專題19應用題（函數、不等式、方程）一．解答題1．（2022·廣西梧州）梧州市地處亞熱帶，盛產龍眼．新鮮龍眼的保質期短，若加工成龍眼干（又叫帶殼圓肉）則有利于較長時間保存．已知的新鮮龍眼在無損耗的情況下可以加工成的龍眼干．(1)若新鮮龍眼售價為12元/kg，在無損耗的情況下加工成龍眼干，使龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的銷售收益，則龍眼干的售價應不低于多少元/kg?(2)在實踐中，小蘇發現當地在加工龍眼干的過程中新鮮龍眼有6%的損耗，為確保果農的利益，龍眼干的銷售收益應不低于新鮮龍眼的銷售收益，此時龍眼干的定價取最低整數價格．市場調查還發現，新鮮龍眼以12元/kg最多能賣出，超出部分平均售價是5元/kg，可售完．果農們都以這種方式出售新鮮龍眼．設某果農有新鮮龍眼，他全部加工成龍眼干銷售獲得的收益與全部以新鮮龍眼銷售獲得的收益之差為w元，請寫出w與a的函數關系式．【答案】(1)龍眼干的售價應不低于36元/kg(2)【分析】(1)設龍眼干的售價應不低于x元/kg，新鮮龍眼共3a千克，得到總收益為12×3a=36a元；加工成龍眼干后總收益為ax元，再根據龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的銷售收益得到不等式ax≥36a，解出即可；(2)設龍眼干的售價為y元/千克，當千克時求出新鮮龍眼的銷售收益為元，龍眼干的銷售收益為元，根據“龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的銷售收益，且龍眼干的定價取最低整數價格”得到，解出；然后再當千克時同樣求出新鮮龍眼收益與龍眼干收益，再相減即可求解．(1)解：設龍眼干的售價應不低于x元/kg，設新鮮龍眼共3a千克，總銷售收益為12×3a=36a（元），加工成龍眼干后共a千克，總銷售收益為x×a=ax（元），∵龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的銷售收益，∴ax≥36a，解出：x≥36，故龍眼干的售價應不低于36元/kg．(2)解：千克的新鮮龍眼一共可以加工成千克龍眼干，設龍眼干的售價為y元/千克，則龍眼干的總銷售收益為元，當千克時，新鮮龍眼的總收益為元，∵龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的銷售收益，∴，解出元，又龍眼干的定價取最低整數價格，∴，∴龍眼干的銷售總收益為，此時全部加工成龍眼干銷售獲得的收益與全部以新鮮龍眼銷售獲得的收益之差元；當千克時，新鮮龍眼的總收益為元，龍眼干的總銷售收益為元，此時全部加工成龍眼干銷售獲得的收益與全部以新鮮龍眼銷售獲得的收益之差元，故與的函數關系式為．【點睛】本題考查了一元一次不等式的應用、一次函數的實際應用等，本題的關鍵是讀懂題意，明確題中的數量關系，正確列出函數關系式或不等式求解．2．（2022·黑龍江）學校開展大課間活動，某班需要購買A、B兩種跳繩．已知購進10根A種跳繩和5根B種跳繩共需175元：購進15根A種跳繩和10根B種跳繩共需300元．(1)求購進一根A種跳繩和一根B種跳繩各需多少元？(2)設購買A種跳繩m根，若班級計劃購買A、B兩種跳繩共45根，所花費用不少于548元且不多于560元，則有哪幾種購買方案？(3)在（2）的條件下，哪種購買方案需要的總費用最少？最少費用是多少元？【答案】(1)購進一根A種跳繩需10元，購進一根B種跳繩需15元(2)有三種方案：方案一：購買A種跳繩23根，B種跳繩22根；方案二：購買A種跳繩24根，B種跳繩21根；方案三：購買A種跳繩25根，B種跳繩20根(3)方案三需要費用最少，最少費用是550元【分析】（1）設購進一根A種跳繩需x元，購進一根B種跳繩需y元，可列方程組，解方程組即可求得結果；（2）根據題意可列出不等式組，解得：，由此即可確定方案；（3）設購買跳繩所需費用為w元，根據題意，得，結合函數圖像的性質，可知w隨m的增大而減小，即當時．(1)解：設購進一根A種跳繩需x元，購進一根B種跳繩需y元，根據題意，得，解得，答：購進一根A種跳繩需10元，購進一根B種跳繩需15元；(2)根據題意，得，解得，∵m為整數，∴m可取23，24，25．∴有三種方案：方案一：購買A種跳繩23根，B種跳繩22根；方案二：購買A種跳繩24根，B種跳繩21根；方案三：購買A種跳繩25根，B種跳繩20根；(3)設購買跳繩所需費用為w元，根據題意，得∵，∴w隨m的增大而減小，∴當時，w有最小值，即w（元）答：方案三需要費用最少，最少費用是550元．【點睛】本題主要考查的是不等式應用題、二元一次方程組應用題、一次函數相關應用題，根據題意列出對應的方程是解題的關鍵．3．（2022·黑龍江牡丹江）為了迎接“十?一”小長假的購物高峰．某運動品牌專賣店準備購進甲、乙兩種運動鞋．其中甲、乙兩種運動鞋的進價和售價如下表：運動鞋價格甲乙進價（元/雙）mm﹣20售價（元/雙）240160已知：用3000元購進甲種運動鞋的數量與用2400元購進乙種運動鞋的數量相同．（1）求m的值；（2）要使購進的甲、乙兩種運動鞋共200雙的總利潤（利潤=售價﹣進價）不少于21700元，且不超過22300元，問該專賣店有幾種進貨方案？（3）在（2）的條件下，專賣店準備對甲種運動鞋進行優惠促銷活動，決定對甲種運動鞋每雙優惠a（50＜a＜70）元出售，乙種運動鞋價格不變．那么該專賣店要獲得最大利潤應如何進貨？【答案】（1）m=10；（2）11種；（3）購進甲種運動鞋95雙，購進乙種運動鞋105雙，可獲得最大利潤【分析】（1）用總價除以單價表示出購進鞋的數量，根據兩種鞋的數量相等列出方程求解即可．