1、工程力學(xué)第八章圓軸的扭轉(zhuǎn)第1頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三實(shí)際工程中，有很多產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形的構(gòu)件。圖示汽車操縱桿；機(jī)械中的傳動(dòng)軸等。傳動(dòng)軸8.1 扭轉(zhuǎn)的概念與實(shí)例第2頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三研究對(duì)象： 圓截面直桿受力特點(diǎn)：作用在垂直于軸線的不同平面內(nèi)的外力偶，且滿足平衡方程: SMx=0變形特征：相對(duì)扭轉(zhuǎn)角 fABxyz0M0M變形前變形后fAB第3頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三 本章研究桿件發(fā)生除扭轉(zhuǎn)變形外，其它變形可忽略的情況，并且以圓截面(實(shí)心圓截面或空心圓截面)桿為主要研究對(duì)象。此外，所研究的問題限

2、于桿在線彈性范圍內(nèi)工作的情況。第4頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三8.2 扭矩與扭矩圖扭矩：MT是橫截面上的內(nèi)力偶矩。 內(nèi)力由截面法求得。取左邊部分平衡由平衡方程： M0M0假想切面外力偶 M0內(nèi)力偶 MT第5頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三由平衡方程： 取右邊部分MT 和MT 是同一截面上的內(nèi)力，應(yīng)當(dāng)有相同的大小和正負(fù)。TM0M0假想切面取左邊部分平衡外力偶 M0 扭矩 MT扭矩外力偶 平衡MTM0第6頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三扭矩的符號(hào)規(guī)定：按右手螺旋法則確定扭矩的矢量方向，扭矩矢量的指向與截面的外法線方向

3、一致者為正，反之為負(fù)。負(fù)M0MTM0MT正第7頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三nnmT （+）mnnT（+） 上述截面的內(nèi)力（扭矩）為正值扭矩圖：利用截面法每次只能求某一指定截面上的扭矩，為能反映出扭矩的分布情況，我們以桿件的軸線為基線，用一個(gè)圖形來表示沿軸長(zhǎng)各橫截面上扭矩的變化規(guī)律，稱為扭矩圖xT+第8頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三例8-1、作圖示圓軸的扭矩圖2mxmx3mxABC解：由于AB、BC兩段的扭矩不同，所以要分段計(jì)算（1）計(jì)算AB段的扭矩1用假想的1截面將軸切開，取左段為隔離體根據(jù)平衡條件求得： TAB=2mx112mxTAB

4、 第9頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三（2）計(jì)算BC段的扭矩2用假想截面2將圓軸切開，取左段或右段為隔離體，根據(jù)平衡條件求得： TBC=-mx2mx3mxAB22TBCmxC22TBC2mxmx3mxAB（3）作扭矩圖xTABC2mxmx+第10頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三例8-2圖示為一裝巖機(jī)的后車軸，已知其行走的功率PK=10.5kW，額定轉(zhuǎn)速n=680r/min，機(jī)體上的荷載通過軸承傳到車軸上，不計(jì)摩擦，畫出車軸的扭矩圖ABC解：1）計(jì)算外力矩齒輪B輸入的功率分別傳遞到輪A、C上，每個(gè)輪所消耗的功率為：PK/2mAmBmC第11頁，

5、共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三 2）計(jì)算AB段內(nèi)力根據(jù)平衡條件，可求得： TAB=mA=74NmmAATABmAmBABTBC 3）計(jì)算BC段內(nèi)力根據(jù)平衡條件，求得： TBC=mA-mB=-74Nm 4）扭矩圖xTABC7474+mAmBmC第12頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三 例8-3 一傳動(dòng)軸如圖，轉(zhuǎn)速 ；主動(dòng)輪輸入的功率P1= 500 kW，三個(gè)從動(dòng)輪輸出的功率分別為：P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200 kW。試作軸的扭矩圖。 第13頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三解：1. 計(jì)算作用在各

6、輪上的外力偶矩第14頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三2. 計(jì)算各段的扭矩BC段內(nèi)：AD段內(nèi)：CA段內(nèi)：(負(fù))注意這個(gè)扭矩是假定為負(fù)的第15頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三3. 作扭矩圖 由扭矩圖可見，傳動(dòng)軸的最大扭矩Tmax在CA段內(nèi)，其值為9.56 kNm。 第16頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三思考：如果將從動(dòng)輪D與C的位置對(duì)調(diào)，試作該傳動(dòng)軸的扭 矩圖。這樣的布置是否合理？第17頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三15.94.786.37 4.78第18頁，共71頁，2022年，5月20日，

