1、機械制圖第五章直線與平面平面與平面的相對位置第1頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四本 章 目 錄5-1 平行問題5-2 相交問題5-3 垂直問題5-4 綜合問題解題示例第2頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四5-1 平行問題一、 直線和平面平行二、 平面和平面平行 本章介紹它們的投影特性和作圖方法。 直線與平面、平面與平面的相對位置可能是平行、相交或垂直。第3頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四一、 直線和平面平行定理 如果平面外的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。QABCD第4頁，共61頁，2022年，5

2、月20日，2點29分，星期四 有關直線與平面平行的作圖問題：作直線已知平面。作平面已知直線。判斷已知直線、平面是否平行。第5頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四22例1 含點I(1,1)作平面與直線AB(ab,ab)平行。1313aab bX 作 法(1) 過點作直線與AB平行(2)含直線作一任意平面。圖 5-1第6頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四例 2 判斷直線AB與是否平行。圖 5-2 ab321ab312x 作 法 (1)在平面任一投影中，作面內直線CFAB的同面投影。(2) 求CF的另一投影，并判斷直線CF是否AB 。dfcfdc第7頁，共6

3、1頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四特殊情況 若直線與某一投影面的垂直面平行，則它們在該投影面上的投影一定平行。X直線投影平面有積聚性的同面投影,它們在空間必互相平行第8頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四特殊情況 若直線與平面同時垂直某一投影面，則它們空間一定平行。X直線與平面對某一投影面同時有積聚性,它們在空間必互相平行。PH第9頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四二、 平面和平面平行定理 如果一個平面內的相交兩直線與另一個平面內的相交兩直線對應平行，那么這兩個平面平行。PQABCDC1D1A1B1第10頁，共61頁，2022年，5月20

4、日，2點29分，星期四 有關兩平面平行的作圖問題：作平面已知平面。判斷兩已知平面是否平行。第11頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四例 含點A1作平面平行定平面 (A2B2A2C2)。c2Xa1a2 b2 b2 a1a2c2b1 b1c1 c1圖 5-3 第12頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四c2Xa2 b2 b2a2c2 b1b1a1c1 a1 c1例 判斷兩平面是否平行。 分析：若兩面相互平行，則它們有一對相互平行的相交直線。第13頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四討論 相互平行的兩投影面垂直面，它們的一對有積聚性的同面投影

5、必平行。xacabcb123123dd圖 5-4 若兩正垂面相互平行，則它們的正面投影相互平行。第14頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四 若兩鉛垂面相互平行，則它們的水平投影相互平行。X第15頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四x123123 分析：若兩面相互平行，則它們的有積聚性的同面投影相互平行。PV例 含點A1作平面平行平面 。aa第16頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四5-2 相交問題一、特殊線、面與一般直線或平面的相交二、一般直線與一般平面的相交三、兩一般位置平面的交線 第17頁，共61頁，2022年，5月20日，2點2

6、9分，星期四 相 交 問 題 直線與平面不平行時即相交，交點是直線與平面的共有點； 兩平面不平行時必相交，其交線是兩平面的共有線。第18頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四一、特殊位置線、面與一般位置直線或平面的相交 交點、交線為線與面、面與面兩者所共有，如果其中有一個處于垂直投影面的特殊位置，則可利用其投影的積聚性直接求出交點或交線的一個投影，另外的投影可根據其在線上（或在面內）特點按投影關系求出。第19頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四 如果平面為投影面平行面或投影面垂直面，則可利用平面投影的積聚性直接定出交點的一個投影。1.特殊位置平面與一般位置

7、直線相交第20頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四例 求直線AB與鉛垂面EFGH的交點K。K 求出交點后，對于直線與平面投影重疊的部分，要判別直線的可見性。第21頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四（1） 求出交點后，對于直線與平面投影重疊的部分，要判別直線的可見性（不重疊的部分都是可見的）。（2）交點是直線可見部分與不可見部分的分界點。（3）判別方法 A.直接觀察; B.利用交叉直線的重影點。 關于直線可見性的判別第22頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四k1(2)xcedabcabed例 求直線AB與鉛垂面CDE的交點K。 分 析

8、 利用鉛垂面水平投影的積聚性求交點圖 5-5 12k第23頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四例 求AB與P平面的交點。 分 析 利用PV的積聚性求交點。kabPHPVabxpx圖 5-6 k第24頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四1xceda（b）cabed例 求正垂線AB與CDE的交點K。 分 析 利用線V面投影的積聚性確定交點的一個投影，根據點在面上求出交點的另一投影。12k2k特殊位置直線與一般位置平面相交第25頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四 兩平面不平行時必相交，其交線是兩平面的共有線，是平面可見部分與不可見部分的分

9、界線。 兩平面的交線是直線。因此，求作兩平面交線的方法是：求出交線上的兩個點，在兩個平面的公共范圍處連出交線。兩平面相交第26頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四2. 特殊位置平面與一般位置平面的交線 當相交兩平面之一為特殊位置平面時，可利用它的投影的積聚性直接求出交線上的兩個點，然后連成交線。第27頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四deaab bXedffcckl例 求DEF(H面)與ABC的交線KL。 分 析 利用dfe的積聚性，求兩平面交線。k1(2)12（1） 求出交線后，對于兩平面同面投影重疊的部分，要判別可見性（不重疊的部分都是可見的）。（

