1、第六章 線性經濟模型簡介 投入產出模型簡介 6.1 單純形法 6.3 線性規劃 6.2廣州華商學院線性代數1.1 n階行列式的定義一、投入產出模型二、直接消耗系數 三、平衡方程組的解 五、應用舉例 四、完全消耗系數 一、投入產出模型 假設一個經濟系統是由n個產業部門組成的，將這n個產業部門以及他們之間的數量依存關系按一定的順序排列在一張表內，稱為投入產出表，如表61 。表6-1xij表示第j部門在生產過程中消耗第i部門的中間投入數量xi表示第i個部門的總產出或總投入 yi表示第i個部門可供給社會消費和使用的最終產品數量 zj表示第j部門的初始投入 水平方向反映各部門產品按經濟用途的使用情況 垂

2、直方向反映了各部門產品的價值構成 分配平衡方程組消耗平衡方程組分配平衡方程組和消耗平衡方程組統稱投入產出平衡方程組 投入產出模型 在利用數學方法研究經濟問題中投入與產出的關系時，一般把所研究的某一經濟系統中各部門之間的數量依存關系反映在投入產出表中，并將這種關系用數學式子（即建立它們的數學模型）表示出來。從它們的數學模型來看，是研究某一經濟系統中各部門之間的投入與產出關系的一種線性模型。 我們將能夠反映一個經濟系統中各部門之間的數量依存關系的投入產出表以及由此得到的平衡方程組統稱為投入產出模型。 二、直接消耗系數 定義1 第j部門生產單位產品直接消耗第i部門的產品量，稱為第j部門對第i部門的直

3、接消耗系數，記作aij ，即各部門之間的直接消耗系數構成的n階矩陣，稱為直接消耗系數矩陣，記作 直接消耗系數充分反映了各部門之間在生產技術上的數量依存關系。 矩陣C為中間投入系數矩陣分配平衡方程組和消耗平衡方程組的矩陣表示 X=AX+Y 或 (E-A)X=Y X=CX+Z 或 (E-C)X=Z 矩陣表示矩陣表示分配平衡方程組 消耗平衡方程組 例1.設某企業有三個生產部門，該企業在某一生產周期內各部門的生產消耗量和初始投入量如表62所示求：（1）各部門總產出x1 ,x2,x3 ；（2）各部門最終產品y1，y2，y3；（3）直接消耗系數矩陣A。 解：（1）消耗平衡方程組為 將xij和zj的值代入，

4、得 （2）分配平衡方程組為 將xj和xij 的值代入，得 （3）由直接消耗系數公式和矩陣乘法運算法則，得直接消耗系數矩陣A具有以下性質： 性質1 所有元素均非負，且 性質2 各列元素的絕對值之和均小于1，即 根據這兩條性質，可證明以下結論：投入產出模型中的矩陣(E-A)和(E-C)都是可逆矩陣。 三、平衡方程組的解 1.消耗平衡方程組的解 2.分配平衡方程組的解 1.消耗平衡方程組的解若直接消耗系數aij是已知數值，則它就是一個線性方程組，用矩陣表示為三、平衡方程組的解 1.消耗平衡方程組的解 2.分配平衡方程組的解 若已知xj的數值，則求yj值的矩陣運算公式為 若已知yj的數值，由于矩陣(E

5、-A)可逆，則求xj值的矩陣運算公式為 例2由建筑隊、電氣隊、機械隊組成一個施工公司，他們商定在某一時期內互相提供服務，建筑隊每單位產值分別需要電氣隊、機械隊的0.1，0.3單位服務，電氣隊每單位產值分別需要建筑隊、機械隊的0.2，0.4單位服務，機械隊每單位產值分別需要建筑隊、電氣隊的0.3，0.4單位服務。又知在該時期內，他們都對外服務，創造的產值分別為建筑隊500萬元，電氣隊700萬元，機械隊600萬元。(1) 問這一時期內，每個工程隊創造的總產出是多少？ (2)求各工程隊之間的中間投入和初始投入。 解: （1）直接消耗系數矩陣和最終產品矩陣為 其分配平衡方程組為 用初等行變換將其增廣矩

6、陣化為行簡化階梯形矩陣，得 所以每個施工隊創造的總產出分別為 （2）由直接消耗系數公式和矩陣乘法運算規則可知，各工程隊之間的中間投入矩陣為 由消耗平衡方程組，得 故各施工隊的初始投入為 四、完全消耗系數 定義2 第j部門生產單位產品時對第i部門產品量的直接消耗和間接消耗之和，稱為第j部門對第i部門的完全消耗系數，記作bij，即 間接消耗的總和 各部門之間的完全消耗系數構成的n階矩陣，稱為完全消耗系數矩陣，記作 矩陣表示為B=A+BA 完全消耗系數矩陣的計算公式例3 已知某一經濟系統的直接消耗系數矩陣 試求該系統的完全消耗系數矩陣B 。解： 因為 利用初等行變換求逆矩陣 例4 已知某一經濟系統的

7、完全消耗系數矩陣B和最終產品矩陣Y如下： 試求該系統的總產出矩陣X .解：因為 五、應用舉例 例5 已知某一經濟系統有三個生產部門，其完全消耗系數矩陣為 下一計劃期最終產品的計劃是 試求：（1）下一計劃期的計劃總產量X。（2）在計劃的執行過程中，如果發現第1部門產品有5個單位的余量，第3部門產品有10個單位的缺口，那么原計劃應如何調整？ 解：（1）因為 所以，下一計劃期的計劃總產量是 (2) 當最終產品的數量發生改變量 時，則各部門間的總產品量相應發生的改變量是代入上式，得 代入上式，得 即調整后的三個部門的總產值分別為 第六章 線性經濟模型簡介 投入產出模型簡介 6.1 單純形法 6.3 線

