1、對流擴散方程的離散格式1第1頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三5.1 對流項離散格式的重要性及兩種離散方式一、對流項離散格式的重要性 1、數(shù)值解的準確性（假擴散） 2、數(shù)值解的穩(wěn)定性 3、數(shù)值解的經(jīng)濟性二、構(gòu)造離散格式的兩種方式 1、Taylor展開法 2、控制容積積分法 兩種定義截差階數(shù)一致，但截差首項系數(shù)有所不同。2第2頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三5.2 對流項的中心差分與迎風(fēng)格式一、一維對流-擴散問題模型方程的精確解邊界條件：3第3頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三一、一維對流-擴散問題模型方程的精確解（續(xù)）Pecl

2、et數(shù)：Pe表示對流與擴散作用的相對大小。004第4頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三二、對流項的中心差分對方程 采用控制容積積分法記：F = ru 通過界面的流量。 界面上單位面積擴散阻力的倒數(shù)(擴導(dǎo))。5第5頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三二、對流項的中心差分（續(xù)）在數(shù)值計算過程中，如果連續(xù)性方程始終得到滿足，則： 在求解過程中，始終保持連續(xù)性方程滿足非常重要。常物性條件下均分網(wǎng)格：6第6頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三二、對流項的中心差分（續(xù)）例：在一維模型方程離散求解的均分網(wǎng)格中，已知fW =100， fE =200

3、。試對PD =0，1，2及4四種情況按中心差分格式計算fP之值。負系數(shù)會導(dǎo)致物理上不真實的解。7第7頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三三、對流項的迎風(fēng)格式Taylor展開法控制容積積分法 e界面 w界面8第8頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三三、對流項的迎風(fēng)格式（續(xù)） e界面 w界面9第9頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三三、對流項的迎風(fēng)格式（續(xù)）迎風(fēng)格式離散形式：10第10頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三四、中心差分與一階迎風(fēng)格式的討論1、對流項中心差分在不發(fā)生振蕩的參數(shù)范圍內(nèi)，比一階迎風(fēng)格式的誤差更小

4、。2、一階迎風(fēng)格式離散方程系數(shù)永遠大于零，不會引起解的振蕩，得到物理上看似合理的解。3、一階迎風(fēng)格式截差階數(shù)低，除非采用相當(dāng)密的網(wǎng)格，否則計算結(jié)果的誤差較大。4、一階迎風(fēng)格式的啟示：應(yīng)當(dāng)在迎風(fēng)方向取更多的信息構(gòu)造格式，更好地反映對流過程的物理本質(zhì)。5、在調(diào)試程序或計算的中間過程仍可以采用一階迎風(fēng)格式。11第11頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三5.3 對流-擴散方程的混合格式及乘方格式一、系數(shù)aE與aW 之間的內(nèi)在聯(lián)系 aE(i)與aW (i+1)共享同一個界面。對流項中心差分：對流項一階迎風(fēng)：12第12頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三二、混合格式

5、(Spalding,1971)13第13頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三三、指數(shù)格式利用精確解得到相鄰節(jié)點間符合精確解的關(guān)系式。14第14頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三三、指數(shù)格式（續(xù)）15第15頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三四、乘方格式(Patankar,1979)16第16頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三五、5種3點格式系數(shù)匯總只需給出 定義式格式定 義中心差分迎風(fēng)格式混合格式乘方格式指數(shù)格式17第17頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三5.4 對流-擴散方程5種3點格式

6、系數(shù)特性的分析總通量密度J：單位時間內(nèi)、單位面積上由擴散及對流作用而引起的某一物理量的總轉(zhuǎn)移量。一、通量密度及其離散表達式18第18頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三一、通量密度及其離散表達式（續(xù)）J*的離散表達式： Behind Ahead 界面后的項 界面前的項以坐標軸正方向為依據(jù)的“前”、“后”。19第19頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三二、系數(shù)A、B間的關(guān)系1、和差特性 當(dāng) 時，界面上的擴散通量為零，于是：20第20頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三二、系數(shù)A、B間的關(guān)系（續(xù)）2、對稱特性坐標系I：坐標系II：因為：于

