第28頁（共28頁）2019年湖南省株洲市中考數學試卷一、選擇題（每小題有且只有一個正確答案，本題共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）（2019?資陽）的倒數是A． B． C． D．32．（3分）（2019?株洲）A． B．4 C． D．3．（3分）（2019?株洲）下列各式中，與是同類項的是A． B． C． D．4．（3分）（2019?株洲）對于任意的矩形，下列說法一定正確的是A．對角線垂直且相等 B．四邊都互相垂直 C．四個角都相等 D．是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形5．（3分）（2019?株洲）關于的分式方程的解為A． B． C．2 D．36．（3分）（2019?株洲）在平面直角坐標系中，點位于哪個象限？A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（3分）（2019?株洲）若一組數據，3，1，6，3的中位數和平均數相等，則的值為A．2 B．3 C．4 D．58．（3分）（2019?株洲）下列各選項中因式分解正確的是A． B． C． D．9．（3分）（2019?株洲）如圖所示，在直角平面坐標系中，點、、為反比例函數上不同的三點，連接、、，過點作軸于點，過點、分別作，垂直軸于點、，與相交于點，記、、四邊形的面積分別為、、，則A． B． C． D．10．（3分）（2019?株洲）從，1，2，4四個數中任取兩個不同的數（記作，構成一個數組，（其中，，且將，與，視為同一個數組），若滿足：對于任意的，和，，，都有，則的最大值A．10 B．6 C．5 D．4二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）11．（3分）（2019?株洲）若二次函數的圖象開口向下，則0（填“”或“”或“”．12．（3分）（2019?株洲）若一個盒子中有6個白球，4個黑球，2個紅球，且各球的大小與質地都相同，現隨機從中摸出一個球，得到白球的概率是．13．（3分）（2019?株洲）如圖所示，在中，，是斜邊上的中線，、分別為、的中點，若，則．14．（3分）（2019?株洲）若為有理數，且的值大于1，則的取值范圍為．15．（3分）（2019?株洲）如圖所示，過正五邊形的頂點作一條射線與其內角的角平分線相交于點，且，則度．16．（3分）（2019?株洲）如圖所示，為的直徑，點在上，且，過點的弦與線段相交于點，滿足，連接，則度．17．（3分）（2019?株洲）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？“其意思為：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，現速度慢的人先走100步，速度快的人去追趕，則速度快的人要走步才能追到速度慢的人．18．（3分）（2019?株洲）如圖所示，在平面直角坐標系中，在直線處放置反光鏡Ⅰ，在軸處放置一個有缺口的擋板Ⅱ，缺口為線段，其中點，點在點上方，且，在直線處放置一個擋板Ⅲ，從點發出的光線經反光鏡Ⅰ反射后，通過缺口照射在擋板Ⅲ上，則落在擋板Ⅲ上的光線的長度為．三、解答題（本大題共8小題，共66分）19．（6分）（2019?株洲）計算：．20．（6分）（2019?株洲）先化簡，再求值：，其中．21．（8分）（2019?株洲）小強的爸爸準備駕車外出．啟動汽車時，車載報警系統顯示正前方有障礙物，此時在眼睛點處測得汽車前端的俯角為，且，若直線與地面相交于點，點到地面的垂線段的長度為1.6米，假設眼睛處的水平線與地面平行．（1）求的長度；（2）假如障礙物上的點正好位于線段的中點位置（障礙物的橫截面為長方形，且線段為此長方形前端的邊），，若小強的爸爸將汽車沿直線后退0.6米，通過汽車的前端點恰好看見障礙物的頂部點（點為點的對應點，點為點的對應點），求障礙物的高度．22．（8分）（2019?