1、北京大學數學科學學院期末試題參考答案2015 -2016學年第 1 學期考試科目 高等代數I 考試時間 2016 年 1 月 5 日一.（15分）已知 ,. 當a取何值時，矩陣方程 A X = B無解, 有唯一解, 有無窮多解 ? 在A X = B有解時給出一個解X .解: 對 A | B 作行變換 若 a = 1 , A | B 可化為 最后一個矩陣的前三個列能用無窮多種方式線性表出后兩個列，于是A的列組也能用無窮多種方式線性表出B的列組，此時矩陣方程A X = B 有無窮多解，其中的一個解為 . 當 a 1時 , A | B 可化為若 a = - 2 , 則A的列組無法線性表出B的列組，矩

2、陣方程A X = B 無解.若 a 1且 a - 2 , A | B 可化為此時矩陣方程A X = B 有唯一解 . 二.（12分）作變量替換 X = C Y , 將三元二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = a x12 + x22 + 3 x32 + 6 x1 x2 + 10 x1 x3 2 x2 x3化為標準型, 并確定當a取何值時，f正定 ; 當a取何值時，f不定 .解: f ( x1 , x2 , x3 ) =對 f 的矩陣成對的行列變換 故 f 的一個標準型為 ( a 41 ) y12 + y22 + 2 y32 , 所作的變量替換為 X = C Y , 其中 C = .

3、(注: 變量替換的矩陣C不唯一).由此可看出, 當 a 41 時, f 正定 ; 當a 41 時, f 不定 三.（12分）當a取何值時，矩陣A = 相似于對角矩陣.解：先求A的特征多項式 .于是A 有特征值l = 1 (代數二重) 及l = 6 . 矩陣 A可對角化當且僅當特征值l = 1 的幾何重數也等于2 , 即矩陣 A I 的解空間是2維的.由解空間的維數公式 , 這又等價于 A I = 的秩等于3 2 = 1 , 或 a = 3 .三.（24分）設二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 3 x12 + 4 x1 x2 4 x1 x3 + 8 x2 x3 .(1) 將 f 寫

4、成 XT A X的形式, 并求實對稱矩陣A的特征值與特征向量;(2) 求正交矩陣P及對角矩陣D , 使得A = P D PT ;(3) 證明: 對任意 X = x1 x2 x3 T R 3 , 有f ( X ) = XT A X 4 | X |2 , 并確定等號在何處取到.解: (1) 故A的特征值為l = 4 (代數二重) 及 l = 5 .對l = 4解齊次方程組 ( A 4 I ) X = 0 :通解為x1 = 2 x2 - 2 x3 , x2 、x3為自由變量. 解的向量形式于是1 =, 2 = 構成l = 4特征子空間的一組基.對l = - 5解齊次方程組 ( A + 5 I ) X

5、 = 0 :通解為 x1 = 1/2 x3 , x2 = - x3 , x3為自由變量. 解的向量形式:于是3 = 構成l = -5的特征子空間的一組基.(2) 將1 =, 2 = 正交化:令 1 = 1 , 再單位化:將3 = 也單位化: 則g1 , g2 , g3 構成R3 的標準正交基, P = g1 g2 g3 = 為正交矩陣, 且 (3) 做正交替換X = P Y , 二次型f化為 f( X ) = X TA X = Y T P TA P Y = Y T D Y = 4 y12 + 4 y22 5 y32 .由于P是正交矩陣, 我們有x12 + x22 + x32 = X T X =

6、 Y T P T P Y = Y T Y = y12 + y22 + y32 .故f ( X ) = 4 y12 + 4 y22 5 y32 = 4 ( y12 + y22 + y32 ) 9 y32 4 | X |2 ,且等號成立當且僅當 y3 = 0 , 或等價地, X = y1 g1 + y2 g2 , y1 , y2 R , 即 X屬于最大特征值l = 4的特征子空間.五.（12分）設 b1, b2, b3, b4 分別是矩陣C =的列向量.1) 證明: b i b jT ( 1 i 4 , 1 j 4 ) 是全體4級實矩陣構成的實線性空間M 4 ( R ) 的一組基;2) 求矩陣X

