1、 第十節 函數的極值與最值一、函數的極值及其求法.精品課件.1 第十節 函數的極值與最值一、函數的極值及其求法.定義使得有則稱 為 的一個極大值點 (或極小值點 )極大值點與極小值點統稱為極值點 .極大值與極小值統稱為極值 .1) 函數的極值是函數的局部性質.2) 對常見函數, 極值可能出現在導數為 0 或 不存在的點(稱為可疑極值點). 稱 為 的一個極大值 (或極小值 )注意.精品課件.2定義使得有則稱 為 的一個極大值點 函數極值的求法定理1(函數取得極值的必要條件)(費馬定理)定義注意:例如,設在點處具有導數, 且在處取得極值,則.精品課件.3函數極值的求法定理1(函數取得極值的必要條

2、件)(費馬定理)定定理2 (第一充分條件)(是極值點情形)設在點 處連續 ,(1) 若 時, 而時,則在點處取得極大值;(2) 若 時, 而時,則在點處取得極小值;(3) 若時, 的符號相同, 則在點處無極值.精品課件.4定理2 (第一充分條件)(是極值點情形)設在點 處連續 ,(求極值的步驟:(不是極值點情形).精品課件.5求極值的步驟:(不是極值點情形).精品課件.5例1解列表討論極大值極小值.精品課件.6例1解列表討論極大值極小值.精品課件.6圖形如下.精品課件.7圖形如下.精品課件.7例2解.精品課件.8例2解.精品課件.8的極值 .解得駐點不可導點是極大值點，其極大值為是極小值點，其

3、極小值為例3 求函數不存在.精品課件.9的極值 .解得駐點不可導點是極大值點，其極大值為是極小值點，定理3(第二充分條件)證同理可證(2).二階導數 , 且則 在點 取極大值 ;則 在點 取極小值 . 設函數 f (x) 在點 x0 處 具有.精品課件.10定理3(第二充分條件)證同理可證(2).二階導數 , 且則 例4解圖形如下.精品課件.11例4解圖形如下.精品課件.11注意:.精品課件.12注意:.精品課件.12的極值 . 解: 令得駐點因故 為極小值 ;又故需用極值的第一充分條件來判別.例5. 求函數.精品課件.13的極值 . 解: 令得駐點因故 則1) 當 為偶數時,2) 當 為奇數

4、時,為極值點 , 且不是極值點 ,證定理4設 f (x) 在點 x0 處 具有n 階導數，且則 在點 取極大值 ;則 在點 取極小值 . 點 為拐點 。.精品課件.14則1) 當 為偶數時,2) 當 為奇數時,為極值點 故1) 當 為偶數時,由極限的保號性,知又得故 在點 取極大值 。則 在點 取極小值 .同理可證，2) 當 為奇數時,可證 在 點鄰近兩 側異號, 故 在點 不取極值 。.精品課件.15故1) 當 為偶數時,由極限的保號性,知又得故 故 當 為奇數時,可證 在 點鄰近兩側異號, 故點 為拐點 。.精品課件.16故 當 為奇數時,可證 在 設 其中a 為常數 .證明: 時, f

5、(0) 為 f (x)的極小值 ;時, f (0) 為 f (x)的極大值 .證 時, f (0) 為 f (x)的極小值 ;時, f (0) 為 f (x)的極大值 ;時, 例6.精品課件.17設 其中a 為常數 .證明: 時, f (0) 為 f (xf (0) 為 f (x)的極大值.精品課件.18f (0) 為 f (x)的極大值.精品課件.18函數圖形的描繪步驟 :1. 確定函數的定義域 ,期性 ;2. 求并求出及3. 列表判別增減及凹凸區間 , 求出極值和拐點 ;4. 求漸近線 ;5. 確定某些特殊點 , 描繪函數圖形 .為 0 和不存在的點 ;并考察其對稱性及周.精品課件.19函

6、數圖形的描繪步驟 :1. 確定函數的定義域 ,期性 ;2.例7解非奇非偶函數,且無對稱性.定義域（-，+ ）0,.精品課件.20例7解非奇非偶函數,且無對稱性.定義域（-，+ ）列表確定函數升降區間,凹凸區間及極值點和拐點:不存在拐點極值點間斷點.精品課件.21列表確定函數升降區間,凹凸區間及極值點和拐點:不存在拐點極值作圖.精品課件.22作圖.精品課件.22小結極值是函數的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點和不可導點是可疑極值點.判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條件).精品課件.23小結極值是函數的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能思考與練習1

7、. 設則在點 a 處( ).的導數存在 ,取得極大值 ;取得極小值;的導數不存在.B提示: 利用極限的保號性 .精品課件.24思考與練習1. 設則在點 a 處( ).的導在的某鄰域內連續, 且則在點處(A) 不可導 ;(B) 可導, 且(C) 取得極大值 ;(D) 取得極小值 .D提示: 利用極限的保號性 .2. 設.精品課件.25在的某鄰域內連續, 且則在點處(A) 不可導 ;(B) 可導是方程的一個解,若且則在(A) 取得極大值 ;(B) 取得極小值 ;(C) 在某鄰域內單調增加 ;(D) 在某鄰域內單調減少 .提示:A3. 設.精品課件.26是方程的一個解,若且則在(A) 取得極大值 ;

8、(B) 取得極設 f ( x )連續，且 f ( a )是 f ( x )的極值，問 f 2( a )是否是 f 2( x )的極值 .證則得 f 2( a ) 是 f 2( x ) 的極小值; 不妨設 f ( a )是 f ( x )的極小值 ,有.精品課件.27設 f ( x )連續，且 f ( a )是 f ( x )由 f ( x )在 x = a 處連續，得f 2( a )是 f 2( x )的極大值.同理可討論f ( a ) 是f ( x )的極大值的情況.由極限的保號性 , 知由得.精品課件.28由 f ( x )在 x = a 處連續，得f 2( a )試問 為何值時,在時取得極值 ,還是極小.解: 由題意應有