株洲）某甜品店計劃訂購一種鮮奶，根據以往的銷售經驗，當天的需求量與當天的最高氣溫有關，現將去年六月份（按30天計算）的有關情況統計如下：（最高氣溫與需求量統計表）最高氣溫（單位：需求量（單位：杯）200250400（1）求去年六月份最高氣溫不低于的天數；（2）若以最高氣溫位于各區間的頻率估計最高氣溫位于該區間的概率，求去年六月份這種鮮奶一天的需求量不超過200杯的概率；（3）若今年六月份每天的進貨量均為350杯，每杯的進價為4元，售價為8元，未售出的這種鮮奶廠家以1元的價格收回銷毀，假設今年與去年的情況大致一樣，若今年六月份某天的最高氣溫滿足（單位：，試估計這一天銷售這種鮮奶所獲得的利潤為多少元？23．（8分）（2019?株洲）如圖所示，已知正方形的頂點為正方形對角線、的交點，連接、．（1）求證：；（2）若，正方形的邊長為2，線段與線段相交于點，，求正方形的邊長．24．（8分）（2019?株洲）如圖所示，在平面直角坐標系中，等腰的邊與反比例函數的圖象相交于點，其中，點在軸的正半軸上，點的坐標為，過點作軸于點．（1）已知一次函數的圖象過點，，求該一次函數的表達式；（2）若點是線段上的一點，滿足，過點作軸于點，連結，記的面積為，設，①用表示（不需要寫出的取值范圍）；②當取最小值時，求的值．25．（11分）（2019?株洲）四邊形是的圓內接四邊形，線段是的直徑，連結、．點是線段上的一點，連結、，且，，的延長線與的延長線相交與點．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，，①求證：為等腰直角三角形；②求的長度．26．（11分）（2019?株洲）已知二次函數（1）若，，①求該二次函數圖象的頂點坐標；②定義：對于二次函數，滿足方程的的值叫做該二次函數的“不動點”．求證：二次函數有兩個不同的“不動點”．（2）設，如圖所示，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與軸分別相交于不同的兩點，，，，其中，，與軸相交于點，連結，點在軸的正半軸上，且，又點的坐標為，過點作垂直于軸的直線與直線相交于點，滿足．的延長線與的延長線相交于點，若，求二次函數的表達式．

2019年湖南省株洲市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題有且只有一個正確答案，本題共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）的倒數是A． B． C． D．3【分析】根據倒數的定義，若兩個數的乘積是1，我們就稱這兩個數互為倒數．【解答】解：，的倒數是．故選：．2．（3分）A． B．4 C． D．【分析】直接利用二次根式的乘法運算法則計算得出答案．【解答】解：．故選：．3．（3分）下列各式中，與是同類項的是A． B． C． D．【分析】根據同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同，進行判斷即可．【解答】解：、與不是同類項，故本選項錯誤；、與不是同類項，故本選項錯誤；、與是同類項，故本選項正確；、與是同類項，故本選項錯誤；故選：．4．（3分）對于任意的矩形，下列說法一定正確的是A．對角線垂直且相等 B．四邊都互相垂直 C．四個角都相等 D．是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形【分析】直接利用矩形的性質分析得出答案．【解答】解：、矩形的對角線相等，但不垂直，故此選項錯誤；、矩形的鄰邊都互相垂直，對邊互相平行，故此選項錯誤；、矩形的四個角都相等，正確；、矩形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項錯誤．故選：．5．（3分）關于的分式方程的解為A． B． C．2 D．3【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經檢驗即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：，解得：，經檢驗是分式方程的解，故選：．6．（3分）在平面直角坐標系中，點位于哪個象限？A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據各象限內點的坐標特征解答即可．【解答】解：點坐標為，則它位于第四象限，故選：．7．