機密★啟用前姓名

準考證號 2021年下半年中小學教師資格考試數學學科知識與教學能力（高級中學）終極模擬卷（一）注意事項：120150分。請按規(guī)定作答。一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.設函數（）在x0處連續(xù)，且m（x2）2，則（ 。x0 x2.1且f2. 0且f2.1且f

.0且f22.經過點且與平面6x3y5z20垂直的直線方程為（ 。A.x2 y3 z5

x2 y3 z5 6 3 5 6 3 5x2 y3 z5C.

x2 y3 z5 6 3 5 6 3 5若級數u收斂，則下列級數中收斂的是（ 。nn1.（unn1

（un1

）n1000.

u . n

1000un1 n1 n232人參加社區(qū)服務，則選中的2數學學科知識與教學能力（高級中學）1頁（7頁）同學的概率為（ 。A.0.6B. 0.5C.0.4D. 0.32 0 1已知矩陣A3 1 x可相似對角化，則x的值為（ 。 3C.

4 0 5

4D.–42 1已知矩陣A5 x有一個特征值為2 1 .25C.

B.D.《普通高中數學課程標準（2017年版》中邏輯推理的主要表現是（ 。學結構與體系掌握推理基本形式和規(guī)則，發(fā)現問題和提出命題，探索和表述論證過程，理解命題體系，有邏輯地表達與交流發(fā)現和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題空間想象認識事物有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，這個定義方式屬于（ 。公理定義B. 屬加種差定義C.遞歸定義D. 外延定義二、簡答題（本大題共5小題，每小題7分，共35分）X的概率密度為（x0≤x≤，其他。數學學科知識與教學能力（高級中學）第2頁（共7頁）（1）（2分）（2）XF（x（3分）（3）P｛1.5x2.（2分）z=x2+y2–1在點（2，1，4）處的切平面方程及法線方程。設t

是互不相同的數,r≤n。1 2 r 證明αt…tni …r）是線性無關的。i i i數學學科知識與教學能力（高級中學）第3頁（共7頁）談談在教學中如何看待統(tǒng)計概念的定義。簡述高中課程的基本理念有哪些。三、解答題（本大題1，10）2 1 1已知矩陣A3 0 a與對角矩陣Λ相似，求a的值，并求可逆矩陣P， 使P1APΛ

0 0 3數學學科知識與教學能力（高級中學）第4頁（共7頁）四、論述題（本大題1，15）結合實例說明學生是怎樣學習數學概念的。五、案例分析題（本大題1，20）閱讀案例，并回答問題。案例：師生共同探索歸納總結出同底數冪的乘法法則后，進入知識鞏固環(huán)節(jié)，教師出示例題知2x ，2y 512，求2xy的值。解決本題時，需要學生能理解同底數冪的乘法法則，將公式逆用，由于題目本身相對簡單，大多數學生能獲得解題思路并求得結果。 （注學生的回答是2xy2x×2y165128192）一位學生出現了不同的聲音，他的思路是先設法求x，y的值，然后代入求2xy的值。數學學科知識與教學能力（高級中學）第5頁（共7頁）教師點評2y524，你有本事求得y的值嗎？如果2y456312y問題：分析上述教學片段，指出教學過程中師生教學行為的可取之處（10分）（10分）六、教學設計題（本大題1，30）計片段。【教師甲】么樣的位置關系呢？規(guī)定：空間中直線為a，平面為α，則a與α有哪幾種位置關系？并完成下表：公共點

直線a在平面α內 直線a與平面α相交 直線a與平面α平行數學學科知識與教學能力（高級中學）第6頁（共7頁）【教師乙】復習導入：回顧直線與平面的位置關系。的三種語言進行投影，并指出平行關系是立體幾何中重點研究對象之一，今天我們請完成下列任務：分析兩位教師引入“直線與平面平行的判定”概念設計方案的特點（8分）分析“直線與平面平行的判定”的重難點（8分）在教學中，當引入一個新的數學概念之后，往往通過例題、習題加深對概（14分）數學學科知識與教學能力（高級中學）第7頁（共7頁）機密★啟用前姓名