7、19點(diǎn)52分，星期三5kN5kN3kNN 圖+-5kN2kN8kN5kN2kN8kN5kN+向簡(jiǎn)捷畫法：2010ABC 在左端取參考正向，按載荷大小畫水平線；遇集中載荷作用則內(nèi)力相應(yīng)增減；至右端回到零。FN圖（軸力）按右手法確定+向xoCABMT圖第19頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三討論：試作扭矩圖2010MT圖按右手法確定+向xoCAB40kN.mD20kN.m10kN.m10kN.mABCD20 xoCAB40kN.mD10kN.m10kN.m求反力偶：2010MT圖按右手法確定+向ABCD20第20頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三8.

8、3 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與變形8.3.1. 橫截面上的應(yīng)力表面變形情況推斷橫截面的變形情況(問題的幾何方面)橫截面上應(yīng)變的變化規(guī)律橫截面上應(yīng)力變化規(guī)律應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系(問題的物理方面)內(nèi)力與應(yīng)力的關(guān)系橫截面上應(yīng)力的計(jì)算公式(問題的靜力學(xué)方面)第21頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三圓軸扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：橫向：圓周線仍相互平行，且形狀和大小不變，間距不變，但相鄰圓周發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)縱向：各縱向線仍然平行，但傾斜了一個(gè)角度，由縱向線與圓周線所組成的矩形變成了平行四邊形平截面假定：圓軸扭轉(zhuǎn)變形后，橫截面保持為平面，其形狀和大小及相鄰兩橫截面間的距離保持不變，半徑仍保持為直線（橫截面剛性地繞

9、軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)）推知：桿的橫截面上只有切應(yīng)力，且垂直于半徑。第22頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三取長(zhǎng)為dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面剛性轉(zhuǎn)動(dòng)角df，原來的矩形ABCD變成為菱形ABCD。1. 變形幾何條件g是微元的直角改變量，即半徑r各處的剪應(yīng)變。因?yàn)镃C= gdx=rdf , 故有：df /dx ,稱為單位扭轉(zhuǎn)角。對(duì)半徑為r的其它各處，可作類似的分析。dxOCDABrrCDdfdfgMTg第23頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三1. 變形幾何條件對(duì)半徑為r的其它各處，作類似的分析。剪應(yīng)變g的大小與半徑r成正比。與單位扭轉(zhuǎn)角df /dx

10、成正比。即得變形幾何條件為：-(1)同樣有： CC= gdx=rdfdxOCDABrrCDdfMTgrgr第24頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三2. 物理關(guān)系 材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系在線性彈性范圍內(nèi)，剪切虎克定律為：G是t-g曲線的斜率，如圖，稱為剪切彈性模量。單位GPa-(2)半徑為r處的剪應(yīng)力則為：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)無正應(yīng)力1GOtg1Gtys材料的剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間有與拉壓類似的關(guān)系。第25頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三討論：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分布圓軸幾何及MT給定，df/dx為常數(shù)；G是材料常數(shù)。-(3)dxOCDABrrCDdfMT

11、grgrtrMTotrrtmax最大剪應(yīng)力在圓軸表面處。扭轉(zhuǎn)截面上任一點(diǎn)的剪應(yīng)力與該點(diǎn)到軸心的距離r成正比；剪應(yīng)變?cè)贏BCD面內(nèi)，故剪應(yīng)力與半徑垂直，指向由截面扭矩方向確定。第26頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三3. 力的平衡關(guān)系應(yīng)力是內(nèi)力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截面上內(nèi)力對(duì)軸心之矩的和應(yīng)與截面扭矩相等。取微面積如圖，有：-(3)利用(3)式，得到：trMTotrrtmaxdA第27頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三3. 力的平衡關(guān)系 令：最后得到：-(4)Ir 稱為截面對(duì)圓心的極慣性矩，只與截面幾何相關(guān)。tmax在圓軸表面處，且WT

12、 =IP / r，稱為抗扭截面模量。求IP，WT ?trMTotrrtmax第28頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三 圓截面的極慣性矩和抗扭截面模量dDo討論內(nèi)徑d，外徑D的空心圓截面，取微面積 dA=2prdr, 則有：rdrdA極慣性矩)1(3232)(244442/2/3apprrpP-=-=DdDdIDd抗扭截面模量： 16/)1()2/(43apP-=DDIWTa=d/D極慣性矩：抗扭截面模量第29頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三dDo空心圓軸實(shí)心圓軸Do極慣性矩:抗扭截面模量:a=d/D=0第30頁，共71頁，2022年，5月20日

