matlab頻譜分析時(shí)的若干

問(wèn)題解釋及幾種頻譜的理

解文主要說(shuō)明以下幾個(gè)問(wèn)題：在matlab中如何表示頻率為fl,以采樣率三抽樣后所得到的數(shù)字信號(hào)？如此表示的依據(jù)是什么？使用matlab畫出的頻譜（一般是幅度譜或稱振幅譜）的橫坐標(biāo)軸的意義是什么？如何根據(jù)橫坐標(biāo)軸的值得到其所對(duì)應(yīng)的實(shí)際頻率？實(shí)數(shù)序列的頻譜除第零個(gè)點(diǎn)和第N/2個(gè)（當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)）點(diǎn)外（從0~N-1），其它具有共軛對(duì)稱性質(zhì)；復(fù)數(shù)序列呢？頻率分辨率指的是什么？高分辨譜和高密度譜有何區(qū)別？有何作用？約定：對(duì)于信號(hào)cos（st）,它是以周期為2兀/3為周期的信號(hào)，角頻率3=2nf，我們經(jīng)常這樣稱呼這個(gè)信號(hào)：它的角頻率為3,頻率為fHz，周期T=1/f秒；一、信號(hào)采樣問(wèn)題在matlab中對(duì)以下信號(hào)進(jìn)行采樣：瓦（"=cos輛￡）= 冗井）其中fl=1000Hz，根據(jù)奈奎斯特采樣定理，采樣頻率三N2f1，在此我們?nèi)=3000Hz。在matlab中仿真也好，實(shí)際中處理的信號(hào)也罷，一般都是數(shù)字信號(hào)。而采樣就是將信號(hào)數(shù)字化的一個(gè)過(guò)程，設(shè)將信號(hào)s1（t）數(shù)字化得到信號(hào)：其中n=[0???N-1]，N為采樣點(diǎn)數(shù)。我們來(lái)解釋一下s1(n)，為什么說(shuō)上式表示以采樣率三對(duì)頻率為fl的信號(hào)進(jìn)行采樣的結(jié)果呢？采樣，顧名思義，就是對(duì)信號(hào)隔一段時(shí)間取一個(gè)值，而隔的這段時(shí)間就是采樣間隔，取其倒數(shù)就是采樣率了。那們我們看上式，將前面的參數(shù)代入：當(dāng)n=0時(shí):虹(0)二匚0§(0)當(dāng)n=1時(shí)：s.nj=cos當(dāng)n=2時(shí):當(dāng)n=3時(shí):這是不是相當(dāng)于對(duì)信號(hào)s1(t)的一個(gè)周期內(nèi)采了三個(gè)樣點(diǎn)呢？對(duì)一個(gè)頻率為1000Hz的信號(hào)每周期采三個(gè)樣點(diǎn)不就是相當(dāng)于以3倍于頻率的采樣率進(jìn)行采樣呢？注意，當(dāng)n=3時(shí)相當(dāng)于下一個(gè)周期的起始了。我們?nèi)〔蓸狱c(diǎn)數(shù)N=64，即對(duì)64/3=21.3個(gè)周期，共計(jì)64/3/f1=21.3ms時(shí)長(zhǎng)。我們?cè)趍atlab中輸入以下命令：>>n=0:63;>>f1=1000;f=3000;>>si=cos(2*pi*f1/f*n);>>plot(abs(fft(s1)));口 ‘ i ——-i ：0 10 20 30JO￡0 60 70圖1下面我們對(duì)圖1進(jìn)行一下解釋，以說(shuō)明圖中的橫坐標(biāo)軸的所代表的意義。對(duì)于信號(hào)：氣們二C3（理）我們知道它的傅里葉變換是：與（陌）二北四口一氣）十'（白十氣）］如果在-2nX3000/2~2nX3000/2范圍內(nèi)觀察信號(hào)s1（t）的頻譜，則應(yīng)該在2nX1000和-2nX1000兩個(gè)頻點(diǎn)上有兩根譜線，而對(duì)采樣后的數(shù)字信號(hào)，頻率坐標(biāo)軸范圍-2nX3000/2~2nX3000/2將被歸一化到-2nX（3000/2）/3000~2nX（3000/2）/3000即-n~n范圍內(nèi)，因此將在2nX1000/3000和-2nX1000/3000即2n/3和-2n/3的兩個(gè)頻點(diǎn)上有兩根譜線。