1、 8/82021年全國高考數學理科卷及解析 絕密啟用前 2018年普通高等學校招生全國統一考試 理科數學 本試卷共23題，共150分，共4頁。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。 注意事項：1答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在 條形碼區域內。 2選擇題必須使用2B 鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。 3請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。 4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。 5保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正

2、帶、刮紙刀。 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一 項是符合題目要求的。 112i 12i +=- A 43i 55- B 43i 55-+ C 34i 55- D 34i 55 -+ 2已知集合22(,)|3,A x y x y x y =+Z Z，則A 中元素的個數為 A 9 B 8 C 5 D 4 3函數2 e e ()x x f x x -=的圖象大致為 4已知向量a ，b 滿足|1=a ，1?=-a b ，則(2)?-=a a b A 4 B 3 C 2 D 0 5雙曲線 2 2 22 1(0,0)x y a b a b -= A y =

3、 B y = C y = D y = 6在ABC 中，cos 2C 1BC =，5AC =，則AB = A B C D 7為計算111 11 123499100 S =-+-+ +- ，設計了右側的程序框圖，則在空白框中應填入 A 1i i =+ B 2i i =+ C 3i i =+ D 4i i =+ 8我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”，如30723=+在不超過30的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于30的概率是 A 112 B 114 C 115 D 118 9在長方體1111 ABCD A B C D

4、 -中，1AB BC =，1AA =1AD 與1 DB 所成角 的余弦值為 A 1 5 B C D 10若()cos sin f x x x =-在,a a -是減函數，則a 的最大值是 A 4 B 2 C 34 D 11已知()f x 是定義域為(,)-+的奇函數，滿足(1)(1)f x f x -=+若(1)2f =， 則(1)(2)(3)(50)f f f f += A 50- B 0 C 2 D 50 12已知1F ，2F 是橢圓22 221(0)x y C a b a b += ：的左，右焦點，A 是C 的左頂點，點P 在 過A 12PF F 為等腰三角形，12120F F P =?

5、，則C 的離心率為 A 23 B 12 C 13 D 14 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13曲線2ln(1)y x =+在點(0,0)處的切線方程為_ 14若,x y 滿足約束條件250,230,50,x y x y x +-? -+?-? 則z x y =+的最大值為_ 15已知sin cos 1+=，cos sin 0+=，則sin()+=_ 16已知圓錐的頂點為S ，母線SA ，SB 所成角的余弦值為 7 8 ，SA 與圓錐底面所成角為45， 若SAB 的面積為_ 三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題， 每個試題考生都必

6、須作答。第22、23為選考題。考生根據要求作答。 （一）必考題：共60分。 17（12分） 記n S 為等差數列n a 的前n 項和，已知17a =-，315S =- （1）求n a 的通項公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值 18（12分） 下圖是某地區2000年至2016年環境基礎設施投資額y （單位：億元）的折線圖 為了預測該地區2018年的環境基礎設施投資額，建立了y 與時間變量t 的兩個線性回歸模型根據2000年至2016年的數據（時間變量t 的值依次為1,2, ,17）建立模型： ?30.413.5y t =-+；根據2010年至2016年的數據（時間變量t 的值依次為1

7、,2,7）建立模 型：?9917.5y t =+ （1）分別利用這兩個模型，求該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值； （2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由 19（12分） 設拋物線24C y x =：的焦點為F ，過F 且斜率為(0)k k 的直線l 與C 交于A ，B 兩點，|8AB = （1）求l 的方程； （2）求過點A ，B 且與C 的準線相切的圓的方程 20（12分） 如圖，在三棱錐P ABC - 中，AB BC = 4PA PB PC AC =，O 為AC 的中點 （1）證明：PO 平面ABC ； （2）若點M 在棱BC 上，且二面角M PA C -為30?

8、，求PC 與平面PAM 所成角的正弦值 21（12分） 已知函數2 ()e x f x ax =- （1）若1a =，證明：當0 x 時，()1f x ； （2）若()f x 在(0,)+只有一個零點，求a （二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第 一題計分。 22選修44：坐標系與參數方程（10分） 在直角坐標系xOy 中，曲線C 的參數方程為2cos , 4sin ,x y =?=?（為參數），直線l 的參數方 程為1cos , 2sin ,x t y t =+?=+? （t 為參數） （1）求C 和l 的直角坐標方程； （2）若曲線C 截直線l

9、 所得線段的中點坐標為(1,2)，求l 的斜率 23選修45：不等式選講（10分） 設函數()5|2|f x x a x =-+- （1）當1a =時，求不等式()0f x 的解集； （2）若()1f x ，求a 的取值范圍 絕密啟用前 2018年普通高等學校招生全國統一考試 理科數學試題參考答案 一、選擇題 1D 2A 3B 4B 5A 6A 7B 8C 9C 10A 11C 12D 二、填空題 132y x = 149 1512 - 16 三、解答題 17解： （1）設n a 的公差為d ，由題意得13315a d +=- 由17a =-得d =2 所以n a 的通項公式為29n a n

