1、2023學年高考數學模擬測試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1如圖，長方體中，點T在棱上，若平面.則（ ）A1BC2D2已知向量，=(1，)，且在方向上的投影為，則等于（ ）A2B1CD03如圖是甲、乙兩位同學在六次數學小測試（滿分100

2、分）中得分情況的莖葉圖，則下列說法錯誤的是（ ）A甲得分的平均數比乙大B甲得分的極差比乙大C甲得分的方差比乙小D甲得分的中位數和乙相等4函數的一個單調遞增區間是（ ）ABCD5數列滿足：，為其前n項和，則（ ）A0B1C3D46拋擲一枚質地均勻的硬幣，每次正反面出現的概率相同，連續拋擲5次，至少連續出現3次正面朝上的概率是（ ）ABCD7已知函數，若，,則a，b，c的大小關系是（ ）ABCD8曲線上任意一點處的切線斜率的最小值為（ ）A3B2CD19某人用隨機模擬的方法估計無理數的值，做法如下：首先在平面直角坐標系中，過點作軸的垂線與曲線相交于點，過作軸的垂線與軸相交于點（如圖），然后向矩形內

3、投入粒豆子，并統計出這些豆子在曲線上方的有粒，則無理數的估計值是（ ） ABCD10復數的共軛復數在復平面內所對應的點位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限11已知（），i為虛數單位，則（ ）AB3C1D512學業水平測試成績按照考生原始成績從高到低分為、五個等級某班共有名學生且全部選考物理、化學兩科，這兩科的學業水平測試成績如圖所示該班學生中，這兩科等級均為的學生有人，這兩科中僅有一科等級為的學生，其另外一科等級為，則該班（ ）A物理化學等級都是的學生至多有人B物理化學等級都是的學生至少有人C這兩科只有一科等級為且最高等級為的學生至多有人D這兩科只有一科等級為且最高等級為的學生至

4、少有人二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知拋物線的焦點為，過點且斜率為1的直線交拋物線于兩點，若線段的垂直平分線與軸交點的橫坐標為，則的值為_.14的展開式中的系數為_.15設復數滿足,則_.16某學習小組有名男生和名女生.若從中隨機選出名同學代表該小組參加知識競賽，則選出的名同學中恰好名男生名女生的概率為_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數與的圖象關于直線對稱. （為自然對數的底數）（1）若的圖象在點處的切線經過點，求的值；（2）若不等式恒成立，求正整數的最小值.18（12分）已知函數，將的圖象向左移個單位，得到函數的圖象

5、.（1）若，求的單調區間；（2）若，的一條對稱軸是，求在的值域.19（12分）如圖，在三棱柱中，為的中點，且.（1）求證：平面；（2）求銳二面角的余弦值.20（12分）在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程為.（1）求直線和圓的普通方程；（2）已知直線上一點，若直線與圓交于不同兩點，求的取值范圍.21（12分）2019年是中華人民共和國成立70周年為了讓人民了解建國70周年的風雨歷程，某地的民調機構隨機選取了該地的100名市民進行調查，將他們的年齡分成6段：，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（1）現從年齡在，內的人員中按分層抽樣

6、的方法抽取8人，再從這8人中隨機選取3人進行座談，用表示年齡在）內的人數，求的分布列和數學期望；（2）若用樣本的頻率代替概率，用隨機抽樣的方法從該地抽取20名市民進行調查，其中有名市民的年齡在的概率為當最大時，求的值22（10分）已知函數.（1）若，求證：.（2）討論函數的極值；（3）是否存在實數，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由.2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【答案解析】根據線面垂直的性質，可知；結合即可證明，進而求得.由線段關系及平面向量

7、數量積定義即可求得.【題目詳解】長方體中，點T在棱上，若平面.則，則，所以， 則，所以，故選：D.【答案點睛】本題考查了直線與平面垂直的性質應用，平面向量數量積的運算，屬于基礎題.2、B【答案解析】先求出，再利用投影公式求解即可.【題目詳解】解：由已知得，由在方向上的投影為，得，則.故答案為：B.【答案點睛】本題考查向量的幾何意義，考查投影公式的應用，是基礎題.3、B【答案解析】由平均數、方差公式和極差、中位數概念，可得所求結論【題目詳解】對于甲，；對于乙，故正確；甲的極差為，乙的極差為，故錯誤；對于甲，方差.5，對于乙，方差，故正確；甲得分的中位數為，乙得分的中位數為，故正確故選：【答案點睛

8、】本題考查莖葉圖的應用，考查平均數和方差等概念，培養計算能力，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題4、D【答案解析】利用同角三角函數的基本關系式、二倍角公式和輔助角公式化簡表達式，再根據三角函數單調區間的求法，求得的單調區間，由此確定正確選項.【題目詳解】因為，由單調遞增，則（），解得（），當時，D選項正確.C選項是遞減區間，A，B選項中有部分增區間部分減區間.故選：D【答案點睛】本小題考查三角函數的恒等變換，三角函數的圖象與性質等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力，數形結合思想，應用意識.5、D【答案解析】用去換中的n，得，相加即可找到數列的周期，再利用計算.【題目詳解】由