準考證號 2021年下半年中小學教師資格考試數學學科知識與教學能力（高級中學）終極模擬卷（二）注意事項：120150分。請按規(guī)定作答。一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）設｛x｝是數列，下列命題中不正確的是（ 。n若lim

a

x ann

n2n

n

2n1

a，則limxan2n

n

2n1

nn若lim

a

x ann

n3n

n

3n1

a，則limxan3n

n

3n1x≤

nn已知函數abcos

在x0處可導，則（ 。xA.a2B. a2.ab1 .a b 0xOy

x10x的幾何意義是（ 。y 01y A.關于原點對稱B. 關于x軸對稱數學學科知識與教學能力（高級中學）第1頁（共7頁）C.關于y軸對稱D. 關于y=x對

1 1 1 2已知線性方程組

2

，β1， 31 2 1 31

1 1 1 β 3，則k等于（ 。2 A.1C.2

B.–1D.–2X（σ）σPXσ應該（ 。單調增大B. 單調減少C.保持不變D. 增減不定X，YE（X）=2，E（Y）=1，D（X）=3E［X（XY–2］（ 。A.–3C.–5

B.3D.5高中數學課程分為必修課程、選擇性必修課程和選修課程。高中數學課程內容突出（）課程內容。函數、圖形與幾何、概率與統(tǒng)計、數學建模活動與數學探究活動數與代數、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐函數、幾何與代數、概率與統(tǒng)計、數學建模活動與數學探究活動函數、圖形與幾何、概率與統(tǒng)計、綜合與實踐命題p和命題p的逆否命題的關系是（ 。同真同假B. 同真不同假C.同假不同真D. 不確定數學學科知識與教學能力（高級中學）第2頁（共7頁）二、簡答題（本大題共5小題，每小題7分，共35分）求雙曲線y2 z2b2 c2

1y軸旋轉一周所得的旋轉曲面方程。1 0

0 0 1 a 0 A=

，b=。00 0 1 a 0 0 a 0 0 1 0 （1）（3分）（2）已知線性方程組AX=b有無窮多解，求a，并求AX=b的通解。（4分）數學學科知識與教學能力（高級中學）第3頁（共7頁）X的分布函數為FX

x，1≤x，x≥。（1）求PXP0X≤P2X

5（4分）22（2）求概率密度f（3分）X你認為教師課堂教學的基本要求有哪些？舉例說明數學抽象核心素養(yǎng)的含義、內容及表現是什么。數學學科知識與教學能力（高級中學）第4頁（共7頁）三、解答題（本大題1，10）設直線yax與拋物線y=x2所圍成圖形的面積為S1

，它們與直線x1所圍成圖形的面積為S，并且a1。2試確定a的值，使S1

S達到最小，并求出最小值（4分）2x（6分）四、論述題（本大題1，15）結合實例談談你的看法。數學學科知識與教學能力（高級中學）第5頁（共7頁）五、案例分析題（本大題1，20）閱讀案例，并回答問題。案例某學生在以下做題目。abab1，求a12b12的最小值的解析過程如下： a babab1ab 12

1

1 1 2a b

a2b2 4≥2ab 4≥

48 a b

a2 b2 aba12b128。 a b 問題：指出學生的錯誤之處（6分）分析學生的錯誤原因（7分）（7分）數學學科知識與教學能力（高級中學）第6頁（共7頁）六、教學設計題（本大題1，30）請以“直線的點斜式方程”為課題，完成下列教學設計。設計本節(jié)課的教學目標（6分）設計本節(jié)課的教學重難點（6分）（18分）數學學科知識與教學能力（高級中學）第7頁（共7頁）2021年下半年中小學教師資格考試數學學科知識與教學能力（高級中學）終極模擬卷（一）解析一、單項選擇題【答案】D根據題意可得0，由導數的定義有l(wèi)imx0

（x）x2

lim

t

）2（其中tx2。故正確答案為D。【答案】A【解析】本題主要考查空間解析幾何的相關知識。平面6x3y5z20的法向量為n=6，–3，–5，所求直線的方向向量與平面x的法向量平行，由點向式直線方程可知，所求直線的方程為6

