第二章結(jié)構(gòu)抗震基本知識

2.1

計算原則

2.2

地震作用

2.3

設(shè)計反應(yīng)譜2.4

振型分解反應(yīng)譜法2.5

底部剪力法

2.6

結(jié)構(gòu)豎向地震作用

2.7

結(jié)構(gòu)抗震驗算2.4

振型分解反應(yīng)譜法

大多數(shù)結(jié)構(gòu)物都應(yīng)簡化為多質(zhì)點體系分析

。而振型分解反應(yīng)譜法是彈性體系地震反應(yīng)的基本方法。其基本概念：(1)假定建筑結(jié)構(gòu)是線彈性多自由度體系；(2)利用振型分解，變?yōu)榍蠼鈔個獨立的等效單自由度彈性體系的最大地震反應(yīng)，從而求得每一振型的作用效應(yīng)；(3)按SRSS或CQC法則進(jìn)行作用效應(yīng)組合。振型分解法只需考慮前幾階振型，減小計算量。一、不考慮扭轉(zhuǎn)影響時結(jié)構(gòu)的地震作用和作用效應(yīng)對大多數(shù)質(zhì)量和剛度分布比較均勻和對轉(zhuǎn)影響，可在建筑物的兩個主軸方向分別考慮水平地震作用進(jìn)行驗算。稱的結(jié)構(gòu)?不需要考慮水平地震作用下的扭(

)(

)(

)(

)

(

)

(

)1.多自由度彈性體系的運動方程

(

)圖2-12多自由度彈性體系位移1

2

[

]

[

]

n

M

diag

m

m

m

=

L

,

,在n質(zhì)點即n個自由度的彈性體系：[M]為質(zhì)量矩陣，一般采用集中質(zhì)量陣形式：[K]—剛度矩陣，n×n階對角矩陣，如果只考慮層間剪切變形的層間剪切結(jié)構(gòu)[K]為三對角矩陣&&

&

&&[M]{x(t)}+[C]{x(t)}+[K]{x(t)}=?[M]{I}xg(t)（2-24）（2-25）[C]—阻尼矩陣[C]=α[M]+β[K]—瑞利阻尼形式（2-26）定；[I]—單位列向量。其中

α、β由ω1

、ω2、1

、2

確ζ

ζ2．多自由度彈性體系的自由振動

將式（2-24）略去阻尼項和右端項，振動方程：[M]{x(t)}+[K]{x(t)}=

0&&（2-27）設(shè)（2-27）式的解為：{x(t)}={X}sin(ωt

+φ)&&φ—初相角

。（2-28）

{x(t)}=

?ω

2{X}sin(ωt

+φ)

=

?ω2{x(t)}

（2-29）其中：([K]?ω

[M]){X}=

0將式(2-28)、(2-29)代入式(2-27)，得：2(2-30)為了體系振動，

必須是非零解，則：{X}[K]?ω2[M]

=

0(2-31)該方程的n個根2

2ω1、ω2

Lωn即是體系的n個自振頻率，一般有：

2

則n個自振周期：T1

>

T2

>L>

Tj

L>

Tn將所求的ω

j

依次代回（2-30），可得到與之相對應(yīng)的{X}j，即為振型。?

=

0K22

?m2ω

??X

2??mωK11

1

12KK22

?m2ωK21可解出ω

ω一個兩自由度體系：體系的自由振動方程

為：(即式(2-30))K12

??X1?

2???K11

?m1ω

2??

K21(2-32)(2-33)頻率方程(即式(2-31))

2

=

0

2

2

2

1，

2，將之帶回(2-32)式K11

?ω1

m2式（2-32）是齊次方程組，兩個方程線性相關(guān)

2

2第一振型：第二振型：

X11X12X

21X

22

值：

?

K12

2

?