8、性規劃 6.26.2 線性規劃 一、規劃線性問題的數學模型二、線性規劃問題的標準形式 三、線性規劃問題的幾個基本概念 四、兩個變量線性規劃問題的圖解法一、規劃線性問題的數學模型例1 某工廠生產甲、乙兩種產品，要用A,B,C三種不同的原料，從工藝資料知道：每生產1件甲種產品，需用三種原料分別為1，1，0單位；生產1件乙種產品，需用三種原料為1，2，1單位；每天原料供應的能力分別為6，6，3單位。又知道，每生產1件甲、乙產品，工廠利潤收入分別為3千元和4千元，問：工廠應如何安排計劃，使一天的總利潤為最大？解： 為了解決這個問題，首先需要建立它的數學模型。 建立數學模型一般要經過以下四步：第一步，明

9、確問題的條件。一般可以將問題的條件列成表格形式，如下表63第二步，明確問題的變量。為了做出決策，我們把決策中關鍵量設為未知量，這種變量稱為決策變量。本例中，設產品甲的日產量為件，產品乙的日產量為件。顯然，它們都是非負的，即第三步，明確問題的目標。 該問題的目標是在現有條件下，追求最大的利潤。設該工廠一天獲得的總利潤為S，則依題意得 問題就是要求它的最大值，因此，目標函數為 第四步，明確問題的約束條件。由于每天的原料供應限制，A種原料每天只能供給6個單位，所以一天生產甲、乙兩種產品所消耗A種原料不得超過6個單位，即 第四步，明確問題的約束條件。由于每天的原料供應限制，A種原料每天只能供給6個單位

10、，所以一天生產甲、乙兩種產品所消耗A種原料不得超過6個單位，即 類似地，有 因此，對變量 的限制為 約束條件 綜合上述分析，我們可以寫出該問題的數學模型如下 約束條件 目標函數 例2 某建設工地，需要直徑相同、長度不同的成套鋼筋， 每套由7根2m長和2根7m長的鋼筋組成，今有15m長的鋼筋150根，問怎樣下料，才能使廢料最少？解：把一根15m長的鋼筋割成分別為7m和2m的兩種規格，有三種比較經濟的方法，如表64所示。S表示廢料的總長度。依題意，得把分別表示采用上述三種方法割料的15m長的鋼筋的根數，又由于每套由7根2m長，2根7m長的鋼筋組成，而2m長有 根7m長有 根，根據配套要求，有問題的

11、目標是廢料最少，總廢料長為 綜合上述討論，得到該問題的數學模型為： 總結從以上兩例子可以看出，它們都屬于優化問題，并具有以下共同特征：（1）每一個問題都可以用一組稱為決策變量的未知量來表示某種方案，這組未知變量的一組定值就代表一個具體方案。通常，要求這些未知量的取值是非負的。 （2）每個問題都存在一定的限制條件，這些限制條件都可能用決策變量的一組線性等式或線性不等式來表示。 （3）都有一個目標，并且這個目標可以表示為決策變量的線性函數，并按問題的要求，求這個目標函數的最大（小）值。線性規劃問題的數學模型的定義一般地，這類問題都可用數學語言描述如下：求一組變量的值，使其滿足約束條件 并使函數 達

12、到最大（小）值，其中 均為常數。這就是線性規劃問題的數學模型。 線性規劃問題的數學模型的一般形式是 簡記為二、線性規劃問題的標準形式 定義1 下述線性規劃問題的數學模型 稱為線性規劃問題的標準形式 。線性規劃問題的標準形式有以下特點： 1.求目標函數的最大值。2.所有的約束方程都用等式表示。3.所有的變量都是非負的。4.約束方程等式右邊的常數（稱為約束常數）都是非負的。上述標準形式還可以簡寫為 矩陣表示化為標準形1.化小為大2.化不等式為等式松弛變量 松弛變量 3.化負為正4.化“無非負限制”為正第i個約束方程的兩邊同乘以1 例3 試將下面的線性規劃問題化為標準形式： 解：例4 試將下面的線性

13、規劃問題化為標準形式： 解：三、線性規劃問題的幾個基本概念 定義2 在線性規劃問題中，滿足約束條件的解， 稱為可行解。 一般來說，線性規劃問題可能有無窮多個可行解， 也可能沒有可行解。 使目標函數達到最大值或最小值的可行解，稱為最優解。將最優解代入目標函數，所得到的目標函數值，稱為最優值。 定義3 在線性規劃問題 中，設約束方程AX=b中的系數矩陣A的秩r(A)=m, B是矩陣A中任一 mm 階的非奇異矩陣,則稱B為該線性規劃問題的一個基。 基向量、非基向量、基變量、非基變量 B的列向量稱為基向量 N的列向量稱為非基向量 基向量對應的變量xj 稱為基變量 非基變量所對應的變量稱為非基變量 基本

14、解、基本可行解、基可行解、最優基可行解定義4 ： 在線性規劃問題中，非基變量取零值時所得到的解稱為基本解。如果基本解又滿足非負條件，則稱為基本可行解，簡稱基可行解。能使目標函數達到最優的基可行解，稱為最優基可行解。 基本可行解一定是基本解，也一定是可行解，但反之不成立。 例5 寫出下列線性規劃問題的所有基陣： 解： 約束方程組的系數矩陣及各列向量分別為知 都是非奇異矩陣，所以 都是這一問題的基。 四、兩個變量線性規劃問題的圖解法 例6 用圖解法求解下列線性規劃問題：解： （1）