y3 z53 。3 故正確答案為A。【答案】B【解析】本題主要考查級數的相關知識。根據題意可知，limunn

0un n

0lim10000，由級數收nuD兩項錯誤。舉反例，由n1

n1收斂但1C項錯誤。n2 nn1故正確答案為B。【答案】D【解析】本題主要考查排列組合的相關知識。2名男同學為，3名女同學為

，從以上5名同學中任選2人共1 2 1 2 3有AA，AB，AB，AB，AB，AB，AB，BB，BB，BB10種可能，選中的2人都12 11 12 1

21 2

2 3 12 13 2 3是女同學的情況共有BB，BB，BB3種可能，則選中的2人都是女同學的概率為12 13 2 31P 10

0.3。故正確答案為D。【答案】A【解析】本題主要考查特征值與特征向量的相關知識。2 0 1

2 1EA3 1 x 4 0 5

4 5

，所以A的特征值為，1，。因為A可相似對角化，所以rE321，其中EA1 0 13 0 x，故x3。 4 0 故正確答案為A。【答案】A【解析】本題主要考查特征值和特征向量的相關知識。2x，A0，得5–2x=0x=2.5。A。【答案】B【解析】本題主要考查課標的相關知識。《普通高中數學課程標準（2017年版本形式和規(guī)則，發(fā)現問題和提出命題，探索和表述論證過程，理解命題體系，有邏輯地表達與交流。故正確答案為B。【答案】B【解析】本題主要考查數學概念的相關知識。數學概念的定義方法有：屬加種差定義法、發(fā)生式定義法、逆式定義法、約定式定被定義概念，即被定義概念具有而它的屬近屬為平行四邊形，種差為一組鄰邊相等，屬于此種定義法。故正確答案為B。2二、簡答題【參考答案】

k 2 1（1）

（）x （x）x 2x2x 2k2 1，所以k2。 0 0（2）x0

（）

00x2

（）

f（x）dx x1x1xx2

xx

x

1X02 4 x，x2

≤x≤44x。（）P1.5≤x≤2.（2.–10.【參考答案】

116。x2y2z1，n

。切平面方程為

x2 y1 z4（x（yz0，即4x2yz60。法線方程為 。4 2 1

kk

…

1 2 r設kα

k

…k

0，即t

t

…t

11 22 rr11 2 2 r

……tn1ktn1k…tn1k。1 1 2 2 r r當r=n時，方程組未知量的個數與方程的個數相同，且由范德蒙德行列式可知，系1 1 …1t t …t1 2 n tt 0

數行列式t2 t2 …t2 （ ），所以方程組有唯一的零解，

，，，1 2 n j i

1 2 r…… …tn1 tn1 …t

1≤ij≤n1 2 n線性無關。【參考答案】3高中統(tǒng)計的學習，本質上是統(tǒng)計活動的學習，而不是概念和公式的學習。統(tǒng)計內容的題的解決來理解統(tǒng)計的思想，而不是死記公式和定義。因此，教學統(tǒng)計內容時應注意：關注三種抽樣方法的區(qū)別和不同的使用范圍；側重于了解統(tǒng)計圖能告訴我們何種信息和理解不同統(tǒng)計圖的特點；讓學生了解數據的數字特征的作用和意義。【參考答案】《普通高中數學課程標準（2017年版》指出，高中數學課程的基本理念包括：學生發(fā)展為本，立德樹人，提升素養(yǎng)；優(yōu)化課程結構，突出主線，精選內容；把握數學本質，啟發(fā)思考，改進教學；重視過程評價，聚焦素養(yǎng)，提高質量。三、解答題【參考答案】由λEA

3λ2 ）λ21）λ21130λ0aλ

λλ2，得到矩陣A的特征值為3，3，–1。AA32的特征向量，那么r3E1，1 1 1 1 1 1 3EA3 3 a0 0 a3，所以a3。 0 0 0 0 0 0 對于3，解齊次線性方程組01 1 1 1 1 1

