1第十三章期權定價模型【本章學習要點】本章涉及的重要概念有：期權定價的二叉樹模型、資產組合復制定價、風險中性定價、n期二叉樹模型、美式期權的定價、布萊克-斯科爾斯微分方程、布萊克-斯科爾斯期權定價公式、維納過程等。要求理解二叉樹模型期權定價的原理；掌握二叉樹期權定價公式的推動過程；了解布萊克-斯科爾斯微分方程的總結過程；并能夠根據實際條件進行歐式期權的價格計算。1第十三章期權定價模型【本章學習要點】本章涉及的重要概念有2第一節二叉樹期權定價模型的推導一、基本假定二、看漲期權單步二叉樹模型三、n期的二叉樹模型第二節二叉樹期權定價模型的擴展應用一、標的資產價格按比例支付股息二、美式期權的二叉樹定價模型第三節布萊克——斯科爾斯期權定價模型一、布萊克——斯科爾斯模型的假設條件二、布萊克——斯科爾斯微分方程三、布萊克——斯科爾斯期權定價公式四、布萊克——斯科爾斯期權定價公式的應用舉例第四節維納過程與證券價格變化過程一、弱式效率市場假說二、維納過程三、維納過程與股票價格的變化過程2第一節二叉樹期權定價模型的推導3第一節二叉樹期權定價模型的推導一、基本假定關于期權定價的模型主要有兩種：二叉樹模型（TheBinominalOptionPricingModel,BOPM）；布萊克-斯科爾斯模型（Black-Scholes）；二叉樹模型的主要假定有：最基本的模型為不支持股利的歐式股票看漲期權定價模型；股票市場和期權市場是完全競爭的，市場運行是高效率的，如沒有賣空限制，無套利的；股票現貨交易與期權合約的交易無交易成本，同時也沒有稅收；市場參與者可以按照已知的無風險利率無限制地借入和貸出資金，利率在期權有效期內保持不變，不存在信違約風險。3第一節二叉樹期權定價模型的推導一、基本假定關于期權定價的4第一節二叉樹期權定價模型的推導一、基本假定圖13-1△t時間內基礎資產價格和對應的期權價格的變動4第一節二叉樹期權定價模型的推導一、基本假定圖13-1△5二、看漲期權單步二叉樹模型（一）資產組合復制定價法假定投資者在t0賣出一份股票的看漲期權，價格為V0，以得到的貨幣同時買入h股股票和利率為r的k貨幣單位的債券5二、看漲期權單步二叉樹模型（一）資產組合復制定價法假定投資6二、看漲期權單步二叉樹模型例13-1:設以A股目前價格為100元，假設一個月后標的資產價格可能是125元，也可能是75元，當期市場的無風險收益率為10%，求以A股為標的資產，執行價格為100元，一個月后到期的該歐式看漲期權的價格。解：根據題意，=125=75則一份歐式看漲期權現在的價格為=16.076二、看漲期權單步二叉樹模型例13-1:設以A股目前價格為17二、看漲期權單步二叉樹模型（二）風險中性定價機制在風險中性的假定下，可以得到下面兩個結論：所有可交易股票的期望收益率為無風險利率；未來資產的當前現金流可以根據其期望值按無風險利率貼現而得到。

例13-2:按照風險中性定價機制，我們重新計算例13-1中的看漲和看跌期權現在的價格。7二、看漲期權單步二叉樹模型（二）風險中性定價機制例138三、n期的二叉樹模型

8三、n期的二叉樹模型9將上述結論推廣到n期二叉樹模型，有

如果是離散的情況，有，9將上述結論推廣到n期二叉樹模型，有如果是離散的情況，有10第二節二叉樹期權定價模型的擴展應用一、標的資產價格按比例支付股息分紅派息的方式主要有兩種：一種是按照股票市場價格的固定比例派發一定股息，在財務上稱為“股息實得率”，另一種是每股股票派發一定固定數額的股息。若標的股票在未來某一確定時間將支付已知股息率δ（股息與標的資產價格之比），我們只要調整在各個結點上的標的資產價格，就可算出期權價格。調整方法如下：如果時刻m△t在除權日之前，則結點處標的資產價格仍為：如果時刻m△t在除權日之后，則結點處證券價格相應調整為：10第二節二叉樹期權定價模型的擴展應用一、標的資產價格按11第二節二叉樹期權定價模型的擴展應用二、美式期權的二叉樹定價模型

