1、恒定電流場第1頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三那么，單位體積中的功率損失為當(dāng) J 和 E 的方向不同時，上式可以表示為下面一般形式 此式稱為焦耳定律的微分形式，它表示某點的功率損耗等于該點的電場強(qiáng)度與電流密度的標(biāo)積。 設(shè)圓柱體兩端的電位差為U，則 ，又知 ，那么單位體積中的功率損失可表示為可見，圓柱體中的總功率損失為這就是電路中的焦耳定律。第2頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三恒定電流場的基本方程 電位方程載流導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電場的基本方程（不包括電源） 積分形式 微分形式 本構(gòu)關(guān)系電位及電位方程 對于均勻的導(dǎo)電媒質(zhì)恒定電場的電位滿足拉普拉斯方程

2、 第3頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三 例4.1一個有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為1、1和2、2，外加電壓U。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。 解：極板是理想導(dǎo)體，為等位面，電流沿z方向。由由第4頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三例4.2 已知一平板電容器由兩層非理想介質(zhì)串聯(lián)構(gòu)成，如圖示。其介電常數(shù)分別為 1 和 2 ，電導(dǎo)率分別為 1 和 2 ，厚度分別為 d1 和 d2 。當(dāng)外加恒定電壓為 U 時，試求兩層介質(zhì)中的電場強(qiáng)度，單位體積中的電場儲能及功率損耗。 1 1 2 2d1d2U解 由于電容器外不存在電流，可以認(rèn)為電容器中的電流線與邊界

3、垂直，求得 又由此求出兩種介質(zhì)中的電場強(qiáng)度分別為 第5頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三兩種介質(zhì)中電場儲能密度分別為 兩種介質(zhì)中單位體積的功率損耗分別為 兩種特殊情況值得注意：當(dāng) 時， ， ， ， 。當(dāng) 時， ， ， ， 。d1d2 1= 0E 2= 0UE 1= 0 2= 0U第6頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三例4.3 設(shè)一段環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)，其形狀及尺寸如圖示。計算兩個端面之間的電阻。 Uyxtabr0(r,)0解 顯然，必須選用圓柱坐標(biāo)系。設(shè)兩個端面之間的電位差為U，且令 當(dāng)角度 時，電位 。當(dāng)角度 時，電位 。那么，由于導(dǎo)電媒質(zhì)中的電位

4、僅與角度 有關(guān)，因此電位滿足的方程式為此式的通解為 第7頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三 利用給定的邊界條件，求得 導(dǎo)電媒質(zhì)中的電流密度 J 為 那么由 的端面流進(jìn)該導(dǎo)電媒質(zhì)的電流 I 為 因此該導(dǎo)電塊的兩個端面之間的電阻 R 為 第8頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三 例4.4 填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為c，介質(zhì)的分界面半徑為b。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為1和2 、電導(dǎo)率為 1和2 。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電壓為U0 ，外導(dǎo)體接地。求：（1）兩導(dǎo)體之間的電流密度和電場強(qiáng)度分布；（2）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度。外導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體介質(zhì)2介

5、質(zhì)1第9頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三介質(zhì)中的電場： 解 電流由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，在分界面上只有法向分量，所以電流密度成軸對稱分布。可先假設(shè)電流為I，由求出電流密度 的表達(dá)式，然后求出 和 ，再由 確定出電流 I。（1）設(shè)同軸電纜中單位長度的徑向電流為I，則由 ， 可得電流密度第10頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三故兩種介質(zhì)中的電流密度和電場強(qiáng)度分別為于是得到由于第11頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三介質(zhì)2外表面的電荷面密度為兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為（2）由 可得，介質(zhì)1內(nèi)表面的電荷面密度為第12頁，共28頁

