1、2014年普通高等學校招生全國統一考試（湖北卷）數學（理科）一選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1. 為虛數單位，則（ ） B. C. D. 2. 若二項式的展開式中的系數是84，則實數（ ）2 B. C. 1 D. 3. 設為全集，是集合，則“存在集合使得是“”的（ ）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 根據如下樣本數據x345678y4.02.50.5得到的回歸方程為，則（ ） B. C. D.在如圖所示的空間直角坐標系中，一個四面體的頂點坐標分別是（0,0,2），（

2、2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），給出編號、的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（ ）和 B.和 C. 和 D.和 若函數上的一組正交函數，給出三組函數：；其中為區間的正交函數的組數是（ ）A.0 B.1 C.2 D.3由不等式確定的平面區域記為，不等式，確定的平面區域記為，在中隨機取一點，則該點恰好在內的概率為（ ）A. B. C. D.8.算數書竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現存最早的有系統的數學典籍，其中記載有求“蓋”的術：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.該術相當于給出了有圓錐的底面周長與高，計算其體積的近似公式它實際上是將圓錐體積公

3、式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當于將圓錐體積公式中的近似取為（ ）A. B. C. D.9.已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是他們的一個公共點，且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數之和的最大值為（ ）A. B. C.3 D.210.已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當時，若則實數a的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 填空題：本大題共6小題，考生共需作答5小題，每小題5分，共25分.請將答案天災答題卡對應題號的位置上，答錯位置，書寫不清，模棱兩可均不得分.必考題（1114題）11.設向量，若，則實數_.12.直線和將單位圓分成長度相等的四段弧，則_.13.設是一個各位數字都不是0且沒

4、有重復數字的三位數.將組成的3個數字按從小到大排成的三位數記為，按從大到小排成的三位數記為（例如，則，）.閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，任意輸入一個，輸出的結果_.設是定義在上的函數，且，對任意，若經過點的直線與軸的交點為，則稱為關于函數的平均數，記為，例如，當時，可得，即為的算術平均數.當時，為的幾何平均數；當當時，為的調和平均數；（以上兩空各只需寫出一個符合要求的函數即可）選考題（選修4-1：幾何證明選講）如圖，為的兩條切線，切點分別為，過的中點作割線交于兩點，若則（選修4-4：坐標系與參數方程）已知曲線的參數方程是，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方

5、程是，則與交點的直角坐標為_17、（本小題滿分11分）某實驗室一天的溫度（單位：）隨時間（單位;h）的變化近似滿足函數關系；求實驗室這一天的最大溫差；若要求實驗室溫度不高于，則在哪段時間實驗室需要降溫？18（本小題滿分12分）已知等差數列滿足：=2，且，成等比數列.求數列的通項公式.記為數列的前n項和，是否存在正整數n，使得若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由.19(本小題滿分12分)如圖，在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，點分別在棱,上移動，且.當時，證明：直線平面;是否存在，使平面與面所成的二面角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.（本小題滿分12分）計劃在某水庫建一座至多安裝

6、3臺發電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量(年入流量：一年內上游來水與庫區降水之和.單位：億立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立.求未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率；水電站希望安裝的發電機盡可能運行，但每年發電機最多可運行臺數受年入流量限制，并有如下關系；若某臺發電機運行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發電機未運行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機多少臺？（滿分14分）在平

7、面直角坐標系中，點M到點的距離比它到軸的距離多1，記點M的軌跡為C.求軌跡為C的方程設斜率為k的直線過定點，求直線與軌跡C恰好有一個公共點，兩個公共點，三個公共點時k的相應取值范圍。數學（理）（湖北卷）參考答案選擇題（1）A （2）C （3）C （4）B （5）D （6）C （7）D （8）B （9）A （10）B填空題（11） （12）2 （13）495 （14）；x 或； （15）4 （16）解答題（17）解：（I）因為，又，所以，當時，；當時，；于是在上取得最大值12，取得最小值8.故實驗室這一天最高溫度為，最低溫度為，最大溫差為（II）依題意，當時實驗室需要降溫.由（1）得，所以，即，