注意，此時(shí)坐標(biāo)軸上的2n代表著3000Hz的頻率范圍。另外還有一點(diǎn)應(yīng)該明白的是，時(shí)域采樣意味著頻域的周期延拓，即-n~n上的譜線與-n+MX2n~n+MX2n范圍內(nèi)的譜線是一模一樣的，其中M為任意的整數(shù)。更通俗的說(shuō)，a~b之間的頻譜與a+MX2n~b+MX2n之間的頻譜是一模一樣的。因此-n~0之間的頻譜與n~2n之間的頻譜是一樣的。在matlab中，如果僅簡(jiǎn)單的執(zhí)行plot繪圖命令，坐標(biāo)橫軸將是1~N，那么這1~N代表著什么呢？是的，應(yīng)該代表0X2n，應(yīng)用到上面的例子即是0~3000Hz的頻率范圍。其中1~N/2代表0~n，而N/2~N代表-n~0。從理論上講，對(duì)于氣.）=cos‘源拒、應(yīng)該在1000Hz和-1000Hz兩個(gè)頻點(diǎn)上有兩根線，即應(yīng)該在x1（其中x1X（3000/2）/（64/2）=1000，解得x1=21.3）上和64-x1上有兩根譜線。觀察圖1可知，兩個(gè)峰值大約對(duì)應(yīng)橫軸坐標(biāo)為21和43=64-21兩個(gè)點(diǎn)。若令：如（e）=則傅里葉變換是：禹（包=一丁打［風(fēng)如一昭）一占3+弓）］在matlab中執(zhí)行以下命令:>>n=0:63;>>f1=1000;f=3000;>>s2=sin(2*pi*f1/f*n);>>plot(abs(fft(s2)));則可得其頻譜，如圖2所示:30i 1 1 1 圖2由圖可得兩個(gè)峰值的位置基本與圖1相同，這由其傅里葉表達(dá)式也可以得出此結(jié)論。以上分別說(shuō)明了余弦和正弦的頻譜，而且余弦和正弦均是實(shí)數(shù)序列，實(shí)數(shù)序列的離散傅里葉變換（DFT）具有共軛對(duì)稱性質(zhì)（此性質(zhì)可百度或查閱數(shù)字信號(hào)處理相關(guān)書籍或自行推導(dǎo)，很簡(jiǎn)單的），這從圖中也可以看出。（畫圖時(shí)取其模值，共軛取模與原先數(shù)取模將變成相等）二、復(fù)數(shù)的頻譜若令q.'二.匚眼（可丈）+Jsinf理）則計(jì)算其傅里葉變換可得：§［苗）二科￡"一知十『（歸十馮）J七"_J打［占［站_為“（皿十妃］｝=-妃因此頻譜中將只有一根譜線。在matlab中輸入以下命令:>>n=0:63;>>f1=1000;f=3000;>>s3=cos(2*pi*f1/f*n)+j*sin(2*pi*f1/f*n);>>plot(abs(fft(s3)));圖3從圖3可以看出，對(duì)于一個(gè)復(fù)數(shù)序列求頻譜，它的幅度譜將不再是對(duì)稱的兩根譜線。其實(shí)經(jīng)過(guò)類似于實(shí)數(shù)序列的推導(dǎo)可以得出，復(fù)數(shù)序列的頻譜將不再具有類似于實(shí)數(shù)序列的共軛對(duì)稱性質(zhì)。當(dāng)31為負(fù)值時(shí)會(huì)如何呢？同樣對(duì)于信號(hào):&4 =cos（理）+Jwin（巧輸入以下命令計(jì)算它的頻譜：>>n=0:63;>>f1=-1000;f=3000;>>s4=cos(2*pi*f1/f*n)+j*sin(2*pi*f1/f*n);>>plot(abs(fft(s4)));圖4對(duì)比圖3和圖4可知，當(dāng)頻率為正值時(shí)，峰值將在1~32范圍內(nèi)；而當(dāng)頻率為負(fù)值時(shí)，峰值將在33~64之間。