（2）設購進甲種運動鞋x雙，表示出乙種運動鞋（200﹣x）雙，然后根據總利潤列出一元一次不等式，求出不等式組的解集后，再根據鞋的雙數是正整數解答．（3）設總利潤為W，根據總利潤等于兩種鞋的利潤之和列式整理，然后根據一次函數的增減性分情況討論求解即可．【詳解】解：（1）依題意得，，去分母得，3000（m﹣20）=2400m，解得m=100．經檢驗，m=100是原分式方程的解．∴m=100．（2）設購進甲種運動鞋x雙，則乙種運動鞋（200﹣x）雙，根據題意得，，解不等式①得，x≥95，解不等式②得，x≤105，∴不等式組的解集是95≤x≤105．∵x是正整數，105﹣95+1=11，∴共有11種方案．（3）設總利潤為W，則W=（140﹣a）x+80（200﹣x）=（60﹣a）x+16000（95≤x≤105），①當50＜a＜60時，60﹣a＞0，W隨x的增大而增大，∴當x=105時，W有最大值，即此時應購進甲種運動鞋105雙，購進乙種運動鞋95雙．②當a=60時，60﹣a=0，W=16000，（2）中所有方案獲利都一樣．③當60＜a＜70時，60﹣a＜0，W隨x的增大而減小，∴當x=95時，W有最大值，即此時應購進甲種運動鞋95雙，購進乙種運動鞋105雙．4．（2022·福建）在學校開展“勞動創造美好生活”主題系列活動中，八年級（1）班負責校園某綠化角的設計、種植與養護．同學們約定每人養護一盆綠植，計劃購買綠蘿和吊蘭兩種綠植共46盆，且綠蘿盆數不少于吊蘭盆數的2倍．已知綠蘿每盆9元，吊蘭每盆6元．(1)采購組計劃將預算經費390元全部用于購買綠蘿和吊蘭，問可購買綠蘿和吊蘭各多少盆？(2)規劃組認為有比390元更省錢的購買方案，請求出購買兩種綠植總費用的最小值．【答案】(1)購買綠蘿38盆，吊蘭8盆(2)369元【分析】（1）設購買綠蘿盆，購買吊蘭盆，根據題意建立方程組，解方程組即可得到答案；（2）設購買綠蘿盆，購買吊蘭盆，總費用為，得到關于的一次函數，再建立關于的不等式組，解出的取值范圍，從而求得的最小值．(1)設購買綠蘿盆，購買吊蘭盆∵計劃購買綠蘿和吊蘭兩種綠植共46盆∴∵采購組計劃將預算經費390元全部用于購買綠蘿和吊蘭，綠蘿每盆9元，吊蘭每盆6元∴得方程組解方程組得∵38>2×8，符合題意∴購買綠蘿38盆，吊蘭8盆；(2)設購買綠蘿盆，購買吊蘭吊盆，總費用為∴，∴∵總費用要低于過390元，綠蘿盆數不少于吊蘭盆數的2倍∴將代入不等式組得∴∴的最大值為15∵為一次函數，隨值增大而減小∴時，最小∴∴元故購買兩種綠植最少花費為元．【點睛】本題考查二元一次方程組、一次函數、不等式組的性質，解題的關鍵是數量掌握二元一次方程組、一次函數、不等式組的相關知識．5．（2022·湖北恩施）某校計劃租用甲、乙兩種客車送180名師生去研學基地開展綜合實踐活動．已知租用一輛甲型客車和一輛乙型客車共需500元，租用2輛甲型客車和3輛乙型客車共需1300元．甲型客車每輛可坐15名師生，乙型客車每輛可坐25名師生．(1)租用甲、乙兩種客車每輛各多少元？(2)若學校計劃租用8輛客車，怎樣租車可使總費用最少？【答案】(1)甲種客車每輛元，乙種客車每輛元(2)租用甲種客車5輛，乙種客車3輛，租車費用最低為1900元【分析】（1）可設甲種客車每輛元，乙種客車每輛元，根據等量關系：一輛甲型客車和一輛乙型客車共需500元，租用2輛甲型客車和3輛乙型客車共需1300元，列出方程組求解即可；（2）設租車費用為元，租用甲種客車輛，根據題意列出不等式組，求出的取值范圍，進而列出關于的函數關系式，根據一次函數的性質求解即可．(1)解：設甲種客車每輛元，乙種客車每輛元，依題意知，，解得，答：甲種客車每輛元，乙種客車每輛元；(2)解：設租車費用為元，租用甲種客車輛，則乙種客車輛，，解得：，，，隨的增大而減小，取整數，最大為，時，費用最低為（元，（輛．答：租用甲種客車5輛，乙種客車3輛，租車費用最低為1900元．【點睛】本題考查一次函數的應用，一元一次不等式組及二元一次方程組的應用，解決本題的關鍵是讀懂題意，找到符合題意的不等關系式及所求量的等量關系．6．（2022·廣西梧州）梧州市地處亞熱帶，盛產龍眼．新鮮龍眼的保質期短，若加工成龍眼干（又叫帶殼圓肉）則有利于較長時間保存．已知的新鮮龍眼在無損耗的情況下可以加工成的龍眼干．(1)若新鮮龍眼售價為12元/kg，在無損耗的情況下加工成龍眼干，使龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的銷售收益，則龍眼干的售價應不低于多少元/kg?(2)在實踐中，小蘇發現當地在加工龍眼干的過程中新鮮龍眼有6%的損耗，為確保果農的利益，龍眼干的銷售收益應不低于新鮮龍眼的銷售收益，此時龍眼干的定價取最低整數價格．市場調查還發現，新鮮龍眼以12元/kg最多能賣出，超出部分平均售價是5元/kg，可售完．果農們都以這種方式出售新鮮龍眼．設某果農有新鮮龍眼，他全部加工成龍眼干銷售獲得的收益與全部以新鮮龍眼銷售獲得的收益之差為w元，請寫出w與a的函數關系式．【答案】(1)龍眼干的售價應不低于36元/kg(2)【分析】(1)設龍眼干的售價應不低于x元/kg，新鮮龍眼共3a千克，得到總收益為12×3a=36a元；加工成龍眼干后總收益為ax元，再根據龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的銷售收益得到不等式ax≥36a，解出即可；(2)設龍眼干的售價為y元/千克，當千克時求出新鮮龍眼的銷售收益為元，龍眼干的銷售收益為元，根據“龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的銷售收益，且龍眼干的定價取最低整數價格”得到，解出；然后再當千克時同樣求出新鮮龍眼收益與龍眼干收益，再相減即可求解．