1

101即3EA3 3 30 0 0，解得基礎系01

1

0。

1 2 0 0 0 0 0 0 對于1，解齊次線性方程組E0

43 1 1 3 1 0 1即EA3 1

0 0 1，解得基礎解系

3。 3 00 0 4 0 0 0 01 1 1

3 令P（ααα）1 0 3，得P1P 3 。1 2 3 0 1 0 四、論述題【參考答案】數學概念的學習可分為兩種基本形式：概念的形成和概念的同化。其本質屬性，從而形成新概念。如學習函數的單調性的概念可采用如下的步驟：y=2x，yy=x21的圖象，并且觀察圖象的變化規(guī)律。②描述完前兩個圖象后，明確這兩種變化規(guī)律分別稱為增函數和減函數。③二次函數的增減性要分段說明，提出問題：二次函數是增函數還是減函數？④能否用自己的理解說說什么是增函數，什么是減函數？⑤［yx21在（0，∞）上的單調性為例］的單調性？⑥提問學生什么是“隨著”？如何刻畫“增大”以及“任取”？進而得到增（減函數的定義。的準確定義，深入地認識單調性。概念相互聯(lián)系、相互作用以領會它的意義，從而獲得新概念。如，學習等比數列的概念2項起，每一項與它的前一項的比值等于同一常數。那么這個數列叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0（如等差數列的概念）區(qū)別開來，并相互貫通組成一個整體，納入原有的概念體系之中，最后通5五、案例分析題【參考答案】程中，教師鼓勵學生進行獨立思考，并對學生的不同解題方法給予肯定，同時指出學生思路的不足之處，激發(fā)學生學習數學的興趣。在教學過程中語氣不好，沒有尊重學生的創(chuàng)新思想，束縛了學生的創(chuàng)新思維，違背了新課程標準對學生發(fā)展能力的要求。學生思考，合作探究此種方法的可行性，然后師生一起總結解題方法。六、教學設計題【參考答案】教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程。有效的教學活動是學生學與教師教的統(tǒng)一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者和合作者。數在教學的過程中教師應注重培養(yǎng)學生良好的數學學習習慣，使學生掌握恰當的數學學習方法。注重以學生的認知發(fā)展水平和已有的經驗為基礎，面向全體學生，采用啟發(fā)式和因材施教的教學方法。學生在生動活潑、主動探索的數學課程中，更容易吸收知識，但也應注重多種學習方式相結合，除接受學習外，動手實踐、自主探索和合作交流同樣是學習數學的重要方式。教師甲、乙的做法都符合素質教育的要求，但是教師甲和教師乙引入的方式不同，各有優(yōu)點。教師甲通過生活中的常識引導學生發(fā)現直線與平面的位置關系，容易激發(fā)學生學習的積極性。概念的總結也讓學生來完成，把課堂盡可能多地還給學生，以此來體現自主學習、主動參與的理念。教師乙的做法是通過師生互動回憶舊知識，幫助學生鞏雖然沒有給學生預設情境，但是卻建立了舊知識與新知識的聯(lián)系，也是一種符合新課標6要求的引入方法。教學重難點教學重點：直線與平面平行的判定定理的引入與理解。與邏輯思維能力的培養(yǎng)。①如果一條直線不在平面內，則這條直線與平面平行；②過直線外一點可以作無數個平面與這條直線平行；③過平面外一點只能作一條直線與這個平面平行。ABCDEF分別是ABAD的中點。求證：EF//平面BCD。AAEFαBDC練習如圖，在正方體ABCD ABCD中，E，F分別是BC，CD的中點，求證：EF//平面BDDB。

111 1 1 111D F1 CA 11 B1D CEBPVACPVB和AC，應該怎樣畫線？VEP EP FHA72021年下半年中小學教師資格考試數學學科知識與教學能力（高級中學）終極模擬卷（二）解析一、單項選擇題【答案】D【解析】本題主要考查極限的相關知識。如果數列｛x｝收斂于a，那么它的任一子列也收斂，且極限也是a。對于Anlimx=a｛x｝a｛x

｛x ｝都是｛x｝的子列，所以有xn n

2n 2n+1 nlimx

=lim

a，A項正確。同理，C項正確。對于B

｝的極限都等n2n

n

2n+1

2n 2n+1a，且

｝lim

=a，B項正確。對于2n 2n+1

nnDlim

=lim

=a，但是

｛

｝的并集沒有包含｛x｝的所有項，所以n3n

n

3n

3n 3n+1 n不能推出limx=a，D項不正確。nn本題為選非題，故正確答案為D。【答案】A【解析】本題主要考查連續(xù)與可導關系的相關知識。由可導必連續(xù)可知：（）在x0處連續(xù)，則）

）

limx0

abcosx

mx ）0，故ab0。又因為（）在x0處可導，則x0f

），即

abcosx0

x0

1

abcos

bsinx x0

x

xx2x0xx2

x0 2xlimbcosx1，解得b2a2。x0 2故正確答案為A。C【解析】本題主要考查矩陣變換的相關知識。T

x10xx，所以關于y軸對稱。y yy01 8故正確答案為C。【答案】D【解析】本題主要考查線性方程組的相關知識。已知線性方程組是非齊次的，方程組有解，則系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，由此可以求出k。因為已知線性方程組

