歡迎指導!鄭州市十二中高二備課組2006.3.12歡鄭州市十二中高二備課組

利用法向量求點到平面的距離一、復習引入三、歸納小結五、反饋總結二、探索新知四、鞏固遷移六、反思作業利用法向量求一、復習引入三、歸納小結五、反饋總結二、探索問題1則設一、復習引入問題1則設一、復習引入若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)(2)

若M（x，y，z）是線段AB的中點，則(1)問題2若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,平面的法向量如果n,那么向量n叫做平面的法向量.問題3如果

是平面的法向量,那么平面的法向量如果n,那么向量n叫做平面的法向量.問題3

②向量a在軸l上或在e方向（e是l上同方向的單位向量）上的投影:lOAB問題4①設則lBAO②向量a在軸l上或在e方向（e是l上同方向的單位向量）上的AoB二、探索新知?

已知平面,點A,設是平面的法向量，則點A到的距離AO的長如何表示呢AoB二、探索新知?

已知平面,點A例如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E、F分別是AB、AD的中點，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求點B到平面EFG的距離．DCABGFE解:例如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E三、歸納小結

用法向量求點到平面距離的一般過程是:

(1)建立適當的空間直角坐標系,求出需要的點的坐標;

(2)求出平面的法向量;

(3)作向量(點A為平面外一定點,點B為平面內任一點);(4)求向量在法向量上的射影的長度

(其中是與

同方向的單位法向量)三、歸納小結

用法向量求點到平面距離的一般過程是:(1)建

說明：利用法向量求點到平面的距離，常常不必作出垂線段，利用平面的法向量，把點A到平面的距離看成點A與平面內的任意一點B所構成的向量在法向量方向上的射影的長度，此種方法具有程序化，不需技巧，可以人人學會。說明：變式題：已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，求點A到平面A1C1D的距離．BCC1DB1A1D1Axz四、鞏固遷移y變式題：已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，求遷移題如圖，已知ABC是等腰三角形，AB=BC=2a,∠ABC=120°,且SA⊥平面ABC,SA=3a,求點A到平面SBC的距離．ACSBxyz遷移題如圖，已知ABC是等腰三角形，AB=BC=2a,五、反饋總結(2)在求法向量的過程中,解方程組之后,不能令x或y或z為0;(1)建立空間直角坐標系是關鍵,求點的坐標要準確;(3)點到平面的距離公式中,點A為平面外一定點,點B為平面內任一點,為平面的法向量.(4)公式實質為五、反饋總結(2)在求法向量的過程中,解方程組之后,(1)建六、反思與作業在棱長為２的正方體中，E、F分別是棱的中點．試用向量方法求點到平面EFBD的距離.反思:通過本節課談談自己的收獲是什么?作業:BCC1DB1A1D1AEF六、反思與作業在棱長為２的在棱長為２的正方體中，E、F分別是棱的中點．試用向量方法求點到平面EFBD的距離.作業:BCC1DB1A1D1AEF歡迎指導謝謝！在棱長為２的作業:BCC1歡迎指導謝謝！歡迎指導AoB即點A到平面的距離為在直角三角形AOB中,得由AoB即點A到平面的距離為在直角三角形AOB中其中,

是平面的單位法向量AoB其中,是平面的AoB點A到平面的距離可以看成（點B是平面內任一點）在平面的法向量的方向上的射影的長度:其中,

是平面的單位法向量AoB重點理解：B'點A到平

1AoB1AoB

ABdB'A'即向量在法向量上的射影的長度ABdB'A'即向量在法向量上的例如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E、F分別是AB、AD的中點，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求點B到平面EFG的距離．DCABGFE解:例如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E、三、歸納小結

用法向量求點到平面距離的一般過程是:

(1)建立適當的空間直角坐標系,求出需要的點的坐標;

(2)求出平面的法向量;

