1、2 數學歸納法與數列的極限一、基礎學問點1. 推理與證明推理方法有：合情推理與演繹推理 . 合情推理有：類比,不完全歸納,猜想等 . 演繹推理：嚴格的規律證明 . 2. 數學歸納法：是證明有關自然數的命題的一種方法,屬于完全歸納法,其證明步驟如下：第一步：驗證當n 取第一個答應值n 時命題成立；nk1 時命題也成立 . 其次步：假設當nk kn 0時命題成立（歸納假設）,證明當完成以上兩步,就能斷言：對一切nN*,nn ,命題都成立 . 3. 歸納猜想問題指的是給出一組具有某種特定關系的數、式、圖形,或是給出與圖形有關的操作、變化過程,要求通過觀看、分析、推理,探求其中所蘊涵的規律,進而歸納或

2、猜想出一般性的結論,在解答過程中需要經受觀看、歸納、猜想、試驗、證明等數學活動,以加深同學對相關數學學問的懂得（1）學會探究與發覺的規律方法：演繹 從一般到一般（結論肯定正確）；類比 從特殊到特殊（結論不肯定正確）歸納 從特殊到一般（結論不肯定正確）. （2）歸納猜想得到的結論不肯定正確,必需經過嚴格的規律證明,而與自然數有關的結論的證明,常用數學歸納法 . 4. 數學歸納法證明過程中的兩個步驟缺一不行 步是證明的關鍵,在歸納假設的前提下完成證明納法證明 . 多米諾骨牌 . 5. 數學歸納法的原理：（1）1234；（2）1357；3（3）124326. 歸納猜想證明的一般步驟：運算命題取特殊值

3、時的結論；. 第一步是歸納的基礎,這是一個成立的實事；其次 . 假如不用歸納假設而完成了證明過程,那不叫數學歸對這些結果進行分析,探究數據的變化規律,并猜想命題的一般結論；證明所猜想的結論 . 7. 數列極限（1）定義：一般地,在n 無限增大的變化過程中,假如無窮數列a n中的項a 無限趨近于一個常數 A,那么 A 叫做數列a n的極限,或稱作數列a n收斂于 A,記作 lim na nA. 數列極限存在的條件：無限數列；當n 趨向于無窮時,a 無限趨近于某一常數. （ 2）數列極限的運算法就：如 lim nanA , limnb nB ,就a nb nAB ； lim na nb nAB ；

4、 lim n lim na nb nA B ； lim na nb nA B B0. 特殊,如 C 為常數,就 lim nC a nC A . （3）三個常用的極限： lim nCC （C 為常數）；lim n10；nlim nqn0,|q| 1 時1.1,q1 時不存在,|q| 1 或q（4） 無窮等比數列各項的和：如無窮等比數列a n的公比|q| 1,就其各項的和為Slim nS n1a 1. q8. 關于數列極限概念的懂得：極限是一種變化趨勢,并不肯定有 a =A；“ 無窮大” 的意思是要有多大就有多大；如 lim a n A,就 lim a n 1 lim a n A . n n n9

5、. 常見數列極限類型：、0型：極限不存在；mk, 0 0、 00 、0 型：極限均為0；、0 0、 0型：極限不確定,有的存在,有的不存在. 0,有理分式型：lim naknka k1nk1a 1na 0a m,mk,b mnmb m1nm1b nb 0b m不存在,mk.二、基礎自測1. 一個關于自然數n 的命題,假如驗證當n1 時命題成立,并在假設當 nkk1且 kN*時命題成立的基礎上,證明白當nk2 時命題成立,那么綜合上述,對于BA 一切正整數命題成立B一切正奇數命題成立C一切正偶數命題成立 D以上都不對2. 設平面內有 k 條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不共點,設 k 條直線

6、的交點個數為 fk,就 f k 1與 fk的關系是 C A fk1fkk1 Bfk 1 fkk1 Cfk1fk k Dfk 1fk k2 解析：當 n k1 時,任取其中 1 條直線,記為 l,就除 l 外的其他 k 條直線的交點的個數為 fk,由于已 知任何兩條直線不平行,所以直線 l 必與平面內其他 k 條直線都相交 有 k 個交點 ；又由于已知任何三條直線不過同一點,所以上面的 k 個交點兩兩不相同,且與平面內其他的 fk個交點也兩兩不相同,從而平面內交點的個數是 fkkfk1*3. 已知某個關于自然數 n 的命題 P n ,假如當 n k k N 時該命題成立, 那么可得當 n k 1