此性質(zhì)可通俗的描述如下：對(duì)于信號(hào)：E(f.)= +jsin(2^7?)對(duì)其進(jìn)行符合奈奎斯特采樣定理的采樣，設(shè)采樣率為fs，采樣點(diǎn)數(shù)為N，得到數(shù)字信號(hào)s(n),n=［0,…,N-1］，則對(duì)s(n)做DFT變換進(jìn)行譜分析后得到S(k)，k=［0,…,N-1］。觀察S(k)的幅度譜，若k=0~N/2-1之間有峰值，則s(t)的頻率三在0~fs/2之間；若k=N/2~N-1之間有峰值，則s(t)的頻率三在-fs/2~0之間；并且有且只有一個(gè)峰值。設(shè)幅度譜峰值當(dāng)k=k1時(shí)出現(xiàn)，則s(t)的頻率為：八斜T*3一片)萬(wàn)以］頂三、頻率分辨率頻率分辯率是指頻域取樣中兩相鄰點(diǎn)間的頻率間隔。更確切的說(shuō)是如果某一信號(hào)含有兩個(gè)頻率成分f1和f2，Of=|f2-f1|，頻率分辨率的概念是如果頻率分辨率大于Of，對(duì)信號(hào)進(jìn)行譜分析后將不能視別出其含有兩個(gè)頻率成分，這兩個(gè)頻率將混疊在一起。以下是摘自華科姚大任《數(shù)字信號(hào)處理(第二版)〉第92頁(yè)的一段：I.謂分析中若敷的是擇姬毋所處理的高敞時(shí)簡(jiǎn)箝號(hào)ZW是從連埃時(shí)伺惜號(hào)H.U）中取樺御劇的，下面的甘論來(lái)用如下符號(hào)：7X取樣周期）.單位為引人（敗樣筱率）■單位為也J,-若兀〔連續(xù)時(shí)匍俺號(hào)r/0的量高魏享｝,革位為Hi；F（*酌巍率分辯率｝,單位為Hl所謂頻驅(qū)分驊率是指KT域拿樣中南相邨點(diǎn)間的源率間隔.也就是說(shuō)，對(duì)rji）的振?磨IX."）漣行胄散鹿察時(shí)，兩再散原率的同RI不能4、于匕香州?肘工.（。所包含的這兩個(gè)烯率成分就不可能加以分痍.當(dāng)工.。）的擇相譜IX.（/）|變化比較劇烈時(shí)/應(yīng)股得小一些】而當(dāng)IX//）|變化較平技時(shí),F可敏得較大，&（信號(hào)aU）的it小記梁長(zhǎng)度〉—*,單位為2N（—個(gè)記袤長(zhǎng)度中的職樣敬），基帶值號(hào)的顆諸主要集中在候煩段,根據(jù)取樣定理，為了遂兔混登曳真,要求A2A或7'W法 （M”）簸小記最長(zhǎng)度必兼按所靂的腰率賢舞率來(lái)選擇，犀fp=NT=A （3,92）從式（3,91）可狩出，當(dāng)提高信號(hào)最嬴頗宰八時(shí)，卷須喊少T倦N固定的情況下*畝式（3.92）看出，記呆長(zhǎng)度”將增短，造.意味著頻率分辨率要降惴?反之,春娶提高頻率分輯率，在給定N的情睨下，就必須增M，,這必然導(dǎo)致T的堵加，結(jié)果使能分析的最高頻率降低，在保持分葬率不變的靖配F,若希望增如所分析的信號(hào)的景腐頻率,或在保持倚號(hào)廉高弒聿不變的情況下，提高分辨率?唯一的辦法是增加在記錄長(zhǎng)度內(nèi)的取律點(diǎn)敷N.如果人和Fiff黔定，那么N必頊槽足條件（3.93）現(xiàn)在我們?cè)O(shè)定信號(hào)：&5（f）=COS（件）+如（瑪￡）其中31=2jiX1000,g）2=2nX1100,在matlab中輸入以下命令計(jì)算其頻譜：>>n=0:63;?fl=1000;f2=1100;f=3000;>>s5=cos(2*pi*fl/f*n)+sin(2*pi*f2/f*n);>>plot(abs(fft(s5)));圖5從圖5中可以看出能夠分辨出fl=1000Hz和f2=1100Hz兩個(gè)頻率分量。