10、2）交線是可見部分與不可見部分的分界線。（3）判別方法 A.直接觀察; B.利用交叉直線的重 影點。圖 5-7 l第28頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四(a) 全交(b) 互交兩平面相交的兩種情況 全交：一個平面全部穿過另一個平面; 互交：兩個平面的邊線互相穿過。第29頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四 分 析 利用水平面efg的積聚性求兩平面交線。ecgf1efg1dbakllabcdkx例 求EFG(H面)與平面ABCD的交線，并判斷可見性。圖 5-8 本題中兩平面圖形只有部分互交。求交時要注意除去交線多余的部分。第30頁，共61頁，2022年

11、，5月20日，2點29分，星期四 當兩平面同時垂直某一投影面時，它們的交線也是此投影面的垂直線。第31頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四xegfefgcbaabc例 求兩面的交線。第32頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四各種位置平面間的交線第33頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四例 3 求矩形平面與兩個共邊三角形平面的交線。 分 析 利用水平面投影的積聚性求兩平面交線。 水平面與兩三角形的交線是水平線，并且與相應的底邊平行。xcs1abcabs12圖 5-10 2第34頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四當直

12、線和平面都處于一般位置時，交點的求法是：含已知直線作輔助平面;求輔助平面與已知平面的交線;交線與已知直線的交點即為所求。為了作圖方便，應選擇特殊位置平面作為輔助平面。二、一般位置直線與一般位置平面的相交Pk第35頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四PV例1 求直線DE與平面ABC的交點。aaggffbbcckXddeek圖 5-12 第36頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四aabbcckXddeek1(2)3(4)4321例1 求直線DE與平面ABC的交點。 利用兩交叉直線的重影點判別直線的可見性。圖 5-12 第37頁，共61頁，2022年，5月20

13、日，2點29分，星期四解法一空間分析： 含點與一直線作平面，求與另一直線的交點。af23g41x2a34k1PVfgkbb例2 含點A作直線AB使與交叉直線、都相交。圖 5-13 ABK第38頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四B解法二空間分析： 含點和兩直線分別作面，求兩面交線與一直線的交點。解法三空間分析： 將一直線變成投影面垂直線，利用積聚性，作直線AB與二交叉直線垂直相交AK例2 含點A作直線AB使與交叉直線、都相交。圖 5-14 第39頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四例 3 求AB與兩三角形的交點。 作 法 作正垂面Q求AB與兩三角形的交點

14、。abf1xa3412f2k2k1e1e2f1f2k1e1k2e2b3124(m) nQVnm圖 5-15 第40頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四三、兩一般位置平面的交線 常用方法：1 線面交點法 2. 輔助平面法第41頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四1. 線面交點法 當相交兩平面都用平面圖形表示，且同面投影有互相重疊的部分時，可用求直線和平面交點的方法找出交線上的兩個點。第42頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四QV例 求ABC和DEF的交線。（求交點）aagffbbcckXddeehghkRVllaaffbbcckXdde

15、ek圖 5-16 第43頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四aaffbbcckXddeekll121(2)3(4)34例 求ABC和DEF的交線。（判別可見性）圖 5-16 fkaafbbccXddeellk第44頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四 若線段的投影與另一平面圖形的投影不重疊，就表明該線段在空間不直接與平面圖形相交（需將平面圖形擴大后才有交點），則不宜選這類直線來求交點。使用線面交點法時注意：第45頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四2. 輔助平面法圖 5-17 作圖原理求P、Q平面的交線時，任作平面S1，使與Q相交得交

16、線L1，與P相交得交線L2；L1、L2的交點I為P、Q、S1三面的共有點，即P、Q交線上的一個點。再作平面S2，又可得到交線上的另一個交點。連接I 即P、Q的交線。第46頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四b例 求ABC和平面(L1 L2)的交線。caxabc112323S1VS2Vl2l1l2l1k1k1圖 5-18 k2k2第47頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四5-3 垂直問題一、 直線和平面垂直二、 兩平面垂直第48頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四一、 直線和平面垂直定理 如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線垂直，那么

17、這條直線垂直于這個平面。 直線L平面P內的兩相交直線AB、CD, 則LP面LBACDP第49頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四直線與平面垂直的投影特性：直線的水平投影平面內的水平線的水平投影，直線的正面投影平面內的正平線的正面投影。cCKAkeMBEFfabcHecbaabffeddkkmmX mk ef, mk ad, MKABC所確定的平面。第50頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四 有關直線與平面垂直的作圖問題：作直線已知平面；作平面已知直線。判斷已知直線、平面是否垂直。第51頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四QH例1 含點

18、E作直線垂直于ABC，并求垂足。aabbcekcke12213443ffX圖 5-21 分 析 先求平面的垂線，然后求垂線與平面的交點。第52頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四(b) 已知例 求C點到直線AB的距離。（分析）aabbccX(a) 分析示意圖PBAKC解題步驟:1.過C點作P面直線AB;2.求AB與P面的交點K;3.求垂線CK的實長。第53頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四PVaabbcdce1122kckk0CK實長 例 求C點到直線AB的距離。（作圖）Xedk解題步驟:1.過C點作P面直線AB;2.求AB與P面的交點K;3.求垂線CK的實長。第54頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四 例2 已知ABBC，求bc。aabbcc11223434XABCP 分 析1.過B點作P面直線AB 則BC一定在P面內；2.在P面內求C點。圖 5-22 第55頁，共61頁，2022年，5月20日，2點29分，星期四二、 兩平面垂直定理 如一直線一平面，則包含這直線的一切平面都該平面。反之，如兩平面互相垂直，則從第一平面內的任意一點向第二平面所作的垂線，必定在第一平面