(1)解：設龍眼干的售價應不低于x元/kg，設新鮮龍眼共3a千克，總銷售收益為12×3a=36a（元），加工成龍眼干后共a千克，總銷售收益為x×a=ax（元），∵龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的銷售收益，∴ax≥36a，解出：x≥36，故龍眼干的售價應不低于36元/kg．(2)解：千克的新鮮龍眼一共可以加工成千克龍眼干，設龍眼干的售價為y元/千克，則龍眼干的總銷售收益為元，當千克時，新鮮龍眼的總收益為元，∵龍眼干的銷售收益不低于新鮮龍眼的銷售收益，∴，解出元，又龍眼干的定價取最低整數價格，∴，∴龍眼干的銷售總收益為，此時全部加工成龍眼干銷售獲得的收益與全部以新鮮龍眼銷售獲得的收益之差元；當千克時，新鮮龍眼的總收益為元，龍眼干的總銷售收益為元，此時全部加工成龍眼干銷售獲得的收益與全部以新鮮龍眼銷售獲得的收益之差元，故與的函數關系式為．【點睛】本題考查了一元一次不等式的應用、一次函數的實際應用等，本題的關鍵是讀懂題意，明確題中的數量關系，正確列出函數關系式或不等式求解．7．（2022·黑龍江）學校開展大課間活動，某班需要購買A、B兩種跳繩．已知購進10根A種跳繩和5根B種跳繩共需175元：購進15根A種跳繩和10根B種跳繩共需300元．(1)求購進一根A種跳繩和一根B種跳繩各需多少元？(2)設購買A種跳繩m根，若班級計劃購買A、B兩種跳繩共45根，所花費用不少于548元且不多于560元，則有哪幾種購買方案？(3)在（2）的條件下，哪種購買方案需要的總費用最少？最少費用是多少元？【答案】(1)購進一根A種跳繩需10元，購進一根B種跳繩需15元(2)有三種方案：方案一：購買A種跳繩23根，B種跳繩22根；方案二：購買A種跳繩24根，B種跳繩21根；方案三：購買A種跳繩25根，B種跳繩20根(3)方案三需要費用最少，最少費用是550元【分析】（1）設購進一根A種跳繩需x元，購進一根B種跳繩需y元，可列方程組，解方程組即可求得結果；（2）根據題意可列出不等式組，解得：，由此即可確定方案；（3）設購買跳繩所需費用為w元，根據題意，得，結合函數圖像的性質，可知w隨m的增大而減小，即當時．(1)解：設購進一根A種跳繩需x元，購進一根B種跳繩需y元，根據題意，得，解得，答：購進一根A種跳繩需10元，購進一根B種跳繩需15元；(2)根據題意，得，解得，∵m為整數，∴m可取23，24，25．∴有三種方案：方案一：購買A種跳繩23根，B種跳繩22根；方案二：購買A種跳繩24根，B種跳繩21根；方案三：購買A種跳繩25根，B種跳繩20根；(3)設購買跳繩所需費用為w元，根據題意，得∵，∴w隨m的增大而減小，∴當時，w有最小值，即w（元）答：方案三需要費用最少，最少費用是550元．【點睛】本題主要考查的是不等式應用題、二元一次方程組應用題、一次函數相關應用題，根據題意列出對應的方程是解題的關鍵．8．（2022·黑龍江牡丹江）為了迎接“十?一”小長假的購物高峰．某運動品牌專賣店準備購進甲、乙兩種運動鞋．其中甲、乙兩種運動鞋的進價和售價如下表：運動鞋價格甲乙進價（元/雙）mm﹣20售價（元/雙）240160已知：用3000元購進甲種運動鞋的數量與用2400元購進乙種運動鞋的數量相同．（1）求m的值；（2）要使購進的甲、乙兩種運動鞋共200雙的總利潤（利潤=售價﹣進價）不少于21700元，且不超過22300元，問該專賣店有幾種進貨方案？（3）在（2）的條件下，專賣店準備對甲種運動鞋進行優惠促銷活動，決定對甲種運動鞋每雙優惠a（50＜a＜70）元出售，乙種運動鞋價格不變．那么該專賣店要獲得最大利潤應如何進貨？【答案】（1）m=10；（2）11種；（3）購進甲種運動鞋95雙，購進乙種運動鞋105雙，可獲得最大利潤【分析】（1）用總價除以單價表示出購進鞋的數量，根據兩種鞋的數量相等列出方程求解即可．（2）設購進甲種運動鞋x雙，表示出乙種運動鞋（200﹣x）雙，然后根據總利潤列出一元一次不等式，求出不等式組的解集后，再根據鞋的雙數是正整數解答．（3）設總利潤為W，根據總利潤等于兩種鞋的利潤之和列式整理，然后根據一次函數的增減性分情況討論求解即可．【詳解】解：（1）依題意得，，去分母得，3000（m﹣20）=2400m，解得m=100．經檢驗，m=100是原分式方程的解．∴m=100．（2）設購進甲種運動鞋x雙，則乙種運動鞋（200﹣x）雙，根據題意得，，解不等式①得，x≥95，解不等式②得，x≤105，∴不等式組的解集是95≤x≤105．∵x是正整數，105﹣95+1=11，∴共有11種方案．（3）設總利潤為W，則W=（140﹣a）x+80（200﹣x）=（60﹣a）x+16000（95≤x≤105），①當50＜a＜60時，60﹣a＞0，W隨x的增大而增大，∴當x=105時，W有最大值，即此時應購進甲種運動鞋105雙，購進乙種運動鞋95雙．②當a=60時，60﹣a=0，W=16000，（2）中所有方案獲利都一樣．③當60＜a＜70時，60﹣a＜0，W隨x的增大而減小，∴當x=95時，W有最大值，即此時應購進甲種運動鞋95雙，購進乙種運動鞋105雙．9．（2022·福建）在學校開展“勞動創造美好生活”主題系列活動中，八年級（1）班負責校園某綠化角的設計、種植與養護．同學們約定每人養護一盆綠植，計劃購買綠蘿和吊蘭兩種綠植共46盆，且綠蘿盆數不少于吊蘭盆數的2倍．