K12K11

?ω2m1==每一振型的幅值之比都是常數(shù)，不隨時間而變。(2-34a)

(2-34b){X}

[M]{X}k

3．振型的正交性(1)振型關(guān)于質(zhì)量矩陣的正交性

：

其矩陣表達(dá)式為：=

0T

jj

≠

k(2-35){

式(2-35)是根據(jù)功的互等定理推導(dǎo)而來，式中{X}j

，X}k

分別為體系第

j

、k

振型的振幅

向量

。物理意義

：某一振型在振動過程中所引起的慣性力不在其它振型上作功，說明某一個振型的動能不會轉(zhuǎn)移到其它振型上去，也就是體系按某一振型作自由振動時不會激起該體系其它振型的振動。{X}

[K]{X}k

=

0

(2)振型關(guān)于剛度矩陣的正交性其矩陣表達(dá)式為(由功的互等定理而來)：T

j(

j

≠

k)(2-36)

2物理意義：該體系按k振型振動引起得彈性恢復(fù)力在j振型位移所作的功之和等于零，也即體系按某一振型振動時，它得位移不會轉(zhuǎn)移到其它振型上去。{X}

[C]{X}kC

={X}

[C]{X}j(3)振型關(guān)于阻尼矩陣的正交性令：[C]=α[M]+β[K]（2-26）則有：=

0T

j(

j

≠

k)當(dāng)j=k時，j振型的廣義阻尼為：

?

T

j

j（2-37）（2-38）()()(

)X1

1

=0.618X1

2

=1.0X2

2

=1.0X2

1

=-1.618

圖2-13兩質(zhì)點彈性體系的振型（a）兩質(zhì)點彈性體系；(b)第一振型；(c)第二振型m

K例題2-3已知某兩個質(zhì)點的彈性體系（如圖），其結(jié)構(gòu)參數(shù)為：

1

=

m2

=

m

，1

=

K2

=

K

。驗算質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性。[M]=

?[K]=

?K

?{X}=

?=

?質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為：?m?0

0?m???

K?

??2K??

K?0.618?

??

1

???1.618?

??

1

?{X}2第一振型和第二振型分別為：{X}

[M]{X}2={0.618

1.000}?解：（1）驗算振型關(guān)于質(zhì)量矩陣的正交性

由式（2-61）得：??

?

0???1.618?m??

1.000

??m?0T1??1.618m??

1.000m

?{X}

[K]{X}2={0.618

1.000}?（2）驗算振型關(guān)于剛度矩陣的正交性

由式（2-68）得：??

??

K???1.618?

K

??

1.000

??2K??

KT1??

4.236K??

2.618K

?={x

x

x{X}1

11

12

13}={x

x

x{X}2

21

22

23}

4.振型分解

n個自由度的彈性體系具有n個獨立振型。例如：3個自由度體系。TT

TXji:j振型i自由度的相對位移。（2-39）?x=

?

21?x23?由(2-39)形成矩陣：?

?[A]=[{X}1

{X}2

{X}3]

?x11

x12

x13?

x22

?x31

x32

x33?

3×3（2-40）?xi(t)

=∑xji

j(t)按照振型疊加原理，彈性結(jié)構(gòu)體系中每一個自由度在振動過程中的位移

可以表示為：q

nj=1q式中：

j(t)

為j振型的廣義坐標(biāo),即以振型作為坐標(biāo)系的位移值。(2-41)xi(t){

}

)

t

(

=?

?=?

?{

}1L

{

}n?

??

?=[

]{

}整個結(jié)構(gòu)體系的位移列向量、速度列向量

和加速度列向量可分別表示為:{X}2?

??

?

?x

1(t)?

?x2(t)?X

X

?

M

?

?xn(t)?&

&&&

&&{x(t)}=[A]{q(t)}

{x(t)}=[A]{q(t)}

?q

1?

?q2?X

A

q

?M

?

?qn?

(2-42a)(2-42b)(2-42c)對方程兩端左乘

得：

[

]

A5.

計算水平地震作用的振型分解反應(yīng)譜法地震作用下的運動微分方程為：&&

&

&&[M]{x(t)}+[C]{x(t)}+[K]{x(t)}=

?[M]{I}xg(t)(2-24)將(2-42a)、(2-42b)、(2-42c)式代入上式并T[

]

[

][

]{

}

[

]

[

][

]{

}

(

)

(

)

A

M

A

q

t

A

C

A

q

t

+

&&

&[

]

[

][

]{

}

[

]

[

][

]

(

)

g

A

K

A

A

M

I

x

t

+

=

?