美式期權與歐式期權的區別是美式期權可以在期權合約到期前的任何時點執行權利，而歐式期權則僅可在到期日執行權利。事實上，在運用二叉樹方法求當前的期權價格時，前提假設條件是期權的定價者，對于二叉樹上所有節點上的信息是知道的。求美式期權的當前價格時，在每個二叉樹的節點上，期權持有者可以有兩個價格選擇，一個是立刻執行期權獲得收益，另一個選擇是持有期權繼續等待，繼續等待相當于選擇了與歐式期權一樣的期望價值。這樣，美式期權的價格計算與歐式期權的價格計算的路徑基本相同，都是由期末的期權價值向后遞推而來的。不同之處是在每一個節點處，期權的持有者可以選擇上述兩種收益中的較大者作為向后遞推的價格依據。

例13-3:已知股票的信息：S0=100美元,u＝1.2，d＝0.8，K=100美元，r＝0.05，n＝3；求解看跌美式期權的價格。11第二節二叉樹期權定價模型的擴展應用二、美式期權的二叉12第二節二叉樹期權定價模型的擴展應用二、美式期權的二叉樹定價模型12第二節二叉樹期權定價模型的擴展應用二、美式期權的二叉13第二節二叉樹期權定價模型的擴展應用二、美式期權的二叉樹定價模型向后遞推值 即刻執行值 最大值

13第二節二叉樹期權定價模型的擴展應用二、美式期權的二叉14第二節二叉樹期權定價模型的擴展應用二、美式期權的二叉樹定價模型向后遞推值＝即刻執行值＝Max[K－該節點的股價，0]向后遞推值＝即刻執行值＝100－64＝3614第二節二叉樹期權定價模型的擴展應用二、美式期權的二叉15第二節二叉樹期權定價模型的擴展應用二、美式期權的二叉樹定價模型31.1191 36 36 8.2026 4 8.2026 0 0 0 2.9001 0 2.9001 17.6305 20 20 8.8044 0 8.8044 圖13-6求解看跌美式期權的二叉樹

依照上述方法，逐步完成全部向后遞推過程，如果圖13-4所示，最終可以得到該美式看跌期權的當前價格應當為8.8044美元。15第二節二叉樹期權定價模型的擴展應用二、美式期權的二叉16第三節布萊克——斯科爾斯期權定價模型省略16第三節布萊克——斯科爾斯期權定價模型省略17本章小結：本章講述了期權有效期內標的資產價格可能遵循的路徑，首先闡述了二叉樹模型的基本假設，介紹了二叉樹模型的兩種不同假定下定價模型推導，一種是資產組合復制（無風險套利假定），一種是風險中性假定。然后介紹了布萊克—舒爾斯期權定價模型以及相關的布萊克—舒爾斯微分方程、定價公式等。最后，總結了與連續狀態下相關的市場效率假說、維納過程以及股票價格變化的前提假定。本章的學習目的是使讀者了解期權價格的特征，掌握布菜克一斯科爾斯期權定價模型，運用定價方法對現實中的期權進行分析。17本章小結：本章講述了期權有效期內標的資產價格可能遵循的路18思考與練習：

1.闡述風險中性定價的假設。

2.考慮這樣一種情況，在某個歐式期權有效期內，標的資產價格運動可用兩步二叉樹圖來描述。解釋為什么用股票和期權構建的頭寸在期權的整個有效期內是不可能一直無風險的。

3.某股票現價為50元，6個月后價格將變為55元或45元。無風險年利率為10%。執行價格為50元，6個月后到期的歐式看跌期權的價格是多少？

4.股票現價為50美元，已知2個月后股價將為53美元或48美元。無風險年利率為10%（按連續復利計）。執行價格為49美元，2個月期的歐式看漲期權的價值為多少？

5.某股票現價為100元。有連續兩個時間步，單個時間步的步長為6個月，每個單步二叉樹預期上漲10%，或下跌10%。無風險年利率為8%。執行價格為100元的一年期歐式看漲期權的價格為多少？

