1、課題17二次函數的綜合應用基礎知識梳理考點一 利用二次函數與一元二次方程的關系解決實際問題考點二 利用二次函數解決其他綜合性問題中考題型突破題型一 利用二次函數與一元二次方程的關系解決實際問題題型二 考查利用二次函數解決綜合性問題易錯 不能根據實際問題的意義對解方程所得的根正確取舍易混易錯突破考點年份題號分值考查方式二次函數的應用20182611以解答題的形式,與反比例函數相結合,考查二次函數的綜合應用20172612以解答題的形式,與一次函數、反比例函數相結合,考查二次函數的應用20162612以解答題的形式,以求函數圖象最高點的坐標為問題情境,考查二次函數的應用備考策略:二次函數的應用是我

2、省中考的?？純热?主要內容包括利用待定系數法確定二次函數表達式,二次函數與一元二次方程的關系,二次函數的最大(小)值等,這些知識常隱含于實際問題中,題目的難度較大.河北考情探究考點一利用二次函數與一元二次方程的關系解決實際問題根據二次函數與一元二次方程的關系,可以解決一些實際問題,基本方法為:當已知某個函數值時,通過解一元二次方程,即可求得相應的自變量的值.基礎知識梳理考點二利用二次函數解決其他綜合性問題二次函數與平面幾何、一次函數、反比例函數等知識相結合,可以解決一些綜合性的實際問題,基本方法是綜合運用上述知識,根據有關各量之間的關系,得到一個二次函數關系式,則問題可轉化為解二次函數問題.題

3、型一利用二次函數與一元二次方程的關系解決實際問題該題型主要考查利用二次函數與一元二次方程的關系解決實際問題,解決這類問題時,可把二次函數、函數值、自變量的值等轉化為解一元二次方程問題,由此即可達到解題的目的.中考題型突破典例1(2017山東青島)如圖,隧道的截面由拋物線和長方形構成,長方形的長是12 m,寬是4 m.按照圖中所示的直角坐標系,拋物線可以用y=-x2+bx+c表示,且拋物線上的點C到墻面OB的水平距離為3 m,到地面OA的距離為m.(1)求該拋物線的函數表達式,并計算出拱頂D到地面OA的距離;(2)一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為6 m,寬為4 m,如果隧道內設雙向行車道,那么

4、這輛貨車能否安全通過?(3)在拋物線形拱壁上需要安裝兩排燈,使它們離地面的高度相等,如果燈離地面的高度不超過8 m,那么兩排燈的水平距離最小是多少米? 答案(1)根據題意,得B(0,4),C.把B(0,4),C的坐標代入y=-x2+bx+c,得解得拋物線的函數表達式為y=-x2+2x+4. y=-x2+2x+4=-(x-6)2+10,D(6,10).拱頂D到地面OA的距離為10 m.(2)根據題意,貨運汽車最外側與地面OA的交點坐標為(2,0)或(10,0),當x=2或x=10時,y=-22+22+4=或y=-102+210+4=. m6 m這輛貨車能安全通過.(3)令y=8,解方程-(x-6

5、)2+10=8,得x1=6+2,x2=6-2,x1-x2=4.答:兩排燈的水平距離最小是4 m.名師點撥本題的解題技巧是轉化,如在(2)中,把集裝箱的寬度為4米轉化為貨運汽車最外側與地面OA的交點為坐標(2,0)或(10,0),然后求拋物線上x=2時的y值,則問題進一步轉化為比較此時的y值與6 m(集裝箱的高度)的大小,至此即可得到“能否通過”的答案.變式訓練1(2018石家莊模擬)小明為了檢測自己實心球的訓練情況,在一次投擲的測試中,實心球經過的拋物線軌跡如圖所示,其中出手點A的坐標為,球在最高點B的坐標為.(1)求拋物線的函數表達式;(2)在小明練習實心球的正前方距離投擲點7米處有一個身高

6、1.2米的小朋友在玩耍,問該小朋友是否有危險(如果實心球在小孩頭頂上方飛出為安全,否則視為危險),請說明理由.答案(1)設拋物線的函數表達式為y=a(x-3)2+.點A在此拋物線上,=a(0-3)2+,解得a=-.拋物線的函數表達式為y=-(x-3)2+.(2)有危險.理由如下:將x=7代入y=-(x-3)2+,得y=-(7-3)2+=1.11.2, 身高1.2米的小朋友有危險.題型二考查利用二次函數解決綜合性問題該題型主要考查利用二次函數解決綜合性問題,在這類問題中,二次函數常與方程、不等式、圖形的全等、相似等知識相結合,難度較大.典例2(2016滄州模擬)如圖,拋物線y=-x2+bx+c與