（3分）若一組數據，3，1，6，3的中位數和平均數相等，則的值為A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據平均數與中位數的定義分三種情況，，，時，分別列出方程，進行計算即可求出答案．【解答】解：當時，中位數與平均數相等，則得到：，解得（舍去）；當時，中位數與平均數相等，則得到：，解得；當時，中位數與平均數相等，則得到：，解得（舍去）；當時，中位數與平均數相等，則得到：，解得（舍去）．所以的值為2．故選：．8．（3分）下列各選項中因式分解正確的是A． B． C． D．【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式進而判斷即可．【解答】解：、，故此選項錯誤；、，故此選項錯誤；、，故此選項錯誤；、，正確．故選：．9．（3分）如圖所示，在直角平面坐標系中，點、、為反比例函數上不同的三點，連接、、，過點作軸于點，過點、分別作，垂直軸于點、，與相交于點，記、、四邊形的面積分別為、、，則A． B． C． D．【分析】根據反比例函數系數的幾何意義得到，，，用排除法即可得到結論．【解答】解：點、、為反比例函數上不同的三點，軸，，垂直軸于點、，，，，，，，，，選項錯誤，故選：．10．（3分）從，1，2，4四個數中任取兩個不同的數（記作，構成一個數組，（其中，，且將，與，視為同一個數組），若滿足：對于任意的，和，，，都有，則的最大值A．10 B．6 C．5 D．4【分析】找出的值，結合對于任意的，和，，，都有，即可得出的最大值．【解答】解：，，，，，，共有5個不同的值．又對于任意的，和，，，都有，的最大值為5．故選：．二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）11．（3分）若二次函數的圖象開口向下，則0（填“”或“”或“”．【分析】由二次函數圖象的開口向下，可得．【解答】解：二次函數的圖象開口向下，．故答案是：．12．（3分）若一個盒子中有6個白球，4個黑球，2個紅球，且各球的大小與質地都相同，現隨機從中摸出一個球，得到白球的概率是．【分析】先求出總球的個數，再用白球的個數除以總球的個數即可得出答案．【解答】解：布袋中有6個白球，4個黑球，2個紅球，共有12個球，摸到白球的概率是；故答案為：．13．（3分）如圖所示，在中，，是斜邊上的中線，、分別為、的中點，若，則4．【分析】根據三角形中位線定理求出，根據直角三角形的性質求出．【解答】解：、分別為、的中點，，，是斜邊上的中線，，故答案為：4．14．（3分）若為有理數，且的值大于1，則的取值范圍為且為有理數．【分析】根據題意列出不等式，解之可得，【解答】解：根據題意知，解得，故答案為：且為有理數．15．（3分）如圖所示，過正五邊形的頂點作一條射線與其內角的角平分線相交于點，且，則66度．【分析】首先根據正五邊形的性質得到度，然后根據角平分線的定義得到度，再利用三角形內角和定理得到的度數．【解答】解：五邊形為正五邊形，度，是的角平分線，度，，．故答案為：66．16．（3分）如圖所示，為的直徑，點在上，且，過點的弦與線段相交于點，滿足，連接，則20度．【分析】由直角三角形的性質得出，由等腰三角形的性質得出，求出，得出，再由圓周角定理即可得出答案．【解答】解：連接，如圖：，，，，，，，，，故答案為：20．17．（3分）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？“其意思為：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，現速度慢的人先走100步，速度快的人去追趕，則速度快的人要走250步才能追到速度慢的人．【分析】設走路快的人追上走路慢的人所用時間為，根據二者的速度差時間路程，即可求出值，再將其代入路程速度時間，即可求出結論．【解答】解：設走路快的人追上走路慢的人所用時間為，根據題意得：，解得：，．答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．故答案是：250．18．（3分）如圖所示，在平面直角坐標系中，在直線處放置反光鏡Ⅰ，在軸處放置一個有缺口的擋板Ⅱ，缺口為線段，其中點，點在點上方，且，在直線處放置一個擋板Ⅲ，從點發出的光線經反光鏡Ⅰ反射后，通過缺口照射在擋板Ⅲ上，則落在擋板Ⅲ上的光線的長度為1.5．【分析】當光線沿、、、傳輸時，由，即：，即：，解得：，求出，同理可得：，即可求解．