已知綠蘿每盆9元，吊蘭每盆6元．(1)采購組計劃將預算經費390元全部用于購買綠蘿和吊蘭，問可購買綠蘿和吊蘭各多少盆？(2)規劃組認為有比390元更省錢的購買方案，請求出購買兩種綠植總費用的最小值．【答案】(1)購買綠蘿38盆，吊蘭8盆(2)369元【分析】（1）設購買綠蘿盆，購買吊蘭盆，根據題意建立方程組，解方程組即可得到答案；（2）設購買綠蘿盆，購買吊蘭盆，總費用為，得到關于的一次函數，再建立關于的不等式組，解出的取值范圍，從而求得的最小值．(1)設購買綠蘿盆，購買吊蘭盆∵計劃購買綠蘿和吊蘭兩種綠植共46盆∴∵采購組計劃將預算經費390元全部用于購買綠蘿和吊蘭，綠蘿每盆9元，吊蘭每盆6元∴得方程組解方程組得∵38>2×8，符合題意∴購買綠蘿38盆，吊蘭8盆；(2)設購買綠蘿盆，購買吊蘭吊盆，總費用為∴，∴∵總費用要低于過390元，綠蘿盆數不少于吊蘭盆數的2倍∴將代入不等式組得∴∴的最大值為15∵為一次函數，隨值增大而減小∴時，最小∴∴元故購買兩種綠植最少花費為元．【點睛】本題考查二元一次方程組、一次函數、不等式組的性質，解題的關鍵是數量掌握二元一次方程組、一次函數、不等式組的相關知識．10．（2022·湖北恩施）某校計劃租用甲、乙兩種客車送180名師生去研學基地開展綜合實踐活動．已知租用一輛甲型客車和一輛乙型客車共需500元，租用2輛甲型客車和3輛乙型客車共需1300元．甲型客車每輛可坐15名師生，乙型客車每輛可坐25名師生．(1)租用甲、乙兩種客車每輛各多少元？(2)若學校計劃租用8輛客車，怎樣租車可使總費用最少？【答案】(1)甲種客車每輛元，乙種客車每輛元(2)租用甲種客車5輛，乙種客車3輛，租車費用最低為1900元【分析】（1）可設甲種客車每輛元，乙種客車每輛元，根據等量關系：一輛甲型客車和一輛乙型客車共需500元，租用2輛甲型客車和3輛乙型客車共需1300元，列出方程組求解即可；（2）設租車費用為元，租用甲種客車輛，根據題意列出不等式組，求出的取值范圍，進而列出關于的函數關系式，根據一次函數的性質求解即可．(1)解：設甲種客車每輛元，乙種客車每輛元，依題意知，，解得，答：甲種客車每輛元，乙種客車每輛元；(2)解：設租車費用為元，租用甲種客車輛，則乙種客車輛，，解得：，，，隨的增大而減小，取整數，最大為，時，費用最低為（元，（輛．答：租用甲種客車5輛，乙種客車3輛，租車費用最低為1900元．【點睛】本題考查一次函數的應用，一元一次不等式組及二元一次方程組的應用，解決本題的關鍵是讀懂題意，找到符合題意的不等關系式及所求量的等量關系．11．（2022·廣西河池）為改善村容村貌，陽光村計劃購買一批桂花樹和芒果樹．已知桂花樹的單價比芒果樹的單價多40元，購買3棵桂花樹和2棵芒果樹共需370元．(1)桂花樹和芒果樹的單價各是多少元？(2)若該村一次性購買這兩種樹共60棵，且桂花樹不少于35棵．設購買桂花樹的棵數為n，總費用為w元，求w關于n的函數關系式，并求出該村按怎樣的方案購買時，費用最低？最低費用為多少元？【答案】(1)桂花樹單價90元/棵，芒果樹的單價50元/棵；(2)；當購買35棵掛花樹，25棵芒果樹時，費用最低，最低費用為4400元．【分析】（1）設桂花樹單價x元/棵，芒果樹的單價y元/棵，根據桂花樹的單價比芒果樹的單價多40元，購買3棵桂花樹和2棵芒果樹共需370元，列出二元一次方程組解出即可；（2）設購買掛花樹n棵，則芒果樹為棵，根據題意求出w關于n的函數關系式，然后根據桂花樹不少于35棵求出n的取值范圍，再根據n是正整數確定出購買方案及最低費用．(1)解：設桂花樹單價x元/棵，芒果樹的單價y元/棵，根據題意得：，解得：，答：桂花樹單價90元/棵，芒果樹的單價50元/棵；(2)設購買桂花樹的棵數為n，則購買芒果樹的棵數為棵，根據題意得，，∴w隨n的增大而增大，∴當時，元，此時，∴當購買35棵掛花樹，25棵芒果樹時，費用最低，最低費用為4400元．【點睛】本題考查了一次函數的應用，二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，進而找到所求的量的等量關系和不等關系．12．（2022·遼寧錦州）某商場新進一批拼裝玩具，進價為每個10元，在銷售過程中發現．，日銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間滿足如圖所示的一次函數關系．(1)求y與x的函數關系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；(2)若該玩具某天的銷售利潤是600元，則當天玩具的銷售單價是多少元？(3)設該玩具日銷售利潤為w元，當玩具的銷售單價定為多少元時，日銷售利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)；(2)40元或20元；(3)當玩具的銷售單價定為30元時，日銷售利潤最大；最大利潤是800元；【分析】（1）直接由待定系數法，即可求出一次函數的解析式；（2）根據題意，設當天玩具的銷售單價是元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；（3）根據題意，列出w與的關系式，然后利用二次函數的性質，即可求出答案．(1)解：由圖可知，設一次函數的解析式為，把點（25，50）和點（35，30）代入，得，解得，∴一次函數的解析式為；(2)解：根據題意，設當天玩具的銷售單價是元，則，解得：，，∴當天玩具的銷售單價是40元或20元；(3)解：根據題意，則，整理得：；∵，∴當時，有最大值，最大值為800；∴當玩具的銷售單價定為30元時，日銷售利潤最大；最大利潤是800元．