1、3.3.3 函數的最大（小）值與導數函數的最大（小）值與導數內容：利用導數研究函數的最大（小）值應用:1.求函數的最大值和最小值2.已知函數的最值求函數的解析式3.利用導數和不等式恒成立問題求參數的取值范圍. 本課主要學習利用導數研究函數的最大（小）值。以視頻世界上最長的蕩秋千線最高、最低點引入新課。通過合作交流，使學生發現并掌握極值與最值的區別與聯系，感受領會從數到形的探究過程。接著講述某函數在一個確定的閉區間上存在最值的條件。針對定理所解決的三類問題給出4個例題和變式，通過解決問題鞏固新知，強調利用導數研究函數最值問題的重要性。 在講述利用導數研究函數最值時，采用例題與變式結合的方法，通過

2、例1、例2和變式鞏固掌握求已知函數在閉區間的最值的方法。例3及變式，既注重了與原問題的聯系，又在不知不覺中提高了難度，提高了學生的解題能力；而例4是與函數最值有關的恒成立問題，說明思路的由來過程，開闊了學生的思路通過觀看視頻，大家一起討論一下蕩秋千線最高、最低點問題.世界上最長的蕩秋千線最高、最低點aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0問題1：函數單調性與導數關系如果在某個區間內恒有 ,則 為常數.設函數y=f(x) 在 某個區間 內可導，f(x)為增函數f(x)為減函數問題2：函數的極大（小）值的概念設函數f(x)在點x0附近有定義，如果對X0附近的所有點，都有

3、f(x)f(x0), 則f(x0) 是函數f(x)的一個極小值，記作y極小值= f(x0)；函數的極大值與極小值統稱 為極值. 使函數取得極值的點x0稱為極值點（1）確定函數的定義域（2）求函數的導數f(x)（3）求方程f(x)=0的根,找到臨界點（4）解不等式并列成表格（5）求出極值問題3:求函數的極值的方法與步驟左正右負極大值，左負右正極小值xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6問題4: 觀察下列圖形,你能找出函數的極值嗎？觀察圖象，我們發現， 是函數y=f(x)的極小值， 是函數y=f(x)的 極大值.在社會生活實踐中，為了發揮最大的經濟效益，常常遇到如何能使用料最省、產量最高

4、，效益最大等問題，這些問題的解決常常可轉化為求一個函數的最大值和最小值問題.函數在什么條件下一定有最大、最小值？他們與函數極值關系如何？極值是一個局部概念，極值只是某個點的函數值與它附近點的函數值比較是最大或最小,并不意味著它在函數的整個的定義域內最大或最小.問題1：這個函數f(x)在區間a,b上有極值嗎？問題2：指出它的極值點有哪些，并分別說明是極大值點還是極小值點問題3：f(x)在a,b上存在最值嗎？你覺得它的最小值和最大值分別在哪里取得？問題4：你是如何得出最大（小）值的？觀察下面一個定義在區間a,b上的函數f(x)的圖象xX2oaX3bx1yy=f(x)觀察右邊一個定義在區間a,b上的

5、函數y=f(x)的圖象：發現圖中_是極小值，_是極大值，在區間上的函數的最大值是_，最小值是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)xX2oaX3bx1yy=f(x)如果在沒有給出函數圖象的情況下，怎樣才能判斷出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？ 例如:已知函數 ，求f(x)在區間0,3上的最大值和最小值例如:已知函數 ，求f(x)在區間0,3上的最大值和最小值問題1：你能否自己畫出這個函數的圖象，再通過畫出的圖象確定函數的最值呢？問題2：你的作圖是否準確無誤呢？如果作圖出現較大的誤差，會不會影響到你的判斷？問題3：假設你的作圖準確度很高，你覺得每次都這么去作圖是否很方便

6、？問題4：有沒有更好的辦法，使我們不用作圖就能準確的求出任意一個函數的最值呢？問題1：你是如何理解“連續不斷的曲線”的？問題2：給定函數的區間a,b能否改為(a,b)？通過以上的思考，你能否給出某函數在一個確定的閉區間上存在最值的條件呢？觀察下列圖形,你能找出函數的最值嗎？xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6在開區間內的連續函數不一定有最大值與最小值在閉區間上的連續函數必有最大值與最小值因此：該函數沒有最值。問題3：你能說出函數的極值與最值有什么區別與聯系嗎？(1)“最值”是整體概念，而“極值”是個局部概念(2)從個數上看，一個函數在

