1、 第七章 7.3 區間估計二、正態總體均值的置信區間一、置信區間三、正態總體方差的置信區間 第二十一講 例如，在估計湖中魚數的問題中，若我們根據一個實際樣本，得到魚數 N 的估計值為1000條。湖中魚數的真值 也就是說，希望確定一個區間，使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數值。 這里所說的“可靠程度”是用概率來度量的，稱 ，這里 是一個很小 習慣上把置信水平記作的正數。為置信度，置信水平或置信概率。1. 置信區間為的置信區間，為該區間的置信度。，其中 為定義1 設總體的分布函數為待估參數；對于樣本找出統計量稱區間使得稱為顯著性水平。置信下限置信上限通常, 采用0.95的置信度, 有時也取

2、0.99或0.90.抽樣100次, 則在得到的100個區間中包含真值的有95個左右, 不包含真值的有5個左右。即置信度為這時重復例如 若是一個隨機區間；區間表達了區間估計的可靠性；的可能性。表示該區間不包含真值說明置信區間的平均長度表達了區間估計的精確性；矛盾2. 正態總體均值的置信區間設為總體的一個樣本，在設已知方差且是的一個無偏估計，又置信度下，來確定的置信區間 方差已知，估計均值對于給定的置信度查正態分布表，找出臨界值使得由上 分位點的定義 使得由此可找出無窮多組，通常我們取對稱區間對于給定的有可得所以的置信水平為1-的置信區間為簡記為例 若取查表得，且由一組樣本值算得樣本均值的觀察值則

3、得到一個置信度為0.95的的置信區間注：的置信水平1- 的置信區間不唯一。上例 中同樣給定，可以取標準正態分布上分位點-Z0.04和Z0.01，則也有則的置信度為0.95的置信區間為但對稱時的區間長度最短，在顯著水平一定的條件下，置信區間長度越短精度越高，即對稱區間 為最優區間。 方差未知，估計均值因為的無偏估計。而選取樣本函數可用樣本方差：取其中 n 是樣本容量,n-1是表中自由度；得所以的置信水平為1-的置信區間為簡記為已知幼兒身高服從正態分布，現從56歲的幼兒中隨機地抽查了9人，其高度分別為：115, 120131, 115, 109, 115, 115, 105, 110 cm; 假設

4、標準差置信度為95%; 試求總體均值的置信區間。解: 已知由樣本值算得：查正態分布表得，由此得的置信區間例1解: 設需要抽取容量為n的樣本, 其樣本均值為查表得于是的置信水平為0.95的置信區間為該區間長度解得故取設總體問需要抽取容量為多大的樣本，才能使的置信水平為0.95 的置信區間的長度不大于 0.49 ?例2用儀器測量溫度, 重復測量7次, 測得溫度分別為 115, 120, 131, 115, 109, 115, 115 ; 設溫度 在置信度為95%時, 試求溫度的均值所在范圍。查表得已知由樣本值算得解:得區間例3對某種型號飛機的飛行速度進行15次試驗, 測 得最大飛行速度(單位: 米

5、/秒)為420.3, 425.8, 423.1, 418.7, 438.3, 434.0, 412.3, 431.5最大飛行速度服從正態分布. 求飛機最大飛行速度 422.2, 417.2, 425.6413.5, 441.3, 423.0, 428.2, 根據長期經驗, 可以認為的期望值的置信水平為 0.95 的置信區間。 解：以X 表示該飛機的最大飛行速度, 則 例4查表得由于總體方差未知, 因此的置信水平為0.95的置信區間為:由3. 方差的置信區間（均值未知）設為總體的一個樣本我們知道是的無偏估計并且樣本函數：尋找使得概率對稱的區間由于分布不對稱性，即由分布表的構造置信區間即標準差的一個置信水平為的置信區間注意：在密度函數不對稱時，如習慣上仍取對稱的分位點，但其置信區間的長度并不最短。解: 先求2的估計值某自動車床加工零件，抽查16個測得長度（mm），怎樣估計該車床加工零件長度的方差。例5查表所求2的置信度