7、是：21第21頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三二、系數(shù)A、B間的關(guān)系（續(xù)）指數(shù)格式系數(shù)A、B間的關(guān)系22第22頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三三、系數(shù)特性的重要推論和差特性：對稱特性：重要推論： 對5種3點格式的任何一種，若在PD0時，A(PD)的計算式為已知，則在 的范圍內(nèi)A(PD)、 B(PD)的計算式均可得出。23第23頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三三、系數(shù)特性的重要推論（續(xù)）證明：24第24頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三四、aE、aW的通用表達式J通量密度守恒方程25第25頁，共59頁，

8、2022年，5月20日，2點10分，星期三四、aE、aW的通用表達式（續(xù)）不同格式的區(qū)別僅在于 的計算式不同。26第26頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三五、5種3點格式的格式中心差分迎風(fēng)格式1混合格式乘方格式指數(shù)格式27第27頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三五、5種3點格式的 （續(xù)）28第28頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三1、從一維到多維的推廣 在每一個坐標方向上都按一維問題處理。2、所得出的系數(shù)表達式便于編制通用性程序，由專用模塊處理 。3、利用aE(i)與aW (i+1)間的關(guān)系，可以節(jié)省計算系數(shù)的工作量。六、關(guān)于格

9、式定義與系數(shù)特性的說明29第29頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三5.5 關(guān)于對流項離散格式假擴散特性的討論一、假擴散的含義本來含義：對流-擴散方程中一階導(dǎo)數(shù)項的離散格式的截斷誤差小于二階而引起較大數(shù)值計算誤差。分析：純對流方程，顯式，F(xiàn)UD30第30頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三一、假擴散的含義（續(xù)）假擴散系數(shù)31第31頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三一、假擴散的含義（續(xù)）拓寬含義：由以下三種原因引起的數(shù)值計算誤差。 1、非穩(wěn)態(tài)項或?qū)α黜棽捎靡浑A截差的格式 2、流動方向與網(wǎng)格線呈傾斜交叉（多維問題）。 3、建立差分格式時

10、沒有考慮到非常數(shù)源項的影響。32第32頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三二、由于一階導(dǎo)數(shù)截差階數(shù)低而引起的假擴散一維無源項穩(wěn)態(tài)模型方程33第33頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三二、由于一階導(dǎo)數(shù)截差階數(shù)低而引起的假擴散（續(xù)）一維非穩(wěn)態(tài)對流問題流向擴散34第34頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三三、流速與網(wǎng)格線傾斜交叉引起的假擴散物理問題不考慮擴散作用的結(jié)果交叉擴散35第35頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三四、由非常數(shù)源項引起的假擴散帶源項的模型方程兩點邊值問題36第36頁，共59頁，2022年，5月20日

11、，2點10分，星期三五、低階格式引起顯著數(shù)值計算誤差的例子Smith-Hutton問題出口截面結(jié)果乘方格式 QUICK格式37第37頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三五、低階格式引起顯著數(shù)值計算誤差的例子(續(xù))FUD HD PLD QUICK方腔自然對流寬高比：33Grashof數(shù)：950038第38頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三5.6 可以克服或減輕假擴散的格式或方法一、采用高階格式以有效地克服流向擴散 1、二階迎風(fēng)格式（SUD） 2、三階迎風(fēng)格式（TUD） 3、QUICK格式 4、SGSD格式二、減輕或克服交叉擴散的方法 1、對一階迎風(fēng)格式采

12、用有效擴散系數(shù) 2、采用自適應(yīng)網(wǎng)格技術(shù) 3、采用斜中心差分39第39頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三1、二階迎風(fēng)格式（SUD）二階精度，絕對穩(wěn)定40第40頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三2、三階迎風(fēng)格式（TUD）三階精度，條件穩(wěn)定41第41頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三3、QUICK格式三階精度，條件穩(wěn)定三階迎風(fēng)格式修正系數(shù)為1/642第42頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三4、SGSD格式 Stability-Guaranteed Second-order Difference scheme至少二