8、又，因此，即，故在10時至18時實驗室需要降溫.（18）解：（I）設數列的公差為，依題意，成等比數列，所以，化簡得，解得或，當時，；當時，從而得數列的通項公式為或.（II）當時，顯然，不存在正整數，使得.成立當時，令，即，解得或（舍去）此時存在正整數，使得成立，的最小值為41.綜上所述，當時，不存在滿足題意的；當時，不存在滿足題意的；的最小值為41.（19）解：（I）證明：如圖1，連結，由是正方體，知，當時，是的中點，又是的中點，所以，所以，而平面，且平面，故直線平面.（II）如圖2，連結，因為、分別是、的中點，所以，且，又，所以四邊形是平行四邊形，故，且，從而，且，在和中，因為，于是，所以四

9、邊形是等腰梯形，同理可證四邊形是等腰梯形，分別取、的中點為、，連結、，則，而，故是平面與平面所成的二面角的平面角，若存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角，則，連結、，則由，且，知四邊形是平行四邊形，連結，因為、是、的中點，所以，在中，由得，解得，故存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角.向量法：以為原點，射線分別為軸的正半軸建立如圖3的空間直角坐標系，由已知得，所以，（I）證明：當時，因為，所以，即，而平面，且平面，故直線平面.（II）設平面的一個法向量，由可得，于是取，同理可得平面的一個法向量為，若存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角，則，即，解得，故存在，使平面與平面所成的二面角

10、為直二面角.（20）解：（I）依題意，由二項分布，在未來4年中至多有1年入流量找過120的概率為：.（II）記水電站年總利潤為（單位：萬元） = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 安裝1臺發電機的情形.由于水庫年入流量總大于40，所以一臺發電機運行的概率為1，對應的年利潤，. = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 安裝2臺發電機.當時，一臺發電機運行，此時，因此，當時，兩臺發電機運行，此時，因此.由此得的分布列如下：4200100000.20.8所以. = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 安裝3臺發電機.依題意，當時，一臺發電機運行，此時，因此；當時，兩臺發電機

11、運行，此時，此時，當時，三臺發電機運行，此時，因此，由此得的分布列如下：349200150000.20.80.1所以.綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機2臺.（21）解：（I）設點，依題意，即，整理的，所以點的軌跡的方程為.（II）在點的軌跡中，記，依題意，設直線的方程為，由方程組得 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 當時，此時，把代入軌跡的方程得，所以此時直線與軌跡恰有一個公共點.當時，方程 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 的判別式為 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 設直線與軸的交點為，則由，令，得 = 3 * GB3 * ME

12、RGEFORMAT （ = 1 * roman * MERGEFORMAT i）若，由 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 解得或.即當時，直線與沒有公共點，與有一個公共點，故此時直線與軌跡恰有一個公共點.（ = 2 * roman * MERGEFORMAT ii）若或，由 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 解得或，即當時，直線與有一個共點，與有一個公共點.當時 ，直線與有兩個共點，與沒有公共點.故當時，故此時直線與軌跡恰有兩個公共點.（ = 3 * roman * MERGEFORMAT iii）若，由 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 解得或，即當時，直線與有兩個共點，與有一個公共點.故此時直線與軌跡恰有三個公共點.綜上所述，當時直線與軌跡恰有一個公共點； 當時，故此時直線與軌跡恰有兩個公共點； 當時，故此時直線與軌跡恰有三個公共點.（22）解：（I）函數的定義域為，因為，所以，當，即時，函數單調遞增；當，即時，函數單調遞減；故函數的單調增區間為，單調減區間為.（II）因為，所以，即，于是根據函數、在定義域上單調遞增，所以，故這6個數的最大數在與之中，最小數在與之中，由及（I）的結論