【點睛】本題考查了二次函數的性質，二次函數的最值，一次函數的應用，解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握題意，正確的找出題目的關系，從而進行解題．13．（2022·內蒙古呼和浩特）今年我市某公司分兩次采購了一批土豆，第一次花費30萬元，第二次花費50萬元，已知第一次采購時每噸土豆的價格比去年的平均價格上漲了200元，第二次采購時每噸土豆的價格比去年的平均價格下降了200元，第二次的采購數量是第一次采購數量的2倍．(1)問去年每噸土豆的平均價格是多少元？(2)該公司可將土豆加工成薯片或淀粉，因設備原因，兩種產品不能同時加工，若單獨加工成薯片，每天可加工5噸土豆，每噸土豆獲利700元；若單獨加工成淀粉，每天可加工8噸土豆，每噸土豆獲利400元．由于出口需要，所有采購的土豆必須全部加工完且用時不超過60天，其中加工成薯片的土豆數量不少于加工成淀粉的土豆數量的，為獲得最大利潤，應將多少噸土豆加工成薯片？最大利潤是多少？【答案】(1)去年每噸土豆的平均價格是2200元(2)應將175噸土豆加工成薯片，最大利潤為202500元【分析】（1）設去年每噸土豆的平均價格是x元，則第一次采購的平均價格為（x+200）元，第二次采購的平均價格為（x-200）元，根據第二次的采購數量是第一次采購數量的兩倍，據此列方程求解；（2）先求出今年所采購的土豆棗數，根據所有采購的土豆必須全部加工完且用時不超過60天，其中加工成薯片的土豆數量不少于加工成淀粉的土豆數量的，據此列不等式組求解，然后求出最大利潤．(1)設去年每噸土豆的平均價格是x元，由題意得，，解得：，經檢驗：是原分式方程的解，且符合題意，答：去年每噸土豆的平均價格是2200元；(2)由（1）得，今年的土豆數為：(噸)，設應將m噸土豆加工成薯片，則應將（375－m）噸加工成淀粉，由題意得，，解得：，

總利潤為：，

當時，利潤最大，最大利潤為：（元）．答：應將175噸土豆加工成薯片，最大利潤為202500元．【點睛】此題考查了分式方程和一元一次不等式的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列方程求解．14．（2022·廣西）打油茶是廣西少數民族特有的一種民俗，某特產公司近期銷售一種盒裝油茶，每盒的成本價為50元，經市場調研發現，該種油茶的月銷售量y（盒）與銷售單價x（元）之間的函數圖像如圖所示．(1)求y與x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)當銷售單價定為多少元時，該種油茶的月銷售利潤最大?求出最大利潤．【答案】(1)y=-5x+500，50＜x＜100(2)75元，3125元【分析】（1）設直線的解析式為y=kx+b，根據題意，得，確定解析式，結合圖像，確定自變量取值范圍是50＜x＜100．（2）設銷售單價為x元，總利潤為w元，根據題意構造二次函數，根據函數的最值計算即可．(1)設直線的解析式為y=kx+b，根據題意，得，解得∴函數的解析式為y=-5x+500，當y=0時，-5x+500=0，解得x=100，結合圖像，自變量取值范圍是50＜x＜100．(2)設銷售單價為x元，總利潤為w元，根據題意，得：W=（x-50）(-5x+500)=，∵-5＜0，∴w有最大值，且當x=75時，w有最大值，為3125，故銷售單價定為75元時，該種油茶的月銷售利潤最大；最大利潤是3125元．【點睛】本題考查了待定系數法確定一次函數的解析式，構造二次函數求最值，熟練掌握待定系數法，正確構造二次函數是解題的關鍵．15．（2022·遼寧）某文具店購進一批單價為12元的學習用品，按照相關部門規定其銷售單價不低于進價，且不高于進價的1.5倍，通過分析銷售情況，發現每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）滿足一次函數關系，且當時，；當時，．(1)求y與x之間的函數關系式；(2)這種學習用品的銷售單價定為多少時，每天可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？【答案】(1)y與x之間的函數關系式為(2)這種學習用品的銷售單價定為16元時，每天可獲得最大利潤，最大利潤是160元．【分析】（1）設y與x之間的函數關系式為，然后代值求解即可；（2）設每天獲得的利潤為w元，由（1）可得，進而根據二次函數的性質可求解．(1)解：設y與x之間的函數關系式為，由題意得：，解得：，∴y與x之間的函數關系式為；(2)解：設每天獲得的利潤為w元，由（1）可得：，∵，且-10＜0，∴當時，w有最大值，最大值為160；答：這種學習用品的銷售單價定為16元時，每天可獲得最大利潤，最大利潤是160元．【點睛】本題主要考查一次函數與二次函數的應用，熟練掌握一次函數與二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．16．（2022·黑龍江大慶）果園有果樹60棵，現準備多種一些果樹提高果園產量．如果多種樹，那么樹之間的距離和每棵果樹所受光照就會減少，每棵果樹的平均產量隨之降低．根據經驗，增種10棵果樹時，果園內的每棵果樹平均產量為．在確保每棵果樹平均產量不低于的前提下，設增種果樹x（且x為整數）棵，該果園每棵果樹平均產量為，它們之間的函數關系滿足如圖所示的圖象．