1、1 前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均,是隨機(jī)變量的一個重要的數(shù)字特征. 但是在一些場合，僅僅知道隨機(jī)變量取值的平均是不夠的.4.2 隨機(jī)變量的方差2例如,甲、乙兩門炮同時向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮因為乙炮的彈著點較集中在中心附近，所以乙炮的射擊效果好. 中心中心3 為此需要引進(jìn)另一個數(shù)字特征,用它來度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離散程度.這個數(shù)字特征就是我們下面要介紹的方差4設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X), 若E(X-E(X)2存在, 則稱它為X 的方差（此時，也稱X的方差存在)，記為

2、D(X)或Var(X) , 即定義稱D(X) 的算術(shù)平方根 為X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，記為 (X). A. 方差的概念D (X)=E(X-E(X)25若X的取值比較分散，則方差較大.刻劃了隨機(jī)變量的取值相對于其數(shù)學(xué)期望的離散程度。若X的取值比較集中，則方差較小；D(X)=EX-E(X)2 方差6注意： 1) D(X)0，即方差是一個非負(fù)實數(shù)。2）當(dāng)X 服從某分布時，我們也稱某分布的方差為D(X)。方差是刻劃隨機(jī)變量取值的分散程度的一個 特征。7方差的計算公式(1)若 X 為離散型，概率分布為(2)若 X 為連續(xù)型，概率密度為 f (x), 則則8方差的計算公式常用的公式：證明:9 常見隨機(jī)變量的方

3、差 (1) 參數(shù)為p 的 01分布 概率分布為：前面已經(jīng)計算過：E(X)=p，又所以10 概率分布為： 已計算過：E(X)=np，又 所以 (2)二項分布B(n, p)11 概率分布為： 已計算過：E(X)=，又 所以 (3)泊松分布P()12 概率密度為： 已計算過：E(X)=(a+b)/2，又 所以 (4)區(qū)間a,b上的均勻分布Ua,b13 概率密度為： 已計算過：E(X)=1/，又 所以 (5) 指數(shù)分布E()14 概率密度為： 已計算過：E(X)= ，所以 (6) 正態(tài)分布N(, 2)15例1. 設(shè)求 E (Y ), D(Y ).解:1617例2. 已知X的密度函數(shù)為其中 A，B 是常

4、數(shù)，且 E(X) = 0.5. 求 A，B.(2)設(shè) Y=X2, 求 E(Y),D(Y).18解: (1)19(2)20性質(zhì)1: 若X=C，C為常數(shù)，則 D(X)=D(C)=0 .B. 方差的性質(zhì)性質(zhì)2:若b為常數(shù),隨機(jī)變量X的方差存在， 則bX的方差存在, 且 D(bX) = b2D(X)D (aX + b ) = a2 D(X)結(jié)合性質(zhì)1與性質(zhì)2就有21若隨機(jī)變量X1, X2, , Xn 的方差都存在，則X1+X2+.+Xn的方差存在，且 若隨機(jī)變量X1, X2, , Xn相互獨立，則性質(zhì)4:n2時就有性質(zhì)3:D(X+Y)= D(X) +D(Y) +2E(X-EX)(Y-EY)若X, Y

5、獨立， D(X+Y)= D(X) +D(Y)22注: 以后若無特殊說明, 都認(rèn)為隨機(jī)變量的方差大于0。性質(zhì)5:對任意常數(shù)C, D(X ) E(X C)2 ,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)C = E(X ).性質(zhì)6:D(X ) = 0 P (X = E(X)=1稱X 以概率 1 等于常數(shù)E(X).23例1. 設(shè)X B( n , p)，求D(X ).解： 引入隨機(jī)變量故則由于相互獨立，且24例2.標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 的期望E(X )、方差D(X )都存在, 且D(X ) 0, 則稱為 X 的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量. 顯然，Ch4-25僅知隨機(jī)變量的期望與方差并不能確定其分布,例如：P -1 0 1 0.1 0

6、.8 0.1P -2 0 20.025 0.95 0.025與它們有相同的期望、方差但是分布卻不同Ch4-26但若已知分布的類型，及期望和方差，常能確定分布.例 已知 X 服從正態(tài)分布, E(X ) = 1.7, D(X ) = 3, Y = 1 2 X , 求 Y 的密度函數(shù).解 27則:例3. 設(shè)X1, X2, , Xn相互獨立，有共同的期望 和方差 ，證明:28例4.已知隨機(jī)變量X1,X2,Xn相互獨立，且每個Xi的期望都是0，方差都是1，令Y= X1+X2+Xn .求 E(Y2).解：由已知，則有因此，29例5.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨立，且 XN(1,2), YN(0,1), 試求 Z

7、=2X-Y+3 的期望和方差。 由已知，有E(X)=1, D(X)=2, E(Y)=0, D(Y)=1, 且X和Y獨立。因此，D(Z)= 4D(X)+D(Y) = 8+1=9.E(Z)= 2E(X) E(Y)+3 = 2+3=5, 解:注：由此可知 ZN（5,9）。30原因：有限個相互獨立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布. (課本第77頁)一般地，31例4 已知X ,Y 相互獨立，且都服從 N (0,0.5), 求 E( | X Y | ).解故32C. 一個不等式 定理 (切比雪夫(Chebyshev)不等式)：對隨機(jī)變量X 和任意的 0，有下面介紹概率論中的一個基本不等式. 33證明: 設(shè)X為連續(xù)型, 密度函數(shù)為f(x), 則34例7. 在每次試驗中，事件 A 發(fā)生的概率為 0.75, 利用切比雪夫不等式求：n 需要多么大時，才能使得在 n 次獨立重復(fù)試驗中, 事件 A 出現(xiàn)的頻率在0.74 0.76之間的概率至少為0.90?解:設(shè)X 為n 次試驗中事件A 出現(xiàn)的次數(shù)，的最小的n .則 XB(n, 0.75).而所求為滿足于是，E(X)=0.75n, Var(X)=0.75*0.25n=0.1875n。 35 =P(-0.01nX-0.75n 0.01n) = P |X-E(X)| 0.01nP(0.74n X0.76n )可改寫為 在切比雪夫不等