1、第二章 直線和圓的方程 解析幾何是17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家笛卡兒和費馬創(chuàng)立的，它的基本內(nèi)涵和方法是：通過坐標(biāo)系，把幾何的基本元素點和代數(shù)的基本對象數(shù)(有序數(shù)對或數(shù)組)對應(yīng)起來，在此基礎(chǔ)上建立曲線(點的軌跡)的方程，從而把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，再通過代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì). 解析幾何的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個里程碑，數(shù)學(xué)從此進(jìn)人變量數(shù)學(xué)時期，它為微積分的創(chuàng)建奠定了基礎(chǔ). 本章我們將在平面直角坐標(biāo)系中，探索確定直線位置的幾何要素，建立直線的方程，并通過直線的方程研究兩條直線的位置關(guān)系、交點坐標(biāo)以及點到直線的距離等. 類似地，通過確定圓的幾何要素，建立圓的方程，再通過圓的方程研究與圓相關(guān)的問題；最后

2、應(yīng)用直線和圓的方程解決一些實際問題.2.1 直線的傾斜角與斜率 我們知道，點是構(gòu)成直線的基本元素. 在平面直角坐標(biāo)系中，可以用坐標(biāo)表示點，那么，如何用坐標(biāo)表示直線呢？為了用代數(shù)方法研究直線的有關(guān)問題，本節(jié)我們首先在平面直角坐標(biāo)系中探索確定直線位置的幾何要素，然后用代數(shù)方法把這些幾何要素表示出來.2.1.1 傾斜角與斜率 思考1 確定一條直線的幾何要素是什么? 對于平面直角坐標(biāo)系中的一條直線l， 如何利用坐標(biāo)系確定它的位置?Oyxl1. 直線的傾斜角Oyxl1Pll2l3 我們知道，兩點確定一條直線，一點和一個方向也可以確定一條直線. 設(shè)A,B為直線上的兩點，則 就是這條直線的方向向量. 所以，

3、兩點確定一條直線可以歸結(jié)為一點和一個方向確定一條直線. 在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過一點P可以作無數(shù)條直線l1, l2, . 它們組成一個直線束， 這些直線的區(qū)別是什么? 在平面直角坐標(biāo)系中，我們規(guī)定水平直線的方向向右，其他直線向上的方向為這條直線的方向，因此，這些直線的區(qū)別是它們的方向不同，即相對于x軸的傾斜程度不同，也就是它們與x軸所成的角不同. 因此，我們可以利用這樣的角來表示這些直線的方向. 當(dāng)直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角. 上圖中直線l1的傾斜角1為銳角，直線l的傾斜角為鈍角. 當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜

4、角為0. 因此，直線的傾斜角的取值范圍為0180.1練習(xí)1 下圖中，表示直線的傾斜角的是( )ABCDA 練習(xí)2 若直線l的向上方向與y軸的正方向成30角, 則直線l的傾斜角為( ) A. 30 B. 60 C. 30或150 D. 60或120D 練習(xí)3 設(shè)直線l過原點，其傾斜角為，將直線l繞坐標(biāo)原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)45得到直線l，則直線l的傾斜角為( ) A. +45 B. -135 C. 135- D.當(dāng)0135時為+45，當(dāng)135180時為-135D 1. 當(dāng)直線l與x軸平行或重合時, 我們規(guī)定它的傾斜角為0, 當(dāng)直線l與x軸垂直時, 它的傾斜角為90, 因此, 直線的傾斜角的取值范圍

5、為: 0, 180).注意： 3. 在平面直角坐標(biāo)系中，每一條直線都有一個確定的傾斜角，而且方向相同的直線(平行或重合)，其傾斜程度相同，傾斜角相等；方向不同的直線(相交)，其傾斜程度不同，傾斜角不相等. 因此，我們可以用傾斜角表示平面直角坐標(biāo)系中一條直線的傾斜程度，也就表示了直線的方向.Oyxl11l2l323 2. 過一點P且傾斜角為的直線是唯一的. 探究 在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線l的傾斜角為.(1) 已知直線l經(jīng)過O(0, 0), P( , 1), 與O, P的坐標(biāo)有什么關(guān)系?(2) 類似地，如果直線l經(jīng)過P1(-1, 1), P2( , 0), 與P1, P2的坐標(biāo)又有什么關(guān)系?(3