(1)圖中點P所表示的實際意義是________________________，每增種1棵果樹時，每棵果樹平均產量減少____________；(2)求y與x之間的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；(3)當增種果樹多少棵時，果園的總產量最大？最大產量是多少？【答案】(1)增種28棵果樹時，每棵果樹的平均產量為66kg；0.5(2)y與x的函數關系式為y=-0.5x+80(0<x≤80)(3)增種果樹50棵時，果園的總產量最大，最大產量是6050kg【分析】(1)①根據圖像可知，增種果樹為x（且x為整數）棵，該果園每棵果樹平均產量為，可以得出圖中點P表示的實際意義；②根據增種10棵果樹時，果園內的每棵果樹平均產量為．增種28棵果樹時，每棵果樹的平均產量為66kg，可以得出每增種1棵果樹時，每棵果樹平均產量減少的量；(2)根據增種10棵果樹時，果園內的每棵果樹平均產量為．增種28棵果樹時，每棵果樹的平均產量為66kg，設y與x的函數關系式為y=kx+b，將x=10，y=75；x=28，y=66代入可得y與x的函數關系式；(3)根據題意，果園的總產量w=每棵果樹平均產量×果樹總棵樹；可得w與x的二次函數關系式，根據二次函數的圖像和性質即可解得．(1)①根據圖像可知，設增種果樹x（且x為整數）棵，該果園每棵果樹平均產量為，所以圖中點P表示的實際意義是：增種28棵果樹時，每棵果樹的平均產量為66kg，所以答案為：增種28棵果樹時，每棵果樹的平均產量為66kg，②根據增種10棵果樹時，果園內的每棵果樹平均產量為．增種28棵果樹時，每棵果樹的平均產量為66kg，可以得出：每增種1棵果樹時，每棵果樹平均產量減少為：(75-66)÷（28-10）=9÷18=0.5（kg）所以答案為：0.5(2)根據增種10棵果樹時，果園內的每棵果樹平均產量為．增種28棵果樹時，每棵果樹的平均產量為66kg，設y與x的函數關系式為y=kx+b將x=10，y=75；x=28，y=66代入可得解得∴y與x的函數關系式為y=-0.5x+80(0<x≤80)(3)根據題意，果園的總產量w=每棵果樹平均產量×果樹總棵樹可得w=(-0.5x+80)(60+x)=-0.5x2+50x+4800∵a=-0.5<0所以當x=時，w有最大值w最大=6050所以增種果樹50棵時，果園的總產量最大，最大產量是6050kg【點睛】本題考查了一次函數，二次函數的應用，解答本題的關鍵是看懂圖像，明確題意，列出相應的函數關系式，利用二次函數的性質解答．17．（2022·湖北武漢）在一條筆直的滑道上有黑、白兩個小球同向運動，黑球在處開始2減速，此時白球在黑球前面處．小聰測量黑球減速后的運動速度（單位：）、運動距離（單位：）隨運動時間（單位：）變化的數據，整理得下表．運動時間01234運動速度109.598.58運動距離09.751927.7536小聰探究發現，黑球的運動速度與運動時間之間成一次函數關系，運動距離與運動時間之間成二次函數關系．(1)直接寫出關于的函數解析式和關于的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）(2)當黑球減速后運動距離為時，求它此時的運動速度；(3)若白球一直以的速度勻速運動，問黑球在運動過程中會不會碰到白球？請說明理由．【答案】(1)，(2)(3)黑、白兩球的最小距離為，大于0，黑球不會碰到白球【分析】（1）根據黑球的運動速度與運動時間之間成一次函數關系，設表達式為v=kt+b，代入兩組數值求解即可；根據運動距離與運動時間之間成二次函數關系，設表達式為，代入三組數值求解即可；（2）當黑球減速后運動距離為時，代入（1）式中關于的函數解析式求出時間t，再將t代入關于的函數解析式，求得速度v即可；（3）設黑白兩球的距離為，得到，化簡即可求出最小值，于是得到結論．(1)根據黑球的運動速度與運動時間之間成一次函數關系，設表達式為v=kt+b，代入（0，10），（1，9.5）得，，解得，∴，根據運動距離與運動時間之間成二次函數關系，設表達式為，代入（0，0），（1，9.75），（2，19）得，解得，∴;(2)依題意，得，∴，解得，，；當時，；當時，（舍）；答：黑球減速后運動時的速度為．(3)設黑白兩球的距離為，，∵，∴當時，的值最小為6，∴黑、白兩球的最小距離為，大于0，黑球不會碰到白球．【點睛】本題考查一次函數和二次函數的實際應用，待定系數法求解析式，解決本題的關鍵是明確題意求出函數表達式．18．（2022·山東青島）李大爺每天到批發市場購進某種水果進行銷售，這種水果每箱10千克，批發商規定：整箱購買，一箱起售，每人一天購買不超過10箱；當購買1箱時，批發價為8.2元/千克，每多購買1箱，批發價每千克降低0.2元．根據李大爺的銷售經驗，這種水果售價為12元/千克時，每天可銷售1箱；售價每千克降低0.5元，每天可多銷售1箱．(1)請求出這種水果批發價y（元/千克）與購進數量x（箱）之間的函數關系式；(2)若每天購進的這種水果需當天全部售完，請你計算，李大爺每天應購進這種水果多少箱，才能使每天所獲利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)且x為整數．(2)李大爺每天應購進這種水果7箱，獲得的利潤最大，最大利潤是140元．【分析】本題是通過構建函數模型解答銷售利潤的問題（1）根據題意列出，得到結果．（2）根據銷售利潤=銷售量（售價-進價），利用（1）結果，列出銷售利潤w與x的函數關系式，即可求出最大利潤．(1)解：由題意得∴批發價y與購進數量x之間的函數關系式是，且x為整數．