7、直線AB相交于A(-1,0),B(2,3)兩點,與y軸交于點C,其頂點為D.(1)求拋物線的函數表達式;(2)作直線x=3,在直線上取一點M(3,m),求使MC+MD的值最小時m的值;(3)若P是該拋物線上位于直線AB上方的一動點,求APB面積的最大值.答案(1)將A,B點的坐標代入y=-x2+bx+c,得解得拋物線的函數表達式為y=-x2+2x+3.(2)y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,D(1,4),C(0,3).作點C關于直線x=3的對稱點C,則點C的坐標為(6,3).連接CD,CD交直線x=3于M點,連接MC,此時MC+MD的值最小,如圖所示.設直線CD的表達式為y=kx+b(

8、k0),將點C,D的坐標代入,得解得直線CD的表達式為y=-x+.當x=3時,y=-3+=,M.故使MC+MD的值最小時m的值為.(3)作PEy軸交AB于點E,如圖所示.設直線AB的表達式為y=px+q(p0),將點A,B的坐標代入,得解得直線AB的表達式為y=x+1.設E(n,n+1),則P(n,-n2+2n+3),PE=-n2+2n+3-(n+1)=+.SAPB=PE(xB-xA)=2-(-1)=-+.當n=時,APB的面積有最大值,最大值為.名師點撥本題的解題思路為:(1)因為拋物線經過已知點A,B,利用待定系數法即可求得函數表達式;(2)根據對稱性,可得到點C關于直線x=3的對稱點C的

9、坐標,根據兩點之間線段最短,可確定點M,利用待定系數法可求得直線CD的表達式,進而求得m的值;(3)作PEy軸交AB于點E,則APB的面積=APE的面積+BPE的面積,由此即可得出結論.其中,(3)的求解有兩個小小的技巧:一是作輔助線PE,其目的是分割APB,使之轉化為SAPB=PE(xB-xA);二是用含n的代數式表示線段PE的長,從而SAPB可用含n的式子表示,進而得出結論.變式訓練2(2018唐山)如圖,直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6(a0)相交于點A和B(4,m),點P是線段AB上異于A,B的動點,過點P作PCx軸于點D,交拋物線于點C.(1)求拋物線的函數表達式;(2)是

10、否存在這樣的點P,使線段PC的長有最大值,若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由.答案(1)點B(4,m)在直線y=x+2上,m=4+2=6,B(4,6).點A,B(4,6)都在拋物線y=ax2+bx+6上,解得拋物線的函數表達式為y=2x2-8x+6.(2)存在設動點P的坐標為(n,n+2),則C點的坐標為(n,2n2-8n+6),PC=(n+2)-(2n2-8n+6)=-2n2+9n-4=-2+.n0),若該車某次的剎車距離為5 m,則開始剎車時的速度為( C )A.40 m/sB.20 m/sC.10 m/sD.5 m/s隨堂鞏固檢測2.一個運動員打高爾夫球,若球的飛行高度y(m)

11、與水平距離x(m)之間的函數表達式為y=-(x-30)2+10,則高爾夫球第一次落地時距離運動員( D )A.10 mB.20 mC.30 mD.60 m 3.在底邊長BC=20 cm,高AM =12 cm的三角形鐵板ABC 上,要截一塊矩形鐵板EFGH,使點E、H分別在AB、AC上,且EHBC,如圖所示.當矩形鐵板的面積為 cm2時,矩形的邊EF的長為( D )A.2 cmB.6 cmC.10 cmD.2 cm或10 cm4.(2018石家莊模擬)如圖,四邊形OABC是邊長為1的正方形,OC與x軸正半軸的夾角為15,點B在拋物線y=ax2(a0)的圖象上,則a的值為( B )A.-B.-C.

12、-2D.- 5.如圖,某公路隧道橫截面為拋物線,其最大高度為8米,以隧道底部寬AB所在直線為x軸,以AB的垂直平分線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系,拋物線的表達式為y=-x2+b,則隧道底部寬AB=8米. 6.某體育公園的圓形噴水池的水柱形狀如圖所示.如果曲線APB表示落點B離點O最遠的一條水流(如圖),其上的水珠的高度y(米)關于水平距離x(米)的函數表達式為y=-x2+4x+,那么圓形噴水池的半徑至少為米,才能使噴出的水流不落在水池外.7.某菜農搭建了一個橫截面為拋物線的大棚,尺寸如圖,若菜農身高為1.8 m,他在不彎腰的情況下,在棚內的橫向活動范圍是3m. 8.科幻小說實驗室的故事中,有這樣一個情節,科學家把一種珍奇的植物分別放在不同溫度的環境中,經過一天后,測試出這種植物高度的增長情況(如下表):溫度x/-4-20244.5植物每天高度增長量y/mm414949412519.75由這些數據,科學家推測出植物每天高度增長量y是溫度x的函數,如果這個函數是二次函數,(1)求y與x的函數關系式;(2)當溫度為多少時,這種植物每天高度的增長量最大?(3)如果實驗室溫度保持不變,在10天內要使該植物高度增長量的總和超過250 mm,那么實驗室的溫度x應控制在哪個范圍內?答案(1)設y與