6、) 一般地，如果直線l經(jīng)過兩點P1(x1, y1), P2(x2, y2), x1x2, 那么與P1, P2的坐標(biāo)有怎樣的關(guān)系?OyxOyxOyx思考2 當(dāng)直線P1P2與x軸平行或重合時，上述式子還成立嗎? 為什么?定義：2. 直線的的斜率 3. 當(dāng)直線的傾斜角是90時，直線與x軸垂直，此時直線斜率不存在. 我們把一條直線的傾斜角 的正切值叫做這條直線的斜率，用小寫字母 k 表示，即 1. 傾斜角是90的直線沒有斜率，傾斜角不是90的直線都有斜率，例如，傾斜角 = 60時，這條直線的斜率為2. 傾斜角 = 120時，這條直線的斜率為 4. 日常生活中常用“坡度”表示傾斜面的傾斜程度: 坡度=鉛

7、直高度/水平寬度. 當(dāng)直線的傾斜角為銳角時，直線的斜率與坡度是類似的.注： 5. 如果直線經(jīng)過兩點P1(x1, y1), P2(x2, y2), x1x2, 那么直線的斜率滿足公式:上述公式叫做直線的斜率公式.1. 已知下列直線的傾斜角，求直線的斜率:2. 已知下列直線的斜率，求直線的傾斜角: 例1 如圖示, 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直線AB, BC, CA的斜率, 并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角.OyxA(3,2)B(-4,1)C(0,-1)1-1-2 3. 求經(jīng)過下列兩點的直線的斜率，并判斷其傾斜角是銳角還是鈍角: (1) C(18, 8)，D

8、(4, -4); (2) P(0, 0)，Q(-1, 3). 4. 已知a, b, c是兩兩不等的實數(shù)，求經(jīng)過下列兩點的直線的傾斜角: (1) A(a, c), B(b, c); (2) C(a, b), D(a, c); (3) P(b, b+c), Q(a, c+a).O思考3 當(dāng)直線的傾斜角由0逐漸增大到180時, 其斜率k如何變化? 為什么?當(dāng)00, 且k隨的增大而增大.當(dāng)90180時, k0, 且k隨的增大而增大.練習(xí)1 若45 135, 則斜率k的取值范圍為_.練習(xí)2 若-1k1, 則傾斜角 的取值范圍為_.0, 45135, 180)(-, -11, +)思考4 (1) 已知直線

9、上的兩點A(x1, y1), B(x2, y2), 運用斜率公式計算直線AB的斜率時, 與A, B兩點的順序有關(guān)嗎?(2)當(dāng)直線平行于y軸, 或與y軸重合時, 上述公式還適用嗎? 為什么?直線AB的斜率與A, B的順序無關(guān)，即 當(dāng)直線平行于y軸，或與y軸重合時，傾斜角為90，斜率不存在，故不適用斜率公式.所以若直線一個方向向量的坐標(biāo)為(x, y), 則 我們知道, 直線AB上的向量 以及與它平行的向量都是直線的方向向量.因此, 若直線AB的斜率為k, 則它的一個方向向量可以是也可以是5. 經(jīng)過A(0, 2), B(-1, 0)兩點的直線的方向向量為(1, k)，求k的值.變式 經(jīng)過A(0, 2

10、), B(-1, 0)兩點的直線的方向向量為(2, k)，求k的值.D【鞏固訓(xùn)練1】下列說法中，正確的是 () A. 直線的傾斜角為，則此直線的斜率為tan B. 直線的斜率為tan，則此直線的傾斜角為 C. 若直線的傾斜角為，則sin0 D. 任意直線都有傾斜角，且 90時，斜率為tan【鞏固訓(xùn)練2】已知經(jīng)過A(m,2), B(-m,2m-1)的直線的傾斜角為, 且45135, 試求實數(shù)m的取值范圍.解：A(0,2), B(0, -1),當(dāng)m=0時，直線AB傾斜角=90. 符合題意.直線ABx軸，直線AB的斜率為 當(dāng)m0時，或或解得故m的取值范圍為即或【鞏固訓(xùn)練3】已知直線l的一個方向向量為 求直線l的傾斜角和斜率. 解:是直線l的一個方向向量,即又直線l的傾斜角為 ，斜率為 1直線的傾斜角定義 當(dāng)直線l與x軸相交時，以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.規(guī)定當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，直線l的傾斜角為0.小結(jié)