7、=在以上基底下的坐標, 即求矩陣A = ai j , 使得 .證: 1) 由于 dim M 4 ( R ) = 16 , 欲證b i b jT ( 1 i 4 , 1 j 4 ) 是M 4 ( R ) 的基底, 只需證明這16個矩陣能線性表出M 4 ( R )中任何一個矩陣. 任取矩陣X M 4 ( R ) . 設 A =CT X C, 并記A的 ( i , j ) 元為ai j . 則A可表示為A = ai j = 1 i , j 4 ai j e i e jT ,這里列向量e i ( 1 i 4 ) 為R4的標準基. 由于C CT = CT C = 4 I , 我們有 X = C A CT

8、 = 1 i , j 4 ai j C e i e jT CT = 1 i , j 4 ai j b i b jT.于是b i b jT ( 1 i 4 , 1 j 4 ) 構成實線性空間M 4 ( R ) 的一組基. 2) 設矩陣X = = 1 i , j 4 ai j b i b jT. 則 A = ai j = CT X C .即 X = ( b1 b1T b2 b2T b3 b3T + b4 b4T ) .六.（10分）設A 是3 4矩陣，其中任何一個3階子式都不等于零 . 證明： 存在可逆矩陣C 與對角矩陣D，使得A = . 證: 對A作行變換 , 可將A變為簡化階梯形J . 由于A

9、的每個3階子式非零，J的每個3階子式也都非零。 故 J = , 其中 abc 0 . 于是存在可逆矩陣 B , 使得A = B J = B= B = . 這里令 C = B , D = . 七.（ 5分）判斷對錯. 正確的請給出證明, 錯誤的請舉出反例. 若A是行列式為1的n級正交矩陣 , 則A的每個r級子式 ( 1 r n ) 都等于此子式的代數余子式 .命題正確 ( 1分) (這可以通過多觀察一些例子猜到：如 ).以下給出兩種證明, 第一個證明由羅睿軒同學給出：證1: 任取 1 k1 kr n，設A的第k1 , , kr行中的N =個r級子式為 A1 , . , A N , 設這些r級子式

10、對應的代數余子式依次為B1 , . , B N .對A的第k1 , , kr行作Laplace展開， 得A1 B1 + . . . + A N B N = | A | = 1 . (1)另一方面, 記A的第k個行向量為 bk . 根據Cauchy-Binet公式 , 有A12 + . . . + A N 2 =. (2)類似的, 還有B12 + . . . + B N 2 =. (3)這里 k1 , , kr , l1 , , l n-r 構成1, 2 , . , n 的一個排列. (2) + (3) 2(1) , 得( A1 B1 ) 2 + . . . + ( A N B N ) 2 =

11、0 .于是有 A i = B i , 1 i N . 故A的每個r級子式都等于其的代數余子式 .第二個證明由漆王宇同學給出.證2 : 首先證明對任意n級正交矩陣A , 其左上角的r級子式總等于其右下角的n - r級子式乘以A的行列式 , 即A = | A | A. (1)將A寫成分塊矩陣 的形式, 其中B是r級子陣, E是n - r級子陣.由于A是正交矩陣 , 我們有AAT = = .特別地 , 有 D DT + E ET = I n-r 及 B DT + C ET = 0 . 由此得 .兩邊求行列式 , 得 | A | | ET | = | A | | E | = | B | . 此即為公式 (1).以下設X = A ( 1 i1 ir n , 1 j1 jr n ) 是一個處于一般位置的r級子式 , 設X的余子式為Y . 由定義,X的代數余子式 = Y.將A的第i1行與它前面的i1 -1行逐行交換, 把第i1行變到第1行上; 再將A的第i 2行與它之前的i1 -2行逐行交換, 把第i 2行變到第2行上; 重復此過程，直至將第i r行變到第r行上. 再對 A的列也做如此交換, 最終可通過i1 + + ir + j1 + + jr 2 ( 1 +.+ r ) 次行, 列對換將子式 X變到方陣的左上角, 將X