10、=- （2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=- 所以當n =4時，n S 取得最小值，最小值為?16 18解： （1）利用模型，該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值為 ?30.413.519226.1y =-+?=(億元) 利用模型，該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值為 ?9917.59256.5y =+?=(億元) （2）利用模型得到的預測值更可靠 理由如下： （）從折線圖可以看出，2000年至2016年的數據對應的點沒有隨機散布在直線30.413.5y t =-+上下 這說明利用2000年至2016年的數據建立的線性模型不能很好地描述環境基礎設施投資額

11、的變化趨勢2010年相對2009年的環境基礎設施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數據對應的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環境基 礎設施投資額的變化規律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數據建立的線性模型 ?9917.5y t =+可以較好地描述2010年以后的環境基礎設施投資額的變化趨勢，因此利用模型得到的預測值更可靠 （）從計算結果看，相對于2016年的環境基礎設施投資額220億元，由模型得到的預測值2261億元的增幅明顯偏低，而利用模型得到的預測值的增幅比較合理說明利用模型得到的預測值更可靠 以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分

12、19解： （1）由題意得(1,0)F ，l 的方程為(1)(0)y k x k =- 設1221(,),(,)A y x y x B ， 由2(1),4y k x y x =-?=?得2222(24)0k x k x k -+= 2 16160k ?=+，故1222 24 k x k x += 所以122244 |(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+= 由題設知22 44 8k k +=，解得1k =-（舍去），1k = 因此l 的方程為1y x =- （2）由（1）得AB 的中點坐標為(3,2)，所以AB 的垂直平分線方程為2(3)y x -=-，即5y x =-+ 設所

13、求圓的圓心坐標為00(,)x y ，則 00220005, (1)(1)16.2 y x y x x =-+?-+= +?解得003,2x y =?=?或0011,6.x y =?=-? 因此所求圓的方程為2 2 (3)(2)16x y -+-=或2 2 (11)(6)144x y -+= 20解： （1）因為4AP CP AC =，O 為AC 的中點，所以OP AC ，且OP = 連結OB 因為AB BC AC =，所以ABC 為等腰直角三角形， 且OB AC ，1 22 OB AC = = 由222OP OB PB +=知PO OB 由,OP OB OP AC 知PO 平面ABC （2）如

14、圖，以O 為坐標原點，OB uu u r 的方向為x 軸正方向，建立空間直角坐標系O xyz - 由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),O B A C P AP -=u u u r 取平面PAC 的法向量(2,0,0)OB =u u u r 設(,2,0)(02)M a a a -，()h x 沒有零點； （ii ）當0a 時，()(2)e x hx ax x -=- 當(0,2)x 時，()0hx 所以()h x 在(0,2)單調遞減，在(2,)+單調遞增 故24(2)1e a h =- 是()h x 在0,)+的最小值 若(2)0h ，即2 e 4a ，由

15、于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一個零點， 由（1）知，當0 x 時，2e x x ，所以 3334224 1616161 (4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a =-=-=- 故()h x 在(2,4)a 有一個零點，因此()h x 在(0,)+有兩個零點 綜上，()f x 在(0,)+只有一個零點時，2 e 4 a = 22解： （1）曲線C 的直角坐標方程為22 1416 x y += 當cos 0時，l 的直角坐標方程為tan 2tan y x =?+-， 當cos 0=時，l 的直角坐標方程為1x = （2）將l 的參數方程代入C 的直角

16、坐標方程，整理得關于t 的方程 22(13cos )4(2cos sin )80t t +-= 因為曲線C 截直線l 所得線段的中點(1,2)在C 內，所以有兩個解，設為1t ，2t ，則 120t t += 又由得1224(2cos sin ) 13cos t t +=- +，故2cos sin 0+=，于是直線l 的斜率 tan 2k =- 23解： （1）當1a =時，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +-? =-? 可得()0f x 的解集為|23x x - （2）()1f x 等價于|2|4x a x +- 而|2|2|x a x a +-+，且當2x

17、=時等號成立故()1f x 等價于|2|4a + 由|2|4a +可得6a -或2a ，所以a 的取值范圍是(,62,)-+ 21（12分） 已知函數2()e x f x ax =- （1）若1a =，證明：當0 x 時，()1f x ； （2）若()f x 在(0,)+只有一個零點，求a 解： （1）()e 2x f x x =-，()e 2x f x =- 當ln 2x 時，()0f x ，所以()f x 在(,ln 2)-單調遞減，在(ln 2,)+單調遞增，故()(ln 2)22ln 20f x f =-，()f x 在(,)-+單調遞增 因為0 x ，所以()(0)1f x f = （2）當0 x 時，設2e ()x g x a x =-，則2()()f x x g x =，()f x 在(0,)+只有一個零點 等價于()g x 在(0,)+只有一個零點 3 e (2) ()