&&{

}

[

]{

}

{

}

[

]{

}

(

)

(

)

j

j

j

j

j

j

M

t

C

X

q

t

+

&&XX

X{

}

[

]{

}

{

}

[

]{

}

(

)

(

)

j

g

j

j

j

K

q

t

M

t

+

=

?

&&XX

X

IT

TT

Tq(t)利用正交性，對式(2-43)

化簡，展開后可得n個獨立的二階微分方程，對于第j振型有：T

TT

T(2-43)(2-44)M

={X}j[M]{

}j*X其中：

廣義質(zhì)量：Tj

T

j

T

j則有：?

?

?

T

j

j

j

j

(2-45)和

的關(guān)系：KC

=

2ζ

jω

jM

?

??K

j

=ω

jM

j

??、*j仿照單自由度體系，

M*

jC*

j(2-46)

?

?

j

j

?

2

?其中，

j

表示第j振型的阻尼的圓頻率。ω將上式代入式(2-45)，并用j振型的廣義質(zhì)量除等式的兩端，得：

T

2

j

T

X(

j

=

1,2,L

n)(2-47){

}

[

]{

}

j

j

M要)，表示第i振型對結(jié)構(gòu)總響應(yīng)貢獻(xiàn)的大小。其中：

T

表示j振型參與系數(shù)(很重X

X分析式(2-45)

：相當(dāng)于單自由度彈性體系的運動方程，區(qū)別在于：自由度彈性體系的運動方程進(jìn)行解耦。①此廣義坐標(biāo)

qj(t)

作為未知量而不是x(t)；②方程右端項多1個

γ

j

，經(jīng)過坐標(biāo)變換將n0

(

)

x

e

τ

∫

&&(

)

t

t

j

ζ

ω

τ

γ

?

?(

)

sin

(

)

(

)

j

g

j

j

j

q

t

t

d

t

ω

τ

τ

γ

=

?

?

=

?參照單自由度體系，Duhamel積分，方程(2-49)式的解為：j

jω

j?

j(t)

為

ζ

j

、ωj

單自由度彈性體系的位移。(

j

=1,2,L,n)

（2-48）xi(t)

=∑γ

j?

j(t)X

ji&

x

&i(t)

=∑γ

j?

&&

j(t)X

jij=1∑γ

多自由度彈性體系i質(zhì)點相對于基礎(chǔ)的位移和加速度為：

n

nj=1j

nj=1X

ji

=1q

qX

ji

為振型幅值，

j(t)、

&&(t)

分別見式（2-41）和式（2-42）。

由結(jié)構(gòu)力學(xué)得：

（2-49a）（2-49b）（2-50）x第i自由度t時刻的水平地震作用Fi(t)=作用在i質(zhì)點的慣性力

：

(t)

=

m

(t)+

&&

n

j=1

則j振型i自由度得水平作用Fi(t)為：?

&&

x

?Fji(t)

=

mi

?γ

j?

j(t)X

ji

+γ

jX

ji&&g(t)?（2-52）?

?

?

?

為單自由度體系的其中：是j振型自振周期的maxFji

=

Fji(t)&&

&&=

miγ

jX

ji[xg(t)

+

?

j(t)]maxmaxx

&&&&g(t)+?

j(t)

Sa(ξ

j,ω

j)；

α

j

=

Sa(ξ

j,ω

j)/

g影響系數(shù)。=α

jγ

jX

jiGi

(i

=1,2,L,n;

j

=1,2,L,n)

(2-53)V

ji

=∑Fjk

6.

地震作用效應(yīng)有了Fji后?

計算j振型水平地震作用產(chǎn)生的作用效應(yīng)。對于層間剪切結(jié)構(gòu)，j振型地震作用下各樓層水平地震層間剪力：

nk=i(i

=1,2,Ln)

(2-54)圖2-15

j振型水

平地震作用式(2-53)

、(2-54)是整個地震作用過程中各振型作用效應(yīng)的最大值。而最大值并不出現(xiàn)在同一時刻，不能簡單疊加

存在一個各振型作用效應(yīng)組合問題。

《規(guī)范》規(guī)定了兩種組合方法：⑴平方和開方SRSS；⑵完整的二次項組合法(CQC法)。

SRSS法適用范圍：⑴平穩(wěn)隨機過程；

⑵各振型之間獨立。?jS

2S

=∑(2-55)例2-4.試用振型分解反應(yīng)譜法計算人如圖所示的三層框架，在多遇地震時的層間地震剪力。已知抗震設(shè)防烈度為8度，設(shè)計地震分組為第二組，Ⅱ類場地，阻尼比取0.05。321圖2-16

三層框架示意第一振型

{

}

[

]

000

.

