1、（完整（完整word）等差數列專題等差數列專題一、等差數列知識點回顧與技巧點撥.等差數列的定義一般地,如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數,那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差,公差通常用字母蟲表示;.等差數列的通項公式3.若等差數列a3.若等差數列a的首項是a,等差中項01公差是d,則其通項公式為an=a1+(n1)d=(nm)d=p.如果三個數*,4，y組成等差數列，那么A叫做x和y的等差中項，如果人是x和y的等差中項，則Ax+y.等差數列的常用性質(1)通項公式的推廣：a,=am+(nm)d(n,mN*).(2)若an為等差數列，且m+n=p+q

2、,則a+a=a+a(m,n,p,qN*).(3)若匕是等差數列，公差為d,則ak,ak+,ak+2,(k,mN*)是公差為md的等差數列.(4)數列nSm,S2mSm,S31s2m，也是等差數列:mk+2m(5)S2n_1=(2n1)an。nd(6)若n為偶數，則S偶一S奇二；若n為奇數，則S奇一S偶=2中(中間項).等差數列的前n項和公式若已知首項a1和末項an,則與=錯誤!，或等差數列第的首項是a1,公差是d,則其前n項和公式為Sn=na1+錯誤!d.nnn1n.等差數列的前n項和公式與函數的關系S=錯誤!n2+錯誤!門,數列2是等差數列的充要條件是S=An2+Bn(A,B為常數).最值問

3、題nn若a1V0,d0,則Sn存在最小值.在等差數列凡中，a1若a1V0,d0,則Sn存在最小值.一個推導利用倒序相加法推導等差數列的前n項和公式:Sn=a+a+a+Fan,Sn=an+an一+a,+得:s=najan。n2兩個技巧已知三個或四個數組成等差數列的一類問題，要善于設元.(1)若奇數個數成等差數列且和為定值時,可設為二；a2d；ad,a,a+d,a+2d,.(2)若偶數個數成等差數列且和為定值時,可設為,a3d,ad,a+d,a+3d,，其余各項再依據等差數列的定義進行對稱設元.四種方法等差數列的判斷方法(1)定義法：對于nN2的任意自然數，驗證anan1為同一常數；(2)等差中項

4、法:驗證2an1=an+an2(n3,neN*)成立；(3)通項公式法：驗證an=pn+q；(4)前n項和公式法：驗證Sn=An2+Bn.注：后兩種方法只能用來判斷是否為等差數列，而不能用來證明等差數列.回顧:.已知等差數列同中，as=9,a/3,則公差d的值為（）A.B.1C.D.-12.已次口數列aj的通項公式是a：2n+5,貝I立匕數列是（）A.以A.以7為首項，公差為2的等差數列C.以5為首項，公差為2的等差數列B.以7為首項，公差為5的等差數列D.不是等差數列3.在等差數列a中，a=13,a=12,若a=2則n等于（A.3.在等差數列a中，a=13,a=12,若a=2則n等于（A.4

5、.A.23B.24C.25兩個數1與5的等差中項是（B.3C.D.26D.5.（2005黑龍江）如果數列an是等差數列，則（）A.a1+a8a4+a5B.ajagaq+asA.a1+a8a4+a5B.ajagaq+asC.a1+a82時，a=S-S=(12n-n2)-12(n-1)+(n-1)2=13-2n，TOC o 1-5 h znnn-1當n=1時，132x1=11=a,/.a=132n。1n13由a=13-2n0，得n一，/.當1n0；當n7時，a0。n2nn(1)1a+(1)1a+a+a=a+a+a23123=S=12x332=27；3a+aa+a+aHFa=a+a+aHFa一(a+

6、a+a10123+a)10=2S-S=2(12x6-62)-(12x10-102)=52.61011n當n7時，a+a+a+a=a+a+a+a一(a+a+a)=2S一S=2(12x6-62)-(12n一n2)=n2-12n+72.6n對應練習：5、已知S對應練習：5、已知S為等差數列a的前n項和，S100,S100二10，求S110?？键c2：證明數列是等差數列【名師指引】判斷或證明數列是等差數列的方法有:1、定義法：aa【名師指引】判斷或證明數列是等差數列的方法有:1、定義法：aan+1n=d（neN，d是常數）oa是等差數列;2、中項法：2a=a+a(neN)on+1nn+2+n是等差數列;

7、n3、通項公式法：a=kn+b（k,b是常數）o（a是等差數列;4、項和公式法：S4、項和公式法：S=An2+Bn（A,B是常數，A豐0）on【例4】已知S為等差數列a的前n項和，b（a是等差數列.n求證：數列求證：數列（是等差數列.n解：方法1：設等差數列解：方法1：設等差數列的公差為d，nS=na+n(n-1)dn12二.bn（完整（完整word）等差數列專題（完整（完整word）等差數列專題11d,：.b-b=a+nd-a-(n-1)d=(常數)n+1ni11d,：.b-b=a+nd-a-(n-1)d=(常數)n+1ni2i22，數列bn是等差數列.方法2：:bn=a+2(n-1)d,1

8、,1/.b=a+ndb=a+(n+1)dn+112，n+212.b+b-an+2n1+i(n+1)d+a+：(n-1)d-2a+nd=2b21,n+1.數列弘n是等差數列。對應練習：6、設S為數列na的前n項和,nS-pna(neN)，nn+（1）常數P的值；（2）證：數列an是等差數列.考點3:等差數列的性質【解題思路】利用等差數列的有關性質求解.【例5】1、已知S為等差數列a的前n項和則S112、知S為等差數列a的前n項和，S=m,S=n(n豐m),則Smm+n解:1、S1111(a+a)11-211X2a6-11a-1100.2、方法1：令S-An2+Bn，則nAn2+Bn-mAm2+B

9、m-nnA(n2-m2)+B(n-m)-m-n.n豐m，/.A(n+m)+B=-1,/.S=A(m+n)2+B(m+n)=-(m+n);m+n方法2:不妨設mn(m-n)(a+a)SS-a+a+a+a+a=n+mnm.mnn+1n+2n+3m-1m2:a+a=a+a=-2，1m+nn+1m:Sm+n(m+n)(a+:Sm+n1m1n-=(m+n)；方法3：是等差數列，：Sn1為等差數列nnJ三點共線.1)mlnm+n)三點共線.nm-nm-mnm-nSm+nm+nn對應練習：7、含2n+1個項的等差數列其奇數項的和與偶數項的和之比為（.2n.2n+1n+1AB.nnn-1n+1C.D.n2n8.設S、T分別是等差數列8.設S、T分別是等差數列a、a的前n項和nnnna則5=b5考點4：等差數列與其它知識的綜合【解題思路】1、利用a與S的關系式及等差數列的通項公式可求;2、求出T后，判斷T的單調性.【例6】已知S【例6】已知S為數列L的前n項和，S1=n2211+n;數列b滿足:b=11b=2b-b，其前9項和為153.n+2n+1n數列a、b的通項公式；nn設T為數列設T為數列c的前n項和(2a11)(2b1)求使不等式T=對VneN都成立的n57+最大正整