我們利用上面的理論來(lái)計(jì)算一下此時(shí)的頻率分辨率：采樣頻率三，=3000Hz采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)N=64最長(zhǎng)記錄長(zhǎng)度tp=NX(1/fs)頻率分辨率F=1/tp=fs/N=3000/64=46.875Hz因?yàn)镕<f2-f1=100Hz,因此能夠分辨出兩個(gè)頻率分量。下面我們作如下嘗試：第一種嘗試：fs不變?nèi)詾?000Hz，即奈奎斯特定理仍然滿足，大于信號(hào)s5(t)的最高頻率分量1100Hz的兩倍，但將采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)N減小為24個(gè)，在matlab中輸入以下命令：>>n=0:23;>>f1=1000;f2=1100;f=3000;

>>s5=cos(2*pi*f1/f*n)+sin(2*pi*f2/f*n);>>plot(abs(fft(s5)));圖6第二種嘗試:采樣率fs升為8000Hz,即滿足奈奎斯特采樣定理，大于信號(hào)s5(t)的最高頻率分量1100Hz的兩倍，采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)N不變，仍為64個(gè)，在matlab中輸入以下命令：>>n=0:63;>>f1=1000;f2=1100;f=8000;>>s5=cos(2*pi*f1/f*n)+sin(2*pi*f2/f*n);>>plot(abs(fft(s5)));300024圖300024圖7由圖6和圖7可以看出，這兩種嘗試雖然滿足奈奎斯特采樣定理，但都不能分辨出兩個(gè)頻率分量，用前面的理論知識(shí)可以作如下分析:第一種嘗試的頻率分辨率:第二種嘗試的頻率分辨率:因此以上兩種嘗試均不能分辨出頻率間隔為100Hz的兩個(gè)頻率分量。四、高密度譜的概念如圖6所示，頻譜很不平滑，呈很明顯的折線狀態(tài)，我們?cè)趍atlab中輸入以下命令：>>n=0:23;>>f1=1000;f2=1100;f=3000;>>s5=cos(2*pi*f1/f*n)+sin(2*pi*f2/f*n);>>plot(abs(fft([s5,zeros(1,104)])));圖8圖8是將圖6中的信號(hào)在時(shí)域補(bǔ)了104個(gè)零后才進(jìn)行譜分析的。比較圖6與圖8,雖然相對(duì)于圖6來(lái)說(shuō)圖8的頻率分辨率并沒(méi)有增加，但其每個(gè)點(diǎn)所代表的頻率更小了，也就是密度更高了（同樣3000Hz的頻率，圖6中使用了24點(diǎn)，而圖8中使用了128點(diǎn)），這就是高密度譜。通常可以靠補(bǔ)零的方式來(lái)提高頻譜的密度，但補(bǔ)零不能提高頻率分辨率。很多人在此很迷惑，在末尾加零后，使一個(gè)周期內(nèi)的點(diǎn)數(shù)增加，必然使樣點(diǎn)間隔更近，譜線更密，是以前看不到的譜分量就可以看到了，能夠看到更多的譜，不是提高分辨力了嗎？其實(shí)加零后，并沒(méi)有改變?cè)杏涗浀臄?shù)據(jù)，原有數(shù)據(jù)的頻譜一開(kāi)始就存在，我們只是有的看不見(jiàn)，加零后只是讓我們看見(jiàn)原來(lái)本就存在的頻率，也就是說(shuō)，原始數(shù)據(jù)代表的該有的頻率就有，沒(méi)有的頻率加再多的零（極限是成連續(xù)的），也沒(méi)法看見(jiàn)。在數(shù)字信號(hào)處理中，高分辨率譜和高密度譜是較為易混淆的兩個(gè)概念。獲得高分辨率譜的途徑是增加信號(hào)采樣的記錄時(shí)間tp，而高密度譜則是通過(guò)在時(shí)域補(bǔ)零得到的。高分辨譜的用途很顯示，可以分辨出頻率間隔更小的兩個(gè)頻率分量，那么高分辨率譜有什么作用呢？要想明白高密度譜的概念，就不得知道一個(gè)名詞：柵欄效應(yīng)。高