7、時命題也成立 . 寫出當 n=4 時命題成立的全部充分條件：；：寫出當 n=4 時命題成立的一個必要條件：；現在已知當n=4 時,該命題不成立,就以下說法正確選項A 當 n=3 時該命題不成立；B當 n=5 時該命題不成立；C當 n=1 時該命題可能成立；D當 n=5 時,該命題可能成立,假如 n=5 時命題成立, 那么對于任意自然數n5,該命題都成立 . 解：是找到推出 “n=4” 成立的條件； 是找到由 “ n=4”能推出什么； 可用等價于逆否命題來判定：“n3 成立n4成立 ”“n4 不成立n3 不成立 ”. n=1 成立、 n=2 成立、 n=3 成立；n=5 或 n=6 或 n=7A

8、、D 均正確4. 已知數列 an滿意： a11 3,且對任意正整數Sn,就limn S n m、n,都有 amnaman,如數列 an 的前 n 項和為A.1B.2C.3D2 D4 232【解析】a11 3, a21 3119,a31 31127,a41 81 an是首項為1 3公比為 1 3的等比數列1li m nSn311 2. 【答案】A 135. 如 lim na2bn22n11 2,就實數 ab 為bn 3A 2B2 C 4 【解析】極限值為1 2,分母是 n 的一次式,分子是n 的二次式,a 2b0,lim nb 1 2.得 b4, a 8,ab 4. 【答案】C a3 5 , 就

9、6. 已 知 數 列 log 2an 1 nN*為 等 差數 列 , 且a1 3 ,a21a 1a 31a 2a n1a n等于 1A 2 B. 3 2C1 D. 1 2【解析】令 bnlog 2an 1,就 bn 成等差數列, b1log221,b2log 242,可知數列 bnlog2an11n1 1 n, an 2 n1. 就 an1an 2n112n12n. 1即求 li m n2 1 2 1 2 n 21. 【答案】C 11 27. lim n13532n1= 2 . 12n8. lim nn1nn = 1. 2三、典例解析【例 1】用數學歸納法證明：1n212 1 3 1 n12n

10、 nN *證明：（ 1）當 n1 時,左邊 11 2,右邊 1 2 1, 3 211 23 2,即命題成立（2）假設當 nk kN *時命題成立,即 1211 21 3 1 k12k,就當 nk1 時,121 3 1 k2 k112 k2 12 k2 1k1k22 k2 k2 1 k1k1 2 . 又 11 21 3 1 k2 k112 k2 12 k2 1 k0, a1 1,由 S2 a1 a21 2 a2 1 a2,得 a2 22a210,a221. 又由 S3a1a2a31 2 a3 1 a3得 a 2 32 2a31 0, a33（2）猜想 annn1 nN* 證明： 當 n1 時,

11、a1110,猜想成立假設當 n k kN* 時猜想成立,即akkk1,就當 nk1 時, ak1Sk1Sk1 2 ak1 1 ak11 2 ak 1 ak,即 ak11 2 ak 1 1 ak11kk1k1k11 2 ak1 1 ak1k,a2 k12kak110, ak1k1k. 即 nk1 時猜想成立由 知, annn1 nN *【例 5】已知數列 an 中, a1 2 3,其前 n 項和 Sn 滿意 anSn 1 Sn2n2,運算 S1,S2,S3,S4,猜想 Sn 的表達式,并用數學歸納法加以證明解析： 當 n2 時, anSnSn1Sn1 Sn2. SnSn12n21就有 S1a12

12、3, S2S12 3,S3S22 4, S4S32 5 6. 由此猜想： Snn 1 n 2nN *用數學歸納法證明：當 n1 時, S12 3a1,猜想成立k11 k12. 假設 nkkN*猜想成立,即Sk k 1 k 2成立,那么 nk1 時, Sk11 Sk21k22 k3k1 k2即 nk1 時猜想成立由 可知,對任意自然數n,猜想結論均成立,就lim nan等于（C ）【例 6】（1）lim1 n1111111. 222 342n2解：lim1 n1111111222 342n2lim1 n1111111 31111223nnlim n3 4nn1 1 2nn1）= lim nn11

13、.2 32 32n2（2）等差數列 an、b n的前n項和分別為 S n和T n,如S nT n2n13 nb nA 1 B6C2 3D4 9S n成等差數列 . 3【例 7】設數列an中, a11 ,它的前 n 項和為 Sn,且 2a 1,S n1,（1）求 S 1,S 2,S 3,并猜想 Sn 的表達式,用數學歸納法證明；（2）求 lim nSn；解：（1） S 11,S 23,S 37,猜想Sn21n1,證明略；242n2,nN（2） lim nS n2【例 8】設 f x3x22,如數列an中, a 12 且anf an1（1）寫出an的前四項,并猜想a n 的表達式,用數學歸納法證明