(2)解：設李大爺銷售這種水果每天獲得的利潤為w元則∵∴拋物線開口向下∵對稱軸是直線∴當時，w的值隨x值的增大而增大∵x為正整數，∴此時，當時，當時，w的值隨x值的增大而減小∵x為正整數，∴此時，當時，∵∴李大爺每天應購進這種水果7箱，獲得的利潤最大，最大利潤是140元．【點睛】本題考查了二次函數的性質在實際生活中的應用，最大銷售利潤的問題常利用二次函數的增減性來解答，解題關鍵是理解題意，確定變量，建立函數模型，然后結合實際選擇最優方案進行解決．19．（2022·貴州銅仁）為實施“鄉村振興”計劃，某村產業合作社種植了“千畝桃園”．2022年該村桃子豐收，銷售前對本地市場進行調查發現：當批發價為4千元/噸時，每天可售出12噸，每噸漲1千元，每天銷量將減少2噸，據測算，每噸平均投入成本2千元，為了搶占市場，薄利多銷，該村產業合作社決定，批發價每噸不低于4千元，不高于5.5千元．請解答以下問題：(1)求每天銷量y（噸）與批發價x（千元/噸）之間的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；(2)當批發價定為多少時，每天所獲利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)，(2)定價為5.5元時，每天獲得的利潤w元最大，最大利潤是31.5元【分析】（1）根據題意直接寫出y與x之間的函數關系式和自變量的取值范圍；（2）根據銷售利潤=銷售量×（批發價－成本價），列出銷售利潤w（元）與批發價x（千元/噸）之間的函數關系式，再依據函數的增減性求得最大利潤．(1)解：根據題意得，所以每天銷量y（噸）與批發價x（千元/噸）之間的函數關系式，自變量x的取值范圍是(2)解：設每天獲得的利潤為W元，根據題意得，∵，∴當，W隨x的增大而增大．∵，∴當時，w有最大值，最大值為，∴將批發價定為5.5元時，每天獲得的利潤w元最大，最大利潤是31.5元．【點睛】本題考查二次函數應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出函數關系式．20．（2022·浙江金華）“八婺”菜場指導菜農生產和銷售某種蔬菜，提供如下信息：①統計售價與需求量的數據，通過描點（圖1），發現該蔬菜需求量（噸）關于售價x（元/千克）的函數圖象可以看成拋物線，其表達式為，部分對應值如表：②該蔬菜供給量（噸）關于售價x（元/千克）的函數表達式為，函數圖象見圖1．③1~7月份該蔬菜售價（元/千克），成本（元/千克）關于月份t的函數表達式分別為，，函數圖象見圖2．請解答下列問題：(1)求a，c的值．(2)根據圖2，哪個月出售這種蔬菜每千克獲利最大？并說明理由．(3)求該蔬菜供給量與需求量相等時的售價，以及按此價格出售獲得的總利潤．【答案】(1)(2)在4月份出售這種蔬菜每千克獲利最大，見解析(3)該蔬菜供給量與需求量相等時的售價為5元/千克，按此價格出售獲得的總利潤為8000元【分析】（1）運用待定系數法求解即可；（2）設這種蔬菜每千克獲利w元，根據列出函數關系式，由二次函數的性質可得結論；（3）根據題意列出方程，求出x的值，再求出總利潤即可．(1)把，代入可得②-①，得，解得，把代入①，得，∴．(2)設這種蔬菜每千克獲利w元，根據題意，有，化簡，得，∵在的范圍內，∴當時，w有最大值．答：在4月份出售這種蔬菜每千克獲利最大．(3)由，得，化簡，得，解得（舍去），∴售價為5元/千克．此時，（噸）（千克），把代入，得，把代入，得，∴總利潤（元）．答：該蔬菜供給量與需求量相等時的售價為5元/千克，按此價格出售獲得的總利潤為8000元．【點睛】此題主要考查了函數的綜合應用，結合函數圖象得出各點的坐標，再利用待定系數法求出函數解析式是解題的關鍵．21．（2022·遼寧營口）某文具店最近有A，B兩款紀念冊比較暢銷，該店購進A款紀念冊5本和B款紀念冊4本共需156元，購進A款紀念冊3本和B款紀念冊5本共需130元．在銷售中發現：A款紀念冊售價為32元/本時，每天的銷售量為40本，每降低1元可多售出2本；B款紀念冊售價為22元/本時，每天的銷售量為80本，B款紀念冊每天的銷售量與售價之間滿足一次函數關系，其部分對應數據如下表所示：售價（元/本）…22232425…每天銷售量（本）…80787674…(1)求A，B兩款紀念冊每本的進價分別為多少元；(2)該店準備降低每本A款紀念冊的利潤，同時提高每本B款紀念冊的利潤，且這兩款紀念冊每天銷售總數不變，設A款紀念冊每本降價m元．①直接寫出B款紀念冊每天的銷售量（用含m的代數式表示）；②當A款紀念冊售價為多少元時，該店每天所獲利潤最大，最大利潤是多少？【答案】(1)A，B兩款紀念冊每本的進價分別為20元和14元；(2)①B款紀念冊銷售量為(80-2m)本；②當A款紀念冊售價為26元時，該店每天所獲利潤最大，最大利潤是1264元．【分析】（1）設A，B兩款紀念冊每本的進價分別為a元和b元，根據題意列出二元一次方程組，求解即可；（2）①設A款紀念冊每本降價m元，根據這兩款紀念冊每天銷售總數不變，則B款紀念冊銷售量為(80-2m)本；②先利用待定系數法求得B款紀念冊每天的銷售量與售價之間的一次函數關系式，再根據每周的利潤=每本的利潤×每周的銷售數量，再根據二次函數的性質可得答案．