kββ1

kββ1

的增廣矩陣初等行變換，1 1 12k1 11 12k1 111 2k1（|ββ

121 k3010 4010

kββ有 1 2 1 解r|β1

111k1 020 k2 0 0 0k10βr2，則k100，得k2。2故正確答案為D。【答案】C【解析】本題主要考查正態(tài)分布的相關知識。因為PX<，所以P|X|1，該概率與σ無關，σ σ 故保持不變。故正確答案為C。【答案】D【解析】本題主要考查數學期望的相關知識。由題意隨機變量X，Y不相關，且E（X）=2，E（Y）=1，D（X）=3，則E（XY（X2（Y2（X（X（X2（X）（Y2（X。故正確答案為D。【答案】C【解析】本題主要考查課標的相關知識。《普通高中數學課程標準（2017年版必修課程和選修課程。高中數學課程內容突出函數、幾何與代數、概率與統(tǒng)計、數學建模活動與數學探究活動四條主線，它們貫穿必修、選擇性必修和選修課程。數學文化融入課程內容。故正確答案為C。【答案】A【解析】本題主要考查命題的相關知識。命題p和命題p的逆否命題互為逆否命題，而互為逆否命題的兩個命題同真同假。9故正確答案為A。二、簡答題【參考答案】x2x2z2

代替zy2z21繞y軸旋轉一周所得的旋轉曲面y2方程為b2

x2c2

b2 c21a01a0001a0001aa001（1）|A|=

1 a 0=10 1 aa

a 0 01 a 01a4。0 0 1 0 1 a當a0，故AXbX1 a

0 01 1

0 01

a 0 0 1 0 1解，故a

a 01 0

a 01

1 a 0 1 0 0 1

a0 0

1 a0

0 1 a 0 a 00 1a 00

0

0 1a

0 a3 1aa2 1 a 0 0 1 0 1

0 1 。0 0 1 a 0 0 0 0 1a4aa2 可知，要使原線性方程組有無窮多解，則有1a40及aa20a1。11001110010110100110000001 0

0 10

10 1 0 11 0 1，可知對應的齊次線性方程組的基礎解系為 ，非齊次方程的特解為0 0

1 100 0 0

11 0 1 01 1 1 ，故其通解為k ，其中k為任意常數。0 1 00 1 0 10【參考答案】X（）PXPX≤F2；XP0X≤FF101；XP2X5P2X

5F5ln5ln2ln5。2 2

2 X 2 X 2 4 dF（

≤xe，由于f（x）的連續(xù)點處有X f（x），即概率密fxXX dx X【參考答案】教師課堂教學的基本要求有：

其他。創(chuàng)設良好氛圍，激勵學生學習；圍繞教學目標，開展教學活動；突出思維訓練，培養(yǎng)思維能力；重視學生發(fā)展，組織學生活動；運用多種教學方法，選用恰當教學方式。【參考答案】數學抽象主要表現為：獲得數學概念和規(guī)則，提出數學命題和模型，形成數學方法與思想，認識數學結構與體系。通過高中數學課程的學習，學生能在情境中抽象出數學概念、命題、方法和體系，三、解答題【參考答案】因為a1，所以可分成0a0兩種情況，分別畫出兩種情況下的圖形如圖所11示，求出S1

S的最小值后，即可確定a的值。2yy=x2SS1y=ax2yy=x2SS1y=ax20Oa1xyy=x2S1S2aOy=axa≤01x（1）0a1SS

axx）x

x2

a3 a 1，令1 2 0 a 3 2 3Sa21

0a

1。又S1

0S1

22是極小值，即22222 2 6222 a0SSS1 2

a

axx）x0

a3 a 16x2 62 3S1a21

a20Sa0S取得最大值，無最小值，此（2 2 2222時S1。比較可知，S12 是最小值，此時a1。2223 61121 112

211（2）x22x2x4xx2xx14 2 d

30 。0 四、論述題【參考答案】象性要堅持抽象與具體相結合的原則。數學概念的抽象性與具體對象的直觀性是有聯(lián)系的，高度的抽象不是一下子達到的，它需要一個從具體到抽象，又從相對具體到比較抽象的發(fā)展過程，因此認識數學的抽象性要以具體形象為基礎。引入比較抽象的概念時，往往需要從具體實例出發(fā)。如在立體幾何學習中，運用一系列的數學符號表達面面平行或線面平行（垂直）的判定；在三角形的內角和的證明過程中，不僅僅是通過測量角的度數，而是需要通過一些邏輯證明方法證明三角形內角和是180數學教學中處理抽象與具體之間的關系的手段：①直觀教學：通過實物直觀、模型直觀、圖形直觀和言語直觀，讓學生形成鮮明的表象，為他們掌握基礎理論提供必要的感性材料。例如，在講授三角函數值只與角度有12直觀地體會所學知識點，將抽象的概念更直觀地納入到自身認知結構中。使抽象的概念、關系得以直觀化、形象化。分析、歸納，逐步增強他們的抽象思維能力。使抽象問題具體化。例如，通過幾何畫板展示