1

667

.

0

334

.

0

1

=

X第二振型

{

}

[

]

000

.

1

666

.

0

667

.

0

2

?

?

=

X{

}

[

]

000

.

1

035

.

3

019

.

4

?

=

X第三振型解：（1）求解結(jié)構(gòu)體系的周期和振型由矩陣迭代法（或雅可比法）可計算出結(jié)構(gòu)體系的三個自振周期和振型分別為：TT1

=

0.467sTT2

=

0.208sT3T3

=

0.134sα1

=

?

???

0.40

??

η2αmax

=

?

?

（2）

計算各振型的地震影響系數(shù)

查得多遇地震時設(shè)防烈度為8度的

αmax

=

0.16查得Ⅱ類場地、設(shè)計地震分組為第二組Tg

=

0.40s當(dāng)阻尼比ξ

=

0.05

時，η2

=1.0

γ

=

0.9

第一振型，因Tg

<

T1

<

5Tg

，所以：0.9×1.0×0.16

=

0.139?

?0.467?γ?Tg?

T第二振型α2

=αmax

=

0.16

第三振型

α3

=αmax

=

0.16∑X1764

000

.

1

2646

667

.

0

2646

334

.

0

×

+

×

+

×1

=

=

γ1764

000

.

1

2646

667

.

0

2646

334

.

0

×

+

×

+

×∑1

=

iX

∑2

0.428

γ

=

=

?第二振型：X

∑i

G2=1.363

（3）計算各振型的參與系數(shù)由式（2-84）計算各振型的振型參與系數(shù)第一振型：

3

1iGi

i=1

3

2

2

2

X1iGi

3

2iGi

i=1

3

2

2i

i=1∑

X∑

G(4)

計算各振型各樓層的水平地震作用各振型各樓層的水平地震作用由式(2-96)計算：第三振型：2

3iGiX3i

i

3i=1

3i=1γ

3

==

0.063第一振型：F1i

=α1γ

1X1iGi

F11

=

0.139×1.363×0.334×2646

=167.4kN

F12

=

0.139×1.363×0.667×2646

=

334.4kN

F13

=

0.139×1.363×1.000×1764

=

334.2kN第二振型：

F2i

=α2γ

2X

2iGi

F21

=120.9kN第三振型：

F31

=107.2kN

F22

=120.7kNF3i

=α3γ

3X

3iGi

F32

=

?80.9kNF23

=

?120.8kN

F33

=17.8kN∑F1k(5)計算各振型的層間剪力

nk=i第一振型：

V1i

=

V11

=167.4+334.4+334.2

=

836.0kNV12

=

334.4+334.2

=

668.6kN

V13

=

334.2kNV2i

=∑F2k第三振型：

V3i

=∑F3k第二振型：

V21

=120.8kN

n

k=iV22

=

?0.1kNV23

=

?120.8kN

nk=iV31

=

44.1kN

V32

=

?63.1kNV33

=17.8kN（6）計算水平地震作用效應(yīng)各層層間剪力由式（2-97）計算各層層間剪力2

2V1

=

V11

+V21

+V31

=845.8kNV2

=

671.6kNV3

=355.8kN

圖2-17

各振型的地震剪力(kN)（a）第一振型地震剪力；（b）第二振型地震剪力；

（c）第三振型地震剪力和組合后各層地震剪力(kN)(短邊)

×1.15(長邊)

×1.05扭轉(zhuǎn)K小時乘數(shù)不小于1.3

二

、估計水平地震作用扭轉(zhuǎn)影響的結(jié)

構(gòu)地震作用和作用效應(yīng)

規(guī)則結(jié)構(gòu):由于施工、使用等原因所產(chǎn)生的偶然偏心?有扭轉(zhuǎn)現(xiàn)象；

規(guī)范規(guī)定：規(guī)則結(jié)構(gòu)不進(jìn)行扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)計算時，平行于地震作用方向的兩個邊

榀，其地震作用效應(yīng)×增大系數(shù)

：平面復(fù)雜、不規(guī)則、質(zhì)量剛度明顯不均勻、不對稱的多高層建筑大量出現(xiàn)震作用下的扭轉(zhuǎn)影響；過去采用“偏心矩法”，人為主觀因素較多，物理概念不明確?！兑?guī)范》：采用振型分解反應(yīng)譜法計算平移-扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)的多高層建筑的水平地震作用。?