13、階精度，絕對穩(wěn)定=0，二階迎風(fēng)=1，中心差分=3/4，QUICK對一維模型方程，當(dāng)=2/3時，離散方程本身具有三階截差。 43第43頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三5、采用高階格式時近邊界點的處理(1)在邊界上采用二次插值，設(shè)虛擬節(jié)點0，滿足：(2)采用一階迎風(fēng)或混合格式處理。44第44頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三6、高階格式所形成的離散方程的求解方法(1)交替方向五對角陣算法(PDMA)。(2)延遲修正方法。45第45頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三5.7 對流-擴散方程離散形式的穩(wěn)定性分析一、數(shù)值計算常見的不穩(wěn)定性

14、問題 1、代數(shù)方程迭代求解過程的不穩(wěn)定性 2、初值問題顯式格式的不穩(wěn)定性 3、對流項離散格式的不穩(wěn)定性二、分析對流項離散格式不穩(wěn)定性的方法 1、正型系數(shù)法 2、離散方程精確解分析法 3、反饋靈敏度分析法 4、“符號不變”原則46第46頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三三、“符號不變”原則的基本思想1、穩(wěn)態(tài)非線性問題迭代一個層次相當(dāng)于線性非穩(wěn)態(tài)問題前進一個時層。2、穩(wěn)定性是格式的固有屬性。3、用所研究的格式離散對流項，擴散項采用中心差分，時間坐標采用顯式格式。4、采用離散擾動分析法。47第47頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三四、“符號不變”原則的實施

15、對流項取三階迎風(fēng)（設(shè)u 0）對節(jié)點i+1，不計擴散項計入擴散項 滿足：48第48頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三四、“符號不變”原則的實施（續(xù)）對節(jié)點i-1，不計擴散項計入擴散項要求：49第49頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三五、穩(wěn)定性分析結(jié)果的討論1、如果對流項離散格式具有遷移特性，則該格式絕對穩(wěn)定。2、如果離散格式的表達式含有下游節(jié)點的值，則該格式不具有遷移特性，且是條件穩(wěn)定的。3、下游節(jié)點的系數(shù)越小，則其臨界Peclet數(shù)越大。一般是系數(shù)的倒數(shù)。 臨界Peclet數(shù)一階迎風(fēng) 絕對穩(wěn)定中心差分 2二階迎風(fēng) 絕對穩(wěn)定三階迎風(fēng) 3QUICK 8/

16、3SGSD 絕對穩(wěn)定一維，線性，無源項，兩點邊值問題，均勻網(wǎng)格50第50頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三六、對流項離散格式性能小結(jié)1、截差越高的格式解的精度越高。2、準確的格式往往條件穩(wěn)定。3、基于5個假設(shè)得到的穩(wěn)定性條件較苛刻。4、選用格式的建議： (1)調(diào)試程序可以用FUD、PLD（乘方格式） (2)不太復(fù)雜的問題用QUICK、SGSD (3)復(fù)雜問題用高階組合（高分辨率）格式（MUSCL、SMART、SECBC、STOIC等）51第51頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三5.8 多維對流-擴散方程的離散及邊界條件的處理一、二維對流-擴散方程的離

17、散質(zhì)量守恒方程 1 0 0動量守恒 u方程 v方程 w方程能量守恒方程52第52頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三一、二維對流-擴散方程的離散（續(xù)）53第53頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三3種二維坐標系中界面流量、擴導(dǎo)的計算式54第54頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三納入高階格式的方法55第55頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三二、三維對流-擴散方程的離散56第56頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三三維直角坐標系中界面流量、擴導(dǎo)的計算式57第57頁，共59頁，2022年，5月20日，2點10分，星期三三、邊界條件的處理進口邊界：給定u,