關系；對導數的介值性定理要求一般了解。4．一元函數的中值定理及其應用：要求學生熟練地掌握該部分內容，并能解決一些實際問題。5．不定積分：要求學生熟練掌握該部分內容，這部分內容是本課程的第二個重點。6．定積分：要求學生熟練掌握定積分的性質、計算與應用，這是該部分的重點；可積理論是該部分的難點，要求學生一般了解。7．要求對廣義積分的斂散性判別法一般的了解。8．數項級數、函數項級數，要求熟練掌握該部分內容；對于難點部分：條件收斂、一致收斂、和函數的分析性質，要求掌握。9．對冪級數內容，要求熟練地掌握；對于傅立葉級數，要求掌握該部分內容。10．多元函數的極限與連續性、可微性、多元函數的極值：要求學生能模仿一元函數的相關內容，寫出多元函數的相應的條件與結論，并從中找出一元函數與多元函數的差別以及多元函數的極值，這些是該部分的教學重點。11．重積分、曲線與曲面積分：該部分是重點部分，第二型曲線與第二型曲面積分是教學難點；對平面圖形的面積度量，要求一般了解。12．隱函數、條件極值：難點：隱函數定理；重點：條件極值。這一部分要求一般了解。13．對含參變量積分要求一般地了解；對G函數與B函數要求熟練地掌握。學時分配課程內容教學要求重點(☆)難點(Δ)學時安排實驗學時上機學時備注第一章、函數(12學時)實數與確界原理A4函數與初等函數A8第二章數列極限(8學時)數列極限的—N定義A☆Δ2數列極限的性質A☆Δ2數列極限存在條件A☆Δ4第三章函數極限(14學時)“x”函數極限C2“xa”函數極限A☆2函數極限的性質A☆Δ4極限的存在準則、兩個重要極限A☆2無窮大與無窮小、無窮小比較A4第四章函數的連續性(8學時)函數的連續性與間斷點分類A☆2連續函數的性質與初等函數的連續性A☆2閉區間上連續函數的性質B☆Δ4第五章導數與微分(12學時)導數的概念A2函數的和、差、積、商的求導法則A☆2反函數的導數、復合函數的求導法則A☆Δ2隱函數、由參數方程所確定的函數的導數B☆Δ2高階導數A☆2函數的微分A☆Δ1微分在近似計算中的應用B1第六章、中值定理與導數的應用(14學時)中值定理A☆Δ2導數的介值性定理C2羅必塔法則A2泰勒公式A☆Δ2函數的單調性判別法A☆2函數的最大值與最小值A☆Δ2曲線的凸性與拐點與函數圖形的描繪A2第七章、實數的完備性(4學時)4閉區間套定理B☆Δ有限覆蓋定理B☆ΔCauchy收斂準則B☆Δ致密性定理、單調有界原理CΔ上、下極限CΔ實數完備性的等價命題的討論CΔ數學分析實驗（一）（8學時）8Mathematica軟件簡介（一）C11數列極限與生長模型C11飛機安全降落曲線的確定C11一元函數圖形的繪制C11第八章、不定積分(10學時)10原函數、不定積分、不定積分的性質A☆直接積分法A☆換元積分法A☆分部積分法A☆幾種特殊類型函數的積分CΔ第九章、定積分(14學時)14定積分概念A☆Δ可積條件CΔ定積分性質BΔ可積函數類BΔ微積分基本定理A☆定積分計算方法A☆第十章、定積分的應用(12學時)12定積分的應用中的微元法A☆平面圖形的面積B旋轉體的體積與側面積B平面曲線的弧長A☆Δ平面曲線的曲率C定積分在物理中的某些應用C第十一章、非正常積分(10學時)10無窮積分概念A無窮積分的斂散性A☆瑕積分B第十二章、無窮級數(10學時)10數項級數概念與性質A☆正項級數A一般項級數A絕對收斂級數與條件收斂級數的性質C☆級數的乘積運算C☆第十三章、函數項級數(10學時)10函數列與函數項級數的一致收斂A☆函數項級數的和函數的性質A☆第十四章、冪級數(10學時)10冪級數的收斂區間與性質A☆函數的冪級數展開A