《規(guī)范》規(guī)定：對這類建筑應(yīng)考慮水平地要解決以下三個問題：（1）求解平移－扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)體系的自由振動；（2）計算各振型水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值的表達(dá)式；（3）各振型地震作用效應(yīng)的組合方法。1．

平移－扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)體系的自由振動①

樓板自身平面內(nèi)絕對剛性，平面外剛度忽略不計；②

各榀抗側(cè)力結(jié)構(gòu)(框架或剪力墻)自身平面內(nèi)剛度很大，平面外忽略；③

所有構(gòu)件不考慮自身的抗扭作用；④

振動計算時，將質(zhì)量(包括柱、墻的質(zhì)量)集中到各層樓板處?；炯俣ǎ杭性诿恳粯菍拥馁|(zhì)量有三個自由度，兩個正交水平移動和一個轉(zhuǎn)角，坐標(biāo)原點一

般選在各樓層的質(zhì)心處，如圖2-

19所示，坐標(biāo)軸為一折線形軸，

運動方程：

[M]{D(t)}+[C]{D(t)}+[K]{D(t)}&&

&=

?[M]{Dg(t)}&&（2-56）圖2-19計算簡圖Ji

=

mi(a

+b

)/12[其中：M]

為廣義質(zhì)量陣（3n×3n）

[M]=

diag[[m]

[m]

[J]]

[m]=

diag[m1

m2Lmn]其中mi是第

i樓層的質(zhì)量；

[J]=

diag[J1

J2LJn]

2

2上式

Ji表示第i層質(zhì)量對本樓層質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量。a、b分別是本樓層的長短邊。（2-57）

（2-58）

（2-59）[K]=

?

[0][KYY][KYΦ]?[Kxx]=∑[Kx]s[K

yy]=∑[Kr]rn??

[K

zp]?

?[KΦΦ]?[K]為廣義側(cè)移剛度陣：

?

[K

zz]

[0]

?

?[K

zp]T

[KYΦ]（2-60）上式表明兩個平動之間無耦聯(lián)；

ny

s=1其中ny

為平行于軸框架的榀數(shù)

[Kz]s為平行于軸第s榀框架的剛度矩陣

x

r=1

（2-61）（2-62）y[

xΦ]

∑[

x]s

s

]

r

[y

ny

K

=

K

s=1

[Y]s

=

diag[y1s

y2sLyns]其中

y1s為第i層第s榀方向框架的y向坐標(biāo)（2-63）（2-64）

x圖2-20第i層平面圖[K

xΦ]

=

∑

?

?

?

?

r[r]r

nx

K

y

r=1[X]r

=

diag[x1r

x2rLxnr]（2-65）（2-66）其中

xir為第i層第r榀y方向框架的x向坐標(biāo)

ny

nx

T

T

K

K

s=1

r=1

（2-67）{D}

=[u1其中[D]為廣義位移，且：Tu2

L

un

v

1

v2

L

vn

Φ1

Φ2

L

Φn]&&

{Dg(t)}

—地面運動水平加速度時間歷程函數(shù)：

T

T

T

Tg

g

D

D?d

??&&g(t)?

為地面運動加速度的時間歷程；

θD

為地面運動方向與x軸的夾角。其中：先求解平動－扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)體系的自由振動，其方程為：[M]{D}+[K]{D}

=

0&&結(jié)構(gòu)體系的自由度為3n（n為結(jié)構(gòu)的層數(shù)），常用雅可比法求解。（2-69）2

.結(jié)構(gòu)體系考慮扭轉(zhuǎn)影響的水平地震作用仍按振型分解法：&&

&&&

&

{D(t)}=

[A]{q(t)}?

{D(t)}=

[A]{q(t)}??

{D(t)}=

[A]{q(