6.對于美式看跌期權，已知＝0時，股票的價格為125美元，執行價格定為120美元，到期日為未來第5期末，每期利率為1％，＝1.05，＝0.96，求需提前執行的節點位置。

7.假設某種不支付紅利股票的市價為50元，無年風險利率為10%，該股票的年波動率為30%，求該股票協議價格為50元、期限3個月的歐式看跌期權價格。

18思考與練習：

1.闡述風險中性定價的假設。

2.考慮這樣19第十三章期權定價模型【本章學習要點】本章涉及的重要概念有：期權定價的二叉樹模型、資產組合復制定價、風險中性定價、n期二叉樹模型、美式期權的定價、布萊克-斯科爾斯微分方程、布萊克-斯科爾斯期權定價公式、維納過程等。要求理解二叉樹模型期權定價的原理；掌握二叉樹期權定價公式的推動過程；了解布萊克-斯科爾斯微分方程的總結過程；并能夠根據實際條件進行歐式期權的價格計算。1第十三章期權定價模型【本章學習要點】本章涉及的重要概念有20第一節二叉樹期權定價模型的推導一、基本假定二、看漲期權單步二叉樹模型三、n期的二叉樹模型第二節二叉樹期權定價模型的擴展應用一、標的資產價格按比例支付股息二、美式期權的二叉樹定價模型第三節布萊克——斯科爾斯期權定價模型一、布萊克——斯科爾斯模型的假設條件二、布萊克——斯科爾斯微分方程三、布萊克——斯科爾斯期權定價公式四、布萊克——斯科爾斯期權定價公式的應用舉例第四節維納過程與證券價格變化過程一、弱式效率市場假說二、維納過程三、維納過程與股票價格的變化過程2第一節二叉樹期權定價模型的推導21第一節二叉樹期權定價模型的推導一、基本假定關于期權定價的模型主要有兩種：二叉樹模型（TheBinominalOptionPricingModel,BOPM）；布萊克-斯科爾斯模型（Black-Scholes）；二叉樹模型的主要假定有：最基本的模型為不支持股利的歐式股票看漲期權定價模型；股票市場和期權市場是完全競爭的，市場運行是高效率的，如沒有賣空限制，無套利的；股票現貨交易與期權合約的交易無交易成本，同時也沒有稅收；市場參與者可以按照已知的無風險利率無限制地借入和貸出資金，利率在期權有效期內保持不變，不存在信違約風險。3第一節二叉樹期權定價模型的推導一、基本假定關于期權定價的22第一節二叉樹期權定價模型的推導一、基本假定圖13-1△t時間內基礎資產價格和對應的期權價格的變動4第一節二叉樹期權定價模型的推導一、基本假定圖13-1△23二、看漲期權單步二叉樹模型（一）資產組合復制定價法假定投資者在t0賣出一份股票的看漲期權，價格為V0，以得到的貨幣同時買入h股股票和利率為r的k貨幣單位的債券5二、看漲期權單步二叉樹模型（一）資產組合復制定價法假定投資24二、看漲期權單步二叉樹模型例13-1:設以A股目前價格為100元，假設一個月后標的資產價格可能是125元，也可能是75元，當期市場的無風險收益率為10%，求以A股為標的資產，執行價格為100元，一個月后到期的該歐式看漲期權的價格。解：根據題意，=125=75則一份歐式看漲期權現在的價格為=16.076二、看漲期權單步二叉樹模型例13-1:設以A股目前價格為125二、看漲期權單步二叉樹模型（二）風險中性定價機制在風險中性的假定下，可以得到下面兩個結論：所有可交易股票的期望收益率為無風險利率；未來資產的當前現金流可以根據其期望值按無風險利率貼現而得到。