7、給定定義域上的最值是唯一的；而極值不唯一，也可能沒有(3)若有唯一的極值，則此極值必是函數的最值(4)極值只能在定義域內部取得，而最值可以在區間的端點處取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值一般的如果在區間a,b上函數y=f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值。由上面函數f(x)的圖象可以看出,只要把連續函數所有的極值與定義區間端點的函數值進行比較，就可以得出函數的最值了. 例1.已知函數 ,求f(x)在區間0,3上的最大值和最小值 x(0.2)2(2,3) y-0+y遞減遞增 (2) 將y=f(x)的各極值與f(a)

8、、f(b)(端點處) 比較,其中最大的一個為最大值，最小的 一個最小值. 求f(x)在閉區間a,b上的最值的步驟：(1) 求f(x)在區間(a,b)內極值(極大值或極小值)；注意:1.在定義域內, 最值唯一;極值不唯一2.最大值一定比最小值大.1.求出所有導數為0的點；2.計算；3.比較確定最值。 求函數的最大值和最小值求函數y=x4-2x2+5在區間-2,2上的最大值與最小值.解:令 ,解得x=-1,0,1.當x變化時, 的變化情況如下表:x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y -0 +0 -0 +y13 4 5 4 13從上表可知,最大值是13,最小值是4.求函數

9、的最值時,應注意以下幾點:(1)函數的極值是在局部范圍內討論問題,是一個局部概念,而函數的最值是對整個定義域而言,是在整體范圍內討論問題,是一個整體性的概念.(2)閉區間a,b上的連續函數一定有最值.開區間(a,b)內的可導函數不一定有最值,但若有唯一的極值,則此極值必是函數的最值.(3)函數在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個, 而函數的極值則可能不止一個,也可能沒有極值,并且極大值(極小值)不一定就是最大值(最小值).例3.已知函數f(x)=2x3-6x2+a在-2,2上有最小值-37, (1)求a的值；（2）求f(x)在-2,2上的最大值已知函數f(x)=ax3-6ax2+b，問是否

10、存在實數a、b，使f(x)在-1,2上取得最大值3，最小值-29？若存在，求出a、b的值；若不存在，請說明理由 例4設函數f(x)=tx2+2t2x+t-1(t0)（1）求f(x)的最小值h(t)；（2）若h(t)-2t+m對(0t2)恒成立，求實數m的取值范圍 單調遞減10 單調遞增極大值有關恒成立問題，一般是轉化為求函數的最值問題求解時首先要確定函數，看哪一個變量的范圍已知，以已知范圍的變量為自變量確定函數教師提問：本節課我們學習了哪些知識，涉及到哪些數學思想方法？學生作答：1知識：（1）極值與最值的區別與聯系：（2）利用導數求函數的最值的步驟：2思想：歸納概括思想、數形結合思想教師總結：

11、在學習新知時也用到了前面所學過的知識，提醒學生: 在學習新知時，也要經常復習前面學過的內容,“溫故而知新”在應用中增強對知識的理解，及時查缺補漏，從而更好地運用知識，解題要有目的性，加強對數學知識、思想方法的認識與自覺運用DAA必做題:4.函數y=x3-3x2，在2，4上的最大值為（ )(A)-4 (B)0 (C)16 (D)20C1.函數 y = x + 3 x9x在 4 , 4 上的最大值為 ,最小值為 .分析: (1) 由 f (x)=3x +6x9=0,(2) 區間4 , 4 端點處的函數值為 f (4) =20 , f (4) =76得x1=3，x2=1 函數值為f (3)=27, f (1)=576-5當x變化時，y 、 y的變化情況如下表：x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4 y+0-0+0y2027-576比較以上各函數值，可知函數在4 , 4 上的最大值為 f (4) =76，最小值為 f (1)=5選做題:反思：本題屬于逆向探究題型 其基本方法最終落腳到比較極值與端點函數值大小上