(1)解：設A，B兩款紀念冊每本的進價分別為a元和b元，依題意得，解得，答：A，B兩款紀念冊每本的進價分別為20元和14元；(2)解：①設A款紀念冊每本降價m元，則A款紀念冊銷售量為(40+2m)本，售價為(32-m)元，則每冊利潤為32-m-20=12-m（元），∵這兩款紀念冊每天銷售總數不變，∴B款紀念冊銷售量為(80-2m)本；②設B款紀念冊每天的銷售量與售價之間的一次函數關系式為y=kx+n，∴，解得，∴B款紀念冊每天的銷售量與售價之間的一次函數關系式為y=-2x+124，由①得：B款紀念冊銷售量為(80-2m)本，售價為80-2m=-2x+124，即x=22+m(元)，則每本利潤為22+m-14=8+m(元)，設該店每天所獲利潤為w元，則w=(40+2m)(12-m)+(80-2m)(8+m)=-4m2+48m+1120=-4(m-6)2+1264，∵-4<0，∴當m=6時，w有最大值，最大值為1264元，此時A款紀念冊售價為32-6=26(元)，答：當A款紀念冊售價為26元時，該店每天所獲利潤最大，最大利潤是1264元．【點睛】本題考查二元一次方程組、一次函數及二次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出方程組和函數關系式．22．（2022·內蒙古包頭）由于精準扶貧的措施科學得當，貧困戶小穎家今年種植的草莓喜獲豐收，采摘上市16天全部銷售完．小穎對銷售情況進行統計后發現，在該草莓上市第x天（x取整數）時，日銷售量y（單位：千克）與x之間的函數關系式為草莓價格m（單位：元/千克）與x之間的函數關系如圖所示．(1)求第14天小穎家草莓的日銷售量；(2)求當時，草莓價格m與x之間的函數關系式；(3)試比較第8天與第10天的銷售金額哪天多？【答案】(1)40千克(2)(3)第10天的銷售金額多【分析】（1）把x=14代入求出y值即可；（2）用待定系數法求解，設m與x之間的函數關系式為，把(4,24),(12,16)代入，求出k，b值即可求解；（3）把x=8，x=10分別代入y=12x，求出y，再把x=8，x=10分別代入（2）問所求解析式求出m值，然后分別求出my值，比較即可求解．(1)解：∵當時，，∴當時，（千克）．∴第14天小穎家草莓的日銷售量是40千克．(2)解：當時，設草莓價格m與x之間的函數關系式為，∵點在的圖像上，∴解得∴函數關系式為．(3)解：∵當時，，∴當時，，當時，．∵當時，，∴當時，，當時，．∴第8天的銷售金額為：（元），第10天的銷售金額為：（元）．∵，∴第10天的銷售金額多．【點睛】本題考查一次函數的應用，待定系數法求一次函數解析式，函數圖像，能從函數圖像獲取有用作息，用待定系數法求出函數解析式是解題的關鍵．23．（2022·湖北武漢）某超市銷售一種進價為18元/千克的商品，經市場調查后發現，每天的銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）有如下表所示的關系：(1)根據表中的數據在下圖中描點，并用平滑曲線連接這些點，請用所學知識求出y關于x的函數關系式；(2)設該超市每天銷售這種商品的利潤為w（元）（不計其它成本），①求出w關于x的函數關系式，并求出獲得最大利潤時，銷售單價為多少；②超市本著“盡量讓顧客享受實惠”的銷售原則，求（元）時的銷售單價．【答案】(1)圖象見解析，y與x的函數關系式為：(2)①w關于x的函數關系式為：w=；當w取最大值，銷售單價為34元；②（元）時的銷售單價為30元【分析】（1）根據表格描點連線即可做出函數圖像，然后利用待定系數法，將表格中數值代入進行求參數即可；（2）①由（1）中關系式可求得w=，結合函數的性質可知當w取最大值，銷售單價為34元；②解方程，可知，，根據超市本著“盡量讓顧客享受實惠”的銷售原則，可知符合題意．(1)解：作圖如圖所示，由圖可知，y與x是一次函數關系，設y與x的函數關系式為：，將x=20，y=30；x=40，y=10，代入得，，解得：，即y與x的函數關系式為：；(2)①由題意可知w關于x的函數關系式為：w==，∴當x=34時，w取最大值，最大值為：256元，即：當w取最大值，銷售單價為34元；②當時，，解得：，，∵超市本著“盡量讓顧客享受實惠”的銷售原則，∴，即（元）時的銷售單價為30元．【點睛】本題主要考查的是一次函數及二次函數得應用，掌握函數及圖象的性質，能夠整合題中條件是解題的關鍵．24．（2022·廣東深圳）某學校打算購買甲乙兩種不同類型的筆記本．已知甲種類型的電腦的單價比乙種類型的要便宜10元，且用110元購買的甲種類型的數量與用120元購買的乙種類型的數量一樣．(1)求甲乙兩種類型筆記本的單價．(2)該學校打算購買甲乙兩種類型筆記本共100件，且購買的乙的數量不超過甲的3倍，則購買的最低費用是多少?【答案】(1)甲類型的筆記本電腦單價為110元，乙類型的筆記本電腦單價為120元(2)最低費用為11750元【解析】【分析】（1）設甲類型的筆記本電腦單價為x元，則乙類型的筆記本電腦為元．列出方程即可解答；（2）設甲類型筆記本電腦購買了a件，最低費用為w，列出w關于a的函數，利用一次函數的增減性進行解答即可．(1)設甲類型的筆記本電腦單價為x元，則乙類型的筆記本電腦為元．由題意得：解得：經檢驗是原方程的解，且符合題意．∴乙類型的筆記本電腦單價為：（元）．答：甲類型的筆記本電腦單價為110元，乙類型的筆記本電腦單價為120元．(2)設甲類型筆記本電腦購買了a件，最低費用為w，則乙類型筆記本電腦購買了件．由題意得：．∴．．∵，∴當a越大時w越小．∴當時，w最大，最大值為（元）．答：最低費用為11750元．【點睛】此題考查了分式方程的應用，以及一次函數的應用，掌握分式方程的應用，以及一次函數的應用是解題的關鍵．25．（2022·廣西賀州）2022年在中國舉辦的冬奧會和殘奧會令世界矚目，冬奧會和殘奧會的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻戶曉，成為熱銷產品，某商家以每套34元的價格購進一批冰墩墩和雪容融套件，若該產品每套的售價是48元時，每天可售