14、；（2）求 lim na2 n1；2nn 31,用數學歸納法證明略；（3） b na nn 3n1nN,求 bn的前 n 項之和 Sn ；a解：（1） a12 , a 210,a328,a 482,猜想ann 3（2） lim nn 3n1n1lim n2111；123n3（3） bn3 n1n 33 n113 n3 n113 n3n1113n1n 33 n112Sn1321313313213n113n11p3, ,213n1122【例 9】已知數列an：a 01 ,anp|an1|1 nN* ,0p1 ,（）歸納出an的公式,并證明你的結論；（）求證：1an0 .p解：（）a 01a21p1

15、1p2,a 3p1p21p1p1p推測an11pn,數學歸納法證明（略）. p（）0|p n|,1an;0而an11ppn10 ,p1pn , a n 與 2 的等差an1,得1an0.pp【例 10】設 an是正數組成的數列,其前n 項和為 Sn ,并且對于全部的自然數中項等于 Sn 與 2 的等比中項；（1）寫出數列的前3 項；b 2 b nn（2）求數列an的通項公式（寫出推證過程）；（3）令 b n1a nn1a n1nN,求lim nb 12aan解：（1）當 n1 時,有a 1222S 1,S 1a1,a1222a1,解得a12,a 2 2當 n 2 時,有 2 S 2,S 2 a

16、 1 a 2,2將 a 1 2 代入,整理得 a 2 2 216 .由 a 2 0,解得 a 2 6當 n 3 時,有 a 3 22 S 3,S 3 a 1 a 2 a 3,2將 a 1 2,a 2 6 代入,整理得 a 3 2 264,由 a 3 0,解得 a 3 10故該數列的前 3 項為 2,6,10；（2）由（ 1）猜想數列 a n 的通項公式 a n 4 n 2 ；下面用數學歸納法證明數列 an 的通項公式是 a n 4 n 2 n N ；當 n 1 時,由于 4 1 2 2,又在（ 1）中已求出 a1 2 ,所以上述結論成立；假設 n k 時結論成立,即有 a k 4 k 2 ,由

17、題意有 a k 22 S k22將 a k 4 k 2 代入上式,得 2 k 2 S k,解得 S k 2 k；由題意有,a k 1 2 2 S k 1,S k 1 S k a k 1,將 S k 2 k 2代入,得22a k 1 22 a k 1 2 k 2 整理得 a k 21 4 a k 1 4 16 k 202由 a k 1 0 ,解得 a k 1 2 4 k,所以 a k 1 2 4 k 4 k 1 2這就是說,當 n k 1時,上述結論成立；依據、上述結論對任意 n N 成立；（3）令 c n b n 1 ,就1 a n 1 a nc n 22 a n a n 11 2 n 1 2

18、 n 11 12 2 n 1 2 n 11 12 n 1 2 n 1四、鞏固練習（一）基礎練習1. 已知整數對的序列如下：1,1,1,2,2,1,1,3,2,2,3,1,1,4,2,3,3,2,4,1,1,5,2,4, ,就第 60 個數對是 _解析 此題規律： 21 1；31221；4132231；514233241； ；一個整數 n 所擁有數對為 n1對設 123 n160,n1n 260,n11 時仍多 5 對數,且這 5 對數和都為 12,12111210394857,第 60 個數對為 5,72. 已知數列an的前 n 項和S nn2ann2,而1a1,通過運算a2,a3,a4,猜想

19、an（ A ）A n2Bn 21 C2n21D2211 2A ）nn3. 等比數列an的首項 a11,前n項和S n,如S 1031,就 lim nS n等于（S 532A 2B2 3C 2 D2 ）34. 已知數列an滿意 S n1a n1,就lim na1a3a5a2n1的值是（4A 3 2B3C2 3D1 2解：由已知S n1an1先確定a n, 4由 S n1an1,得S n11an1144 S n1S n1an1an,即an11an1an44得 an11an,故a是公比為1的等比數列33由 S 11a11,即a 11a 11 得a 14443故數列 a1, a3, a5, , a n

20、1是首項為4, 公比為121的等比數列；3394 lim na1a3a5a2n11313, 選 A 295. 在數列 an 中, a11 3且 Snn2n 1an,通過運算解析 當 n 2 時, a1a26a2,即 a21 5a1 1 15；當 n3 時, a1a2 a3 15a3,即 a31 14a1a235；1a2,a3,a4,猜想 an 的表達式是 _當 n4 時, a1a2 a3 a428a4,5an即 a41 27a1a2a31 63. a11 3 1 13,a2 1 15 1 35,a3 1 35 1 57, a4 1 79,故猜想 an1 2n12n1. 6. 設數列an的前 n 項和為 Sn,已知 Sn=2nan（nN+）,通過運算數列的前四項,猜想7. 如 lim nn xn3n1n 31,就實數 x 的取值范疇是；2