2017年高考“2017年高考“最后三十天”專題透析好教育云平臺——教育因你我而變好教育云平臺——教育因你我而變（新（新高考）小題必練8：圓錐曲線1．了解圓錐曲線的實(shí)際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用．2．掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)；了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡單幾何性質(zhì)．3．了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用；理解數(shù)形結(jié)合的思想．了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系．1．【2020全國Ⅰ卷理科】已知SKIPIF1<0為雙曲線SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的右頂點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0軸，若SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的離心率為．【答案】2【解析】由題可知點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，代入并化簡可得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍棄）．【點(diǎn)睛】主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)、直線的斜率等知識點(diǎn)．2．【2019全國Ⅰ卷理科】已知橢圓SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的方程為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由橢圓SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)橢圓的定義可知SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，根據(jù)相似可得SKIPIF1<0代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】利用橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程運(yùn)算求解．一、單選題．1．已知雙曲線SKIPIF1<0SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的右支上，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的內(nèi)切圓與邊SKIPIF1<0切于點(diǎn)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的漸近線方程是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設(shè)三角形SKIPIF1<0的內(nèi)切圓的圓心為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在第一象限，如圖所示．作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．根據(jù)雙曲線的定義可知SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以雙曲線SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0，故選A．2．過雙曲線SKIPIF1<0SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的右支于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，直線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是坐標(biāo)原點(diǎn)）交SKIPIF1<0的左支于點(diǎn)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則雙曲線SKIPIF1<0的離心率為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)左焦點(diǎn)為SKIPIF1<0．因?yàn)橹本€SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的左支于點(diǎn)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為矩形．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選C．3．已知雙曲線SKIPIF1<0SKIPIF1<0的左、右頂點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0為等腰三角形，其外接圓的半徑為SKIPIF1<0，則雙曲線SKIPIF1<0的離心率為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】解法一：不妨設(shè)SKIPIF1<0在第一象限，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0是等腰三角形，所以結(jié)合圖形可知，只能SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．又點(diǎn)SKIPIF1<0在雙曲線上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故選C．解法二：不妨設(shè)SKIPIF1<0在第一象限，因?yàn)镾KIPIF1<0是等腰三角形，所以結(jié)合圖形可知，只能SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故選C．4．過拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)SKIPIF1<0作直線與該拋物線交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】解法一：由題意，知SKIPIF1<0，準(zhǔn)線SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．由拋物線的定義，知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選A．解法二：由題意，知SKIPIF1<0，準(zhǔn)線SKIPIF1<0，如圖，作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入拋物線方程SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0②．聯(lián)立①②解得SKIPIF1<0，代入拋物線方程SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．由拋物線的定義，知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選A．5．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是雙曲線SKIPIF1<0的上、下焦點(diǎn)，SKIPIF1<0是其一條漸近線上的一點(diǎn)，且以SKIPIF1<0為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)SKIPIF1<0，不妨設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0的過一、三象限的漸近線SKIPIF1<0上，因此可得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為直徑的圓的方程為SKIPIF1<0，又以SKIPIF1<0為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，故選C．6．已知拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)相同，過點(diǎn)SKIPIF1<0分別作兩條直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的斜率的平方和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由雙曲線方程知其右焦點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以拋物線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．由題意可設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，于是由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0為拋物線的焦點(diǎn)，所以由拋物線的定義可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，故選C．7．過拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0，交拋物線于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的斜率為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】解法一：由題意知直線SKIPIF1<0的斜率存在且不等于SKIPIF1<0，拋物線的焦點(diǎn)SKIPIF1<0．設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，代入拋物線的方程，得SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．拋物線的準(zhǔn)線方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0．解法二：如圖，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0在第一象限，分別過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，根據(jù)拋物線的定義得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在第一象限時可得直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0．綜上，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0．8．已知橢圓SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的方程為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由題意設(shè)橢圓的方程為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由橢圓的定義知，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)．令SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)），則SKIPIF1<0．在等腰三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，題意SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，故選B．二、多選題．9．已知曲線SKIPIF1<0．（）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是橢圓，其焦點(diǎn)在SKIPIF1<0軸上B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是圓，其半徑為SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是雙曲線，其漸近線方程為SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是兩條直線【答案】ACD【解析】對于選項(xiàng)A，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0可變形為SKIPIF1<0，∴該方程表示焦點(diǎn)在SKIPIF1<0軸上的橢圓，正確；對于選項(xiàng)B，∵SKIPIF1<0，∴方程SKIPIF1<0可變形為SKIPIF1<0，該方程表示半徑為SKIPIF1<0的圓，錯誤；對于選項(xiàng)C，∵SKIPIF1<0，∴該方程表示雙曲線，令SKIPIF1<0，正確；對于選項(xiàng)D，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴方程SKIPIF1<0變形為SKIPIF1<0，該方程表示兩條直線，正確，綜上選ACD．10．當(dāng)SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0表示的軌跡可以是（）A．兩條直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線【答案】ACD【解析】將SKIPIF1<0分為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三種情況進(jìn)行分類討論，由此確定正確選項(xiàng)．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．方程SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0，表示焦點(diǎn)在SKIPIF1<0軸上的橢圓；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0化為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，表示兩條直線；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．方程SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0，表示焦點(diǎn)在SKIPIF1<0軸上的雙曲線，所以曲線不可能表示圓，故選ACD．11．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是雙曲線SKIPIF1<0的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0是雙曲線上異于雙曲線頂點(diǎn)的一點(diǎn)，且向量SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（）A．雙曲線SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0 B．以SKIPIF1<0為直徑的圓的方程為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0到雙曲線的一條漸近線的距離為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】A．代入雙曲線漸近線方程得SKIPIF1<0，正確；B．由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則以SKIPIF1<0為直徑的圓的方程，不是SKIPIF1<0，錯誤；C．SKIPIF1<0，漸近線方程為SKIPIF1<0，距離為SKIPIF1<0，正確；D．由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，正確，故選ACD．12．已知拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，準(zhǔn)線為，過SKIPIF1<0的直線與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在上的射影，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0為等腰直角三角形C．直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0 D．線段SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】由題意由拋物線的對稱性，焦點(diǎn)SKIPIF1<0，準(zhǔn)線方程為SKIPIF1<0，由題意可得直線SKIPIF1<0的斜率不為SKIPIF1<0，由題意設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將直線SKIPIF1<0與拋物線聯(lián)立整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．A中，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以A正確；B中，由A正確，不可能SKIPIF1<0，更不會SKIPIF1<0或SKIPIF1<0為直角，所以B不正確；C中，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，所以C正確；D中，由題意可得弦長SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以D正確，故選ACD．三、填空題．13．過拋物線SKIPIF1<0焦點(diǎn)的直線SKIPIF1<0與該拋物線相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0的值為_