9、已知，所以，+，得，從而，數列是以6為周期的周期數列，且前6項分別為1，2，1，-1，-2，-1，所以，.故選：D.【答案點睛】本題考查周期數列的應用，在求時，先算出一個周期的和即，再將表示成即可，本題是一道中檔題.6、A【答案解析】首先求出樣本空間樣本點為個，再利用分類計數原理求出三個正面向上為連續的3個“1”的樣本點個數，再求出重復數量，可得事件的樣本點數，根據古典概型的概率計算公式即可求解.【題目詳解】樣本空間樣本點為個， 具體分析如下：記正面向上為1，反面向上為0，三個正面向上為連續的3個“1”，有以下3種位置1_ _，_1_，_ _1剩下2個空位可是0或1，這三種排列的所有可能分別都

10、是，但合并計算時會有重復，重復數量為，事件的樣本點數為：個故不同的樣本點數為8個，.故選：A【答案點睛】本題考查了分類計數原理與分步計數原理，古典概型的概率計算公式，屬于基礎題7、D【答案解析】根據題意，求出函數的導數，由函數的導數與函數單調性的關系分析可得在上為增函數，又由，分析可得答案【題目詳解】解：根據題意，函數，其導數函數，則有在上恒成立，則在上為增函數；又由，則；故選：【答案點睛】本題考查函數的導數與函數單調性的關系，涉及函數單調性的性質，屬于基礎題8、A【答案解析】根據題意，求導后結合基本不等式，即可求出切線斜率，即可得出答案.【題目詳解】解：由于，根據導數的幾何意義得：，即切線斜

11、率，當且僅當等號成立，所以上任意一點處的切線斜率的最小值為3.故選：A.【答案點睛】本題考查導數的幾何意義的應用以及運用基本不等式求最值，考查計算能力.9、D【答案解析】利用定積分計算出矩形中位于曲線上方區域的面積，進而利用幾何概型的概率公式得出關于的等式，解出的表達式即可.【題目詳解】在函數的解析式中，令，可得，則點，直線的方程為，矩形中位于曲線上方區域的面積為，矩形的面積為，由幾何概型的概率公式得，所以，.故選：D.【答案點睛】本題考查利用隨機模擬的思想估算的值，考查了幾何概型概率公式的應用，同時也考查了利用定積分計算平面區域的面積，考查計算能力，屬于中等題.10、D【答案解析】由復數除法

12、運算求出，再寫出其共軛復數，得共軛復數對應點的坐標得結論【題目詳解】，對應點為，在第四象限故選：D.【答案點睛】本題考查復數的除法運算，考查共軛復數的概念，考查復數的幾何意義掌握復數的運算法則是解題關鍵11、C【答案解析】利用復數代數形式的乘法運算化簡得答案.【題目詳解】由，得，解得.故選:C.【答案點睛】本題考查復數代數形式的乘法運算,是基礎題.12、D【答案解析】根據題意分別計算出物理等級為，化學等級為的學生人數以及物理等級為，化學等級為的學生人數，結合表格中的數據進行分析，可得出合適的選項.【題目詳解】根據題意可知，名學生減去名全和一科為另一科為的學生人（其中物理化學的有人，物理化學的有

13、人），表格變為：物理化學對于A選項，物理化學等級都是的學生至多有人，A選項錯誤；對于B選項，當物理和，化學都是時，或化學和，物理都是時，物理、化學都是的人數最少，至少為（人），B選項錯誤；對于C選項，在表格中，除去物理化學都是的學生，剩下的都是一科為且最高等級為的學生，因為都是的學生最少人，所以一科為且最高等級為的學生最多為（人），C選項錯誤；對于D選項，物理化學都是的最多人，所以兩科只有一科等級為且最高等級為的學生最少（人），D選項正確.故選：D.【答案點睛】本題考查合情推理，考查推理能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【答案解析】設，寫出直線方程代入拋

14、物線方程后應用韋達定理求得，由拋物線定義得焦點弦長，求得，再寫出的垂直平分線方程，得，從而可得結論【題目詳解】拋物線的焦點坐標為，直線的方程為，據得.設，則.線段垂直平分線方程為，令，則，所以，所以.故答案為：1【答案點睛】本題考查拋物線的焦點弦問題，根據拋物線的定義表示出焦點弦長是解題關鍵14、28【答案解析】將已知式轉化為，則的展開式中的系數中的系數，根據二項式展開式可求得其值.【題目詳解】，所以的展開式中的系數就是中的系數，而中的系數為，展開式中的系數為故答案為：28.【答案點睛】本題考查二項式展開式中的某特定項的系數，關鍵在于將原表達式化簡將三項的冪的形式轉化為可求的二項式的形式，屬于