(3)作向量(點A為平面外一定點,點B為平面內任一點);(4)求向量在法向量上的射影的長度

(其中是與

同方向的單位法向量)三、歸納小結

用法向量求點到平面距離的一般過程是:(1)建

說明：利用法向量求點到平面的距離，常常不必作出垂線段，利用平面的法向量，把點A到平面的距離看成點A與平面內的任意一點B所構成的向量在法向量方向上的射影的長度，此種方法具有程序化，不需技巧，可以人人學會。說明：變式題：已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，求點A到平面A1C1D的距離．BCC1DB1A1D1Axz四、鞏固遷移y變式題：已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，求延伸遷移如圖，已知ABC是等腰三角形，AB=BC=2a,∠ABC=120°,且SA⊥平面ABC,SA=3a,求點A到平面SBC的距離．ACSBxyz延伸遷移如圖，已知ABC是等腰三角形，AB=BC=五、反饋總結(2)在求法向量的過程中,解方程組之后,不能令x或y或z為0;(1)建立空間直角坐標系是關鍵,求點的坐標要準確;(3)點到平面的距離公式中,點A為平面外一定點,點B為平面內任一點,為平面的法向量.(4)公式還可化為五、反饋總結(2)在求法向量的過程中,解方程組之后,(1)建六、反思與作業在棱長為２的正方體中，E、F分別是棱的中點．試用向量方法求點到平面EFBD的距離.反思:通過本節課談談自己的收獲是什么?作業:謝謝指導！再見．BCC1DB1A1D1AEF六、反思與作業在棱長為２的DCABGFEyz如圖建立空間坐標系，G（0，4，2）,F（2,0,0）,E（4,2,0）,∵∴,則∴則設平面的法向量為解：x返回∴x=-y，z=-3y．令y=-1，DCABGFEyz如圖建立空間坐標系，G（0，4，2）,F（DABCGFExyz解:如圖建立空間直角坐標系，則G(0，O，2)，F(4，2，O)，E(2，4，0)，B(0，4，O)．=(2,-2,0),

=(2,4,-2),

設面GEF的法向量為

=0,=0,∴2x-2y=0，2x+4y-2z=0，∴x=y，z=3y．=(1,1,3).

∴點B到面GEF的距離為返回令y=1，則=(2,0,0).

DABCGFExyz解:如圖建立空間直角坐標系，則G(xyz法向量的應用：點到面的距離xyz法向量的應用：點到面的距離例2：已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，E，F分別是B1C1和C1D1的中點，求點A1到平面BDEF的距離。FED1C1B1A1DCBA例2：已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，E，F

ABdB'A'即向量在法向量上的射影的長度ABdB'A'即向量在法向量上的

教師引導，學生總結：法一：設是平面的法向量，在內取一點B,則點A到的距離法二：設于O,利用和點O在內的向量表示，可確定點O的位置，進而求出．BAOBA說明：用向量法求點到平面的距離，常常不必作出垂線段，利用平面的法向量，把點A到平面的距離看成點A與平面內的任意一點B所構成的向量在法向量方向上的射影的長度，此種方法具有程序化，不需技巧，可以人人學會。教師引導，學生總結：BAOBA說明：

點到平面的距離AoB即點A到平面的距離為在直角三角形AOB中,得由點到平面的距離AoB即點A到平面的距離為在直

點到平面的距離AoB

已知平面,點A,設是平面的法向量，過A作AO⊥于點O,則,在內取一點B,則點A到的距離AO的長如何表示呢?在直角三角形AOB中,由得點到平面的距離AoB在直角三角形AOB中,由得

點到平面的距離AoB點到平面的距離AoB點到平面的距離AoB其中,點B為平面內任一點,為平面的法向量.

已知平面,點A,設是平面的法向量，過A作AO⊥于點O,則,在內取一點B,則點A到的距離AO的長如何表示呢?即點A到平面的距離為點到平面的距離AoB其中,點B為平面內任一點,點A到平面的距離可以看成（點B是平面內任一點）在平面的法向量的方向上的射影的長度:其中,

是平面的單位法向量AoB重點理解：點A到平五、歸納總