【解答】解：當光線沿、、、傳輸時，過點作于點，過點作于點，則，設，則，則，即：，即：，解得：，則，，，當光線反射過點時，同理可得：，落在擋板Ⅲ上的光線的長度，故答案為1.5．三、解答題（本大題共8小題，共66分）19．（6分）計算：．【分析】直接利用絕對值的性質以及零指數冪的性質和特殊角的三角函數值分別化簡得出答案．【解答】解：原式．20．（6分）先化簡，再求值：，其中．【分析】根據分式的減法可以化簡題目中的式子，然后將的值代入化簡后的式子即可解答本題．【解答】解：，當時，原式．21．（8分）小強的爸爸準備駕車外出．啟動汽車時，車載報警系統顯示正前方有障礙物，此時在眼睛點處測得汽車前端的俯角為，且，若直線與地面相交于點，點到地面的垂線段的長度為1.6米，假設眼睛處的水平線與地面平行．（1）求的長度；（2）假如障礙物上的點正好位于線段的中點位置（障礙物的橫截面為長方形，且線段為此長方形前端的邊），，若小強的爸爸將汽車沿直線后退0.6米，通過汽車的前端點恰好看見障礙物的頂部點（點為點的對應點，點為點的對應點），求障礙物的高度．【分析】（1）由題意得到，解直角三角形即可得到結論；（2）過作于，于是得到四邊形是矩形，根據矩形的性質得到，根據線段的中點的定義得到米，求得，根據相似三角形的性質即可得到結論．【解答】解：（1）由題意得，，在中，，，，答：的長度為；（2）過作于，則四邊形是矩形，，點是線段的中點，米，，，，，，，，答：障礙物的高度為0.6米．22．（8分）某甜品店計劃訂購一種鮮奶，根據以往的銷售經驗，當天的需求量與當天的最高氣溫有關，現將去年六月份（按30天計算）的有關情況統計如下：（最高氣溫與需求量統計表）最高氣溫（單位：需求量（單位：杯）200250400（1）求去年六月份最高氣溫不低于的天數；（2）若以最高氣溫位于各區間的頻率估計最高氣溫位于該區間的概率，求去年六月份這種鮮奶一天的需求量不超過200杯的概率；（3）若今年六月份每天的進貨量均為350杯，每杯的進價為4元，售價為8元，未售出的這種鮮奶廠家以1元的價格收回銷毀，假設今年與去年的情況大致一樣，若今年六月份某天的最高氣溫滿足（單位：，試估計這一天銷售這種鮮奶所獲得的利潤為多少元？【分析】（1）由條形圖可得答案；（2）用的天數除以總天數即可得；（3）根據利潤銷售額成本計算可得．【解答】解：（1）由條形統計圖知，去年六月份最高氣溫不低于的天數為（天；（2）去年六月份這種鮮奶一天的需求量不超過200杯的概率為；（3）（元，答：估計這一天銷售這種鮮奶所獲得的利潤為730元．23．（8分）如圖所示，已知正方形的頂點為正方形對角線、的交點，連接、．（1）求證：；（2）若，正方形的邊長為2，線段與線段相交于點，，求正方形的邊長．【分析】（1）由正方形與正方形，對角線、，可得，，即可證得，因，，則可利用“邊角邊”即可證兩三角形全等（2）過點作交于點，由于，由可得，長，從而求得，即可求得，再通過，易證得，則有，求得即為正方形的邊長．【解答】解：（1）正方形與正方形，對角線、，在和中（2）如圖，過點作交于點，，在中，由勾股定理得，易證，得則正方形的邊長為24．（8分）如圖所示，在平面直角坐標系中，等腰的邊與反比例函數的圖象相交于點，其中，點在軸的正半軸上，點的坐標為，過點作軸于點．（1）已知一次函數的圖象過點，，求該一次函數的表達式；（2）若點是線段上的一點，滿足，過點作軸于點，連結，記的面積為，設，①用表示（不需要寫出的取值范圍）；②當取最小值時，求的值．【分析】（1）將點、的坐標代入一次函數表達式：，即可求解；（2）①，則，則點，，；②當時，取得最小值，而點，，即可求解．【解答】解：（1）將點、的坐標代入一次函數表達式：得：，解得：，故一次函數表達式為：，（2）①過點作，則，則，，，則，則點，設：，則，在中，，同理，則，，則點，，，②，有最小值，當時，取得最小值，而點，，故：．25．（11分）四邊形是的圓內接四邊形，線段是的直徑，連結、．點是線段上的一點，連結、，且，，的延長線與的延長線相交與點．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，，①求證：為等腰直角三角形；②求的長度．【分析】（1）由圓周角的定理可得，可證，由一組對邊平行且相等的是四邊形是平行四邊形可證四邊形是平行四邊形