13、，19點(diǎn)52分，星期三研究思路：變形幾何條件dx -(1)d/jrg=+材料物理關(guān)系dxdGGjrgtrr=-(2)靜力平衡關(guān)系+TAMdAdxdG=2rj-(3)圓軸扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力公式：PrrtIMT=-(4)且由(2)、(4)可知單位扭轉(zhuǎn)角為：PjGIMdxdT/=-(5)第31頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三結(jié)論：1）圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面上只有剪應(yīng)力，剪應(yīng)力在橫截面上線性分布，垂直與半徑，指向由扭矩的轉(zhuǎn)向確定。2） 截面任一處 截面外圓周處（表面） tP=MTr/IP tmax=MT/WT dDo空心圓軸實(shí)心圓軸DoMTtrtmaxMTtrtmax第32頁，共71頁，

14、2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三討論：2）下列圓軸扭轉(zhuǎn)的剪應(yīng)力分布圖是否正確? 1）已知二軸長(zhǎng)度及所受外力矩完全相同。若二軸截 面尺寸不同，其扭矩圖相同否? 若二軸材料不同、截面尺寸相同， 各段應(yīng)力是否相同？ 變形是否相同？相同相同不同oMToMToMToMT第33頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三8.3.3 扭轉(zhuǎn)圓軸任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) MTdxMTttdxcAdytttt研究?jī)蓹M截面相距dx的任一A處單位厚度微元，左右二邊為橫截面，上下二邊為過軸線的徑向面。 AA的平衡？SMC(F)=tdxdy-tdydx=0 t=t剪應(yīng)力互等定理： 物體內(nèi)任一點(diǎn)處二相互垂

15、直的截面上，剪應(yīng)力總是同時(shí)存在的，它們大小相等，方向是共同指向或背離二截面的交線。 第34頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三dxcAdytttt 純剪應(yīng)力狀態(tài)等價(jià)于轉(zhuǎn)過45后微元的二向等值拉壓應(yīng)力狀態(tài)。純剪應(yīng)力狀態(tài): 微元各面只有剪應(yīng)力作用。 45斜截面上的應(yīng)力： t45dxct45s45ttdx+(t45dx/cos45)cos45+(s45dx/cos45)sin45=0還有：s-45=t； t-45=0 tdx-(t45dx/cos45)sin45+(s45dx/cos45)cos45=0解得： s45=-t；t45=0。Ass第35頁，共71頁，2022年，5月

16、20日，19點(diǎn)52分，星期三 現(xiàn)分析單元體內(nèi)垂直于前、后兩平面的任一斜截面 ef (如圖)上的應(yīng)力。斜截面上的應(yīng)力第36頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三分離體上作用力的平衡方程為利用t =t ，經(jīng)整理得第37頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三由此可知： (1) 單元體的四個(gè)側(cè)面(a = 0和 a = 90)上切應(yīng)力的絕對(duì)值最大； (2) a =-45和a =+45截面上切應(yīng)力為零，而正應(yīng)力的絕對(duì)值最大；，如圖所示。第38頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三低碳鋼扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)開始低碳鋼扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)結(jié)束第39頁，共71頁，2022年，

17、5月20日，19點(diǎn)52分，星期三低碳鋼扭轉(zhuǎn)破壞斷口 第40頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞試驗(yàn)過程第41頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞斷口第42頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三 思考：低碳鋼和鑄鐵的圓截面試件其扭轉(zhuǎn)破壞的斷口分別如圖a及圖b所示，試問為什么它們的斷口形式不同？第43頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三 例題8-4 實(shí)心圓截面軸(圖a)和空心圓截面軸(圖b) （ ）除橫截面不同外，其它均相同。試求兩種圓軸在橫截面上最大切應(yīng)力相等的情況下，D2與d1之比以及

18、兩軸的重量比。第44頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三解：由t1,max=t2,max，并將a 0.8代入得第45頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三兩軸的重量比即為其橫截面面積之比：空心圓軸的自重比實(shí)心圓軸輕。實(shí)際應(yīng)用中，尚需考慮加工等因素。第46頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三. 強(qiáng)度條件此處t為材料的許用切應(yīng)力。對(duì)于等直圓軸亦即 鑄鐵等脆性材料制成的等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)雖沿斜截面因拉伸而發(fā)生脆性斷裂，但因斜截面上的拉應(yīng)力與橫截面上的切應(yīng)力有固定關(guān)系，故仍可以切應(yīng)力和許用切應(yīng)力來表達(dá)強(qiáng)度條件。第47頁，共71頁，2022年，