15、基礎題.15、.【答案解析】利用復數的運算法則首先可得出，再根據共軛復數的概念可得結果.【題目詳解】復數滿足，故而可得，故答案為.【答案點睛】本題考查了復數的運算法則，共軛復數的概念，屬于基礎題16、【答案解析】從7人中選出2人則總數有，符合條件數有，后者除以前者即得結果【題目詳解】從7人中隨機選出2人的總數有，則記選出的名同學中恰好名男生名女生的概率為事件，故答案為：【答案點睛】組合數與概率的基本運用，熟悉組合數公式三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）e；（2）2.【答案解析】（1）根據反函數的性質，得出，再利用導數的幾何意義，求出曲線在點處的切線為，構

16、造函數，利用導數求出單調性，即可得出的值；（2）設，求導，求出的單調性，從而得出最大值為，結合恒成立的性質，得出正整數的最小值.【題目詳解】（1）根據題意，與的圖象關于直線對稱，所以函數的圖象與互為反函數，則,，設點，又，當時，曲線在點處的切線為，即，代入點，得，即，構造函數， 當時，當時，且，當時，單調遞增，而， 故存在唯一的實數根.（2）由于不等式恒成立，可設，所以，令，得. 所以當時，；當時，因此函數在是增函數，在是減函數. 故函數的最大值為 .令， 因為， ，又因為在是減函數.所以當時，.所以正整數的最小值為2.【答案點睛】本題考查導數的幾何意義和利用導數解決恒成立問題，涉及到單調性、

17、構造函數法等，考查函數思想和計算能力.18、（1）增區間為，減區間為；（2）.【答案解析】（1）由題意利用三角函數圖象變換規律求得的解析式，然后利用余弦函數的單調性，得出結論；（2）由題意利用余弦函數的圖象的對稱性求得，再根據余弦函數的定義域和值域，得出結論【題目詳解】由題意得（1）向左平移個單位得到，增區間：解不等式，解得，減區間：解不等式，解得.綜上可得，的單調增區間為，減區間為；（2）由題易知，因為的一條對稱軸是，所以，解得，.又因為，所以，即.因為，所以，則，所以在的值域是.【答案點睛】本題主要考查三角函數圖象變換規律，余弦函數圖象的對稱性，余弦函數的單調性和值域，屬于中檔題19、（1

18、）證明見解析；（2）.【答案解析】（1）證明后可得平面，從而得，結合已知得線面垂直；（2）以為坐標原點，以為軸，為軸，為建立空間直角坐標系，設，寫出各點坐標，求出二面角的面的法向量，由法向量夾角的余弦值得二面角的余弦值【題目詳解】（1）證明：因為，為中點，所以，又，所以平面，又平面，所以，又，所以平面.（2）由已知及（1）可知，兩兩垂直，所以以為坐標原點，以為軸，為軸，為建立空間直角坐標系，設，則，.設平面的法向量，則，即，令，則；設平面的法向量，則，即，令，則，所以.故銳二面角的余弦值為.【答案點睛】本題考查證明線面垂直，解題時注意線面垂直與線線垂直的相互轉化考查求二面角，求空間角一般是建立

19、空間直角坐標系，用向量法易得結論20、（1），；（2）【答案解析】分析：（1）用代入法消參數可得直線的普通方程，由公式可化極坐標方程為直角坐標方程；（2）把直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程，其中參數的絕對值表示直線上對應點到的距離，因此有，直接由韋達定理可得，注意到直線與圓相交，因此判別式0，這樣可得滿足的不等關系，由此可求得的取值范圍.詳解：（1）直線的參數方程為，普通方程為， 將代入圓的極坐標方程中,可得圓的普通方程為， （2）解：直線的參數方程為代入圓的方程為 可得：（*），且由題意 ，, . 因為方程（*）有兩個不同的實根，所以，即， 又， 所以. 因為，所以所以.點睛：（1）參數方程化為普通方程，一般用消參數法，而消參法有兩種選擇：一是代入法，二是用公式；（2）極坐標方程與直角坐標方程互化一般利用公式；（3）過的直線的參數方程為（為參數）中參數具有幾何意義：直線上任一點對應參數，則.21、（1）分布列見解析,（1）【答案解析】（1）根據頻率分布直方圖及抽取總人數，結合各組頻率值即可求得各組抽取的人數；的可能取值為0，1，1，由離散型隨機變量概率求法即可求得各概率值，即可得分布列；由數學期望公式即可求得其數學期望.（1）先求得年齡在內的頻率，視為概率.結合二項分布的性質，表示出，令，化簡后可證明其單調性及取得最大值時的值【題目詳解】（1）按分層抽樣