例13-2:按照風險中性定價機制，我們重新計算例13-1中的看漲和看跌期權現在的價格。7二、看漲期權單步二叉樹模型（二）風險中性定價機制例1326三、n期的二叉樹模型

8三、n期的二叉樹模型27將上述結論推廣到n期二叉樹模型，有

如果是離散的情況，有，9將上述結論推廣到n期二叉樹模型，有如果是離散的情況，有28第二節二叉樹期權定價模型的擴展應用一、標的資產價格按比例支付股息分紅派息的方式主要有兩種：一種是按照股票市場價格的固定比例派發一定股息，在財務上稱為“股息實得率”，另一種是每股股票派發一定固定數額的股息。若標的股票在未來某一確定時間將支付已知股息率δ（股息與標的資產價格之比），我們只要調整在各個結點上的標的資產價格，就可算出期權價格。調整方法如下：如果時刻m△t在除權日之前，則結點處標的資產價格仍為：如果時刻m△t在除權日之后，則結點處證券價格相應調整為：10第二節二叉樹期權定價模型的擴展應用一、標的資產價格按29第二節二叉樹期權定價模型的擴展應用二、美式期權的二叉樹定價模型

美式期權與歐式期權的區別是美式期權可以在期權合約到期前的任何時點執行權利，而歐式期權則僅可在到期日執行權利。事實上，在運用二叉樹方法求當前的期權價格時，前提假設條件是期權的定價者，對于二叉樹上所有節點上的信息是知道的。求美式期權的當前價格時，在每個二叉樹的節點上，期權持有者可以有兩個價格選擇，一個是立刻執行期權獲得收益，另一個選擇是持有期權繼續等待，繼續等待相當于選擇了與歐式期權一樣的期望價值。這樣，美式期權的價格計算與歐式期權的價格計算的路徑基本相同，都是由期末的期權價值向后遞推而來的。不同之處是在每一個節點處，期權的持有者可以選擇上述兩種收益中的較大者作為向后遞推的價格依據。

例13-3:已知股票的信息：S0=100美元,u＝1.2，d＝0.8，K=100美元，r＝0.05，n＝3；求解看跌美式期權的價格。11第二節二叉樹期權定價模型的擴展應用二、美式期權的二叉30第二節二叉樹期權定價模型的擴展應用二、美式期權的二叉樹定價模型12第二節二叉樹期權定價模型的擴展應用二、美式期權的二叉31第二節二叉樹期權定價模型的擴展應用二、美式期權的二叉樹定價模型向后遞推值 即刻執行值 最大值

13第二節二叉樹期權定價模型的擴展應用二、美式期權的二叉32第二節二叉樹期權定價模型的擴展應用二、美式期權的二叉樹定價模型向后遞推值＝即刻執行值＝Max[K－該節點的股價，0]向后遞推值＝即刻執行值＝100－64＝3614第二節二叉樹期權定價模型的擴展應用二、美式期權的二叉33第二節二叉樹期權定價模型的擴展應用二、美式期權的二叉樹定價模型31.1191 36 36 8.2026 4 8.2026 0 0 0 2.9001 0 2.9001 17.6305 20 20 8.8044 0 8.8044 圖13-6求解看跌美式期權的二叉樹

依照上述方法，逐步完成全部向后遞推過程，如果圖13-4所示，最終可以得到該美式看跌期權的當前價格應當為8.8044美元。15第二節二叉樹期權定價模型的擴展應用二、美式期權的二叉34第三節布萊克——斯科爾斯期權定價模型省略16第三節布萊克——斯科爾斯期權定價模型省略35本章小結：本章講述了期權有效期內標的資產價格可能遵循的路徑，首先闡述了二叉樹模型的基本假設，介紹了二叉樹模型的兩種不同假定下定價模型推導，一種是資產組合復制（無風險套利假定），一種是風險中性假定。然后介紹了布萊克—舒爾斯期權定價模型