6、，2022年，5月20日，11點29分，星期三第13頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三4-6 恒定電流場與靜電場的比擬 已知無外源區(qū)中均勻?qū)щ娒劫|(zhì)內(nèi)的恒定電流場方程和無源區(qū)中均勻介質(zhì)內(nèi)的靜電場方程如下： 恒定電流場靜電場可見，兩者非常相似，恒定電流場的電流密度 J 相當(dāng)于靜電場的電場強(qiáng)度 E，電流線相當(dāng)于電場線。 第14頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三恒定電流場與靜電場的比擬 對應(yīng)物理量靜電場恒定電場第15頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三 因此，當(dāng)恒定電流場與靜電場的邊界條件相同時，電流密度的分布與電場強(qiáng)度的分布特性完

7、全相同。根據(jù)這種類似性，可以利用已經(jīng)獲得的靜電場的結(jié)果直接求解恒定電流場。或者由于在某些情況下，恒定電流場容易實現(xiàn)且便于測量時，可用邊界條件與靜電場相同的電流場來研究靜電場的特性，這種方法稱為靜電比擬。 例如，兩電極間的電流場與靜電場對應(yīng)分布如下圖示： PN電流場PN靜電場那么，利用已經(jīng)獲得的靜電場結(jié)果可以求解恒定電流場。 第16頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三 利用兩種場方程，可以求出兩個電極之間的電阻及電導(dǎo)與電容的關(guān)系為若已知兩電極之間的電容，根據(jù)上述兩式，即可求得兩電極間的電阻及電導(dǎo)。 例如，已知面積為 S ，間距為 d 的平板電容器的電容 ，若填充的非理想介質(zhì)

8、的電導(dǎo)率為 ，則平板電容器極板間的漏電導(dǎo)為 又知單位長度內(nèi)同軸線的電容 。那么，若同軸線的填充介質(zhì)具有的電導(dǎo)率為 ，則單位長度內(nèi)同軸線的漏電導(dǎo)第17頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三1. 直接用電流場計算當(dāng)恒定電場與靜電場邊界條件相同時，用靜電比擬法，由電容計算電導(dǎo)。電導(dǎo)與接地電阻的計算 2. 靜電比擬法設(shè)設(shè)即第18頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三 例1 求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為R1、R2，長度為 ,中間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為 ，介電常數(shù)為 。解法一 直接用電流場的計算方法設(shè)電導(dǎo)絕緣電阻解法二 靜電比擬法由靜電場解得則根據(jù)關(guān)系式得同軸電

9、纜電導(dǎo)絕緣電阻圖 同軸電纜橫截面第19頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三例2 求圖示電導(dǎo)片的電導(dǎo)，已知給定 。方程通解為 ，代入邊界條件，可得電流密度電流電導(dǎo)電位函數(shù)解：取圓柱坐標(biāo)系， ，邊值問題：圖 弧形導(dǎo)電片圓弧片厚度為h.第20頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三1. 深埋球形接地器 解：深埋接地器可不考慮地面影響,其電流場可與無限大區(qū)域 的孤立圓球的電流場相似。2 接地電阻圖 深埋球形接地器 接地電阻 安全接地與工作接地的概念接地器電阻接地器與土壤之間的接觸電阻土壤電阻（接地電阻以此電阻為主）解法一 直接用電流場的計算方法解法二 靜電比擬法

10、第21頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三2. 直立管形接地器解： 考慮地面的影響，可用鏡像法。實際電導(dǎo)即 由靜電比擬法 圖 直立管形接地器 則3. 非深埋的球形接地器解：考慮地面的影響，可用鏡像法處理。圖 非深埋的球形接地器第22頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三為保護(hù)人畜安全起見（危險電壓取40V)在電力系統(tǒng)的接地體附近，要注意危險區(qū)。相應(yīng)為危險區(qū)半徑跨步電壓圖 半球形接地器的危險區(qū)以淺埋半球接地器為例實際電導(dǎo) 接地器接地電阻 4. 淺埋半球形接地器解：考慮地面的影響用鏡像法處理。此時由靜電比擬圖 淺埋半球形接地器第23頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三第24頁，共28頁，2022年，5月20日，11點29分，星期三同軸