☆第十五章、Fourier級數(12學時)12傅立葉級數A☆收斂定理BΔ周期為2的函數的Fourier級數A☆周期為2lC數學分析實驗（二）（8學時）8Mathematica軟件簡介（二）C泰勒公式與函數逼近C定積分的近似計算C無窮級數與函數逼近C第十六章、多元函數的極限與連續(12學時)12點集、點集的極限點、平面點集的完備性CΔ多元函數的的基本概念B☆多元函數的極限、累次極限A☆Δ多元函數的連續性A☆有界閉區域上連續函數的性質B☆Δ第十七章、多元函數微分學(18學時)18偏導數、混合高階偏導數AΔ全微分及其應用A☆多元復合函數的求導數法則AΔ方向導數與梯度A☆微分在幾何上的應用B多元函數的泰勒公式BΔ多元函數的極值與求法A☆第十八章、隱函數與向量函數(12學時)12隱函數的存在性定理與求導公式CΔ隱函數組的存在性與雅可比行列式CΔ反函數組的存在性CΔ條件極值A☆向量函數的概念、連續性、可微性簡介CΔ第十九章、含參量積分(10學時)10含參量正常積分所定義的函數的性質BΔ含參量非正常積分所定義的函數的性質BΔEuler積分A☆Δ第二十章、曲線積分(8學時)8第一型曲線積分A☆第二型曲線積分A☆兩類曲線積分的關系C第二十一章、重積分(20學時)20二重積分的概念與可積條件B二重積分的計算A☆Green公式A☆Δ二重積分的換元積分法A☆Δ三重積分的概念與計算B三重積分的換元積分法A☆Δ重積分的應用B第二十二章、曲面積分(8學時)8對面積的曲面積分A☆對坐標的曲面積分A☆Δ兩類曲面積分的關系C高斯公式A☆斯托克斯公式A☆Δ8數學分析實驗（三）（8學時）8Mathematica軟件簡介（三）C11鯊魚襲擊目標的前進路徑C11多元函數極值與一元函數極值的比較C11重積分計算C11（教學要求：A—熟練掌握；B—掌握；C—了解）三、建議實驗（上機）項目及學時分配參見教學內容、基本要求及學時分配四教學方法與教學手段教學方法：講授、討論；教學手段：多媒體、黑板演算等手段。五考核方式閉卷考試，平時作業、課堂討論30%，期末考試70%。六教材與主要參考書目教材：數學分析、華東師大編、高教出版社、2010（第4版）主要參考書目：1.劉玉璉，傅沛仁編．數學分析講義.北京：高等教育出版社，1996.2.陳紀修，於崇華，金路編．數學分析.北京：高等教育出版社，2000.3.陳傳璋等編．數學分析.北京：高等教育出版社，1983.4.北京大學編．數學分析.北京：高等教育出版社，1986.5.鄧東皋，尹小玲編．數學分析簡明教程.北京：高等教育出版社，1999.6.吉林大學編．數學分析.北京：人民教育出版社，1978.7.裴禮文編．數學分析中的典型問題與方法.北京：高等教育出版社，1993.8.華羅庚編．高等數學引論（第一卷）.北京：科學出版社，1979.9.R.柯朗，F.約翰，劉嘉善等譯．微積分和數學分析引論.北京：科學出版社，2001.10.Ｐ.Ｍ.菲赫金哥爾茲著．微積分學教程（三卷八分冊）.北京：人民教育出版社，1958.11.吉米多維奇，李榮凍譯．數學分析習題集.北京：高等教育出版社，1958.12.G.波利亞，G.金貴編．數學分析中的問題與定理.上海：上海科學技術出版社，1981.13.盧丁，趙慈庚，蔣鐸譯．數學分析原理.北京：高等教育出版社，1979.14.[美]WalterRudin/著．PrinciplesofMathematicalAnalysys(影印版).北京：機械工業出版社，2004.15.[美]TomM.Apostol/著．MathematicalAnalysys(影印版).北京：機械工業出版