19、5月20日，19點(diǎn)52分，星期三 例8-5 圖示階梯狀圓軸，AB段直徑d1=120 mm，BC段直徑d2=100 mm。扭轉(zhuǎn)力偶矩MA =22 kNm，MB =36 kNm，MC =14 kNm，材料的許用切應(yīng)力t =80 MPa。試校核該軸的強(qiáng)度。第48頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三BC段內(nèi)AB段內(nèi)解：1. 繪扭矩圖 2. 求每段軸的橫截面上的最大切應(yīng)力第49頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三3. 校核強(qiáng)度 需要指出的是，階梯狀圓軸在兩段的連接處仍有應(yīng)力集中現(xiàn)象，在以上計(jì)算中對(duì)此并未考核。 t2,max t1,max，但有t2,maxt =

20、 80MPa，故該軸滿足強(qiáng)度條件。第50頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三. 扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形 等直圓桿的扭轉(zhuǎn)變形可用兩個(gè)橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角(相對(duì)角位移) j 來度量。MeADBCMejg 圓軸的扭轉(zhuǎn)變形第51頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三 當(dāng)?shù)戎眻A桿相距 l 的兩橫截面之間，扭矩T及材料的切變模量G為常量時(shí)有 由前已得到的扭轉(zhuǎn)角沿桿長(zhǎng)的變化率(亦稱單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角)為 可知，桿的相距 l 的兩橫截面之間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角j為GI 稱為抗扭剛度，反映軸抵抗變形的能力。r第52頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三解： 1. 各段軸的橫

21、截面上的扭矩： 例8-6 圖示鋼制實(shí)心圓截面軸，已知：M1=1 592 Nm，M2 = 955 Nm，M3 = 637 Nm，lAB = 300 mm，lAC = 500 mm，d = 70 mm ，鋼的切變模量G = 80 GPa。試求橫截面C相對(duì)于B的扭轉(zhuǎn)角jCB.第53頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三3. 橫截面C相對(duì)于B的扭轉(zhuǎn)角：2. 各段軸的兩個(gè)端面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角：第54頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三例8-7 空心圓軸如圖，已知MA=150N.m，MB=50N.m Mc=100N.m，材料G=80Gpa， 試求（1）軸內(nèi)的最大剪應(yīng)

22、力； （2）C截面相對(duì)A截面的扭轉(zhuǎn)角。解: 1) 畫扭矩圖。2) 計(jì)算各段應(yīng)力: f22 f18 f2410001000ABCMBMCMAABC150100MT /N.mAB段：N-mm-Mpa單位制N-mm-Mpa單位制第55頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三故 tmax=86.7Mpa3) 計(jì)算扭轉(zhuǎn)角ACradGIlMGIlMBCBCTBCABABTABAC183.0=+=rrjBC段：N-mm-Mpa單位制ABC150100MT /N.m f22 f18 f2410001000ABCMBMCMA第56頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三. 剛

23、度條件式中的許可單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角j的常用單位是()/m。此時(shí)，等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件表示為：對(duì)于精密機(jī)器的軸q0.150.30 ()/m；對(duì)于一般的傳動(dòng)軸q2 ()/m。第57頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三解: 1. 按強(qiáng)度條件求所需外直徑D 例8-8 由45號(hào) 鋼制成的某空心圓截面軸，內(nèi)、外直徑之比a = 0.5 。已知材料的許用切應(yīng)力t = 40 MPa，切變模量G= 80 GPa。軸的橫截面上扭矩的最大者為Tmax = 9.56 kNm，軸的許可單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角q=0.3 ()/m。試選擇軸的直徑。第58頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期

24、三2. 按剛度條件求所需外直徑D3. 空心圓截面軸所需外直徑為D125.5 mm(由剛度條件控制)，內(nèi)直徑則根據(jù)a = d/D = 0.5知第59頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三8-5 扭轉(zhuǎn)靜不定問題 例8-9 兩端固定的圓截面等直桿AB，在截面C處受扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用，如圖a。已知桿的扭轉(zhuǎn)剛度為GIp。試求桿兩端的約束力偶矩以及C截面的扭轉(zhuǎn)角。(a)第60頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三 解: 1. 有二個(gè)未知約束力偶矩MA, MB，但只有一個(gè)獨(dú)立的靜力平衡方程故為一次靜不定問題。(a)MAMB第61頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三 2. B為固定端,因此(a)MAMB第62頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三4. 桿的AC段橫截面上的扭矩為從而有(a)第63頁，共71頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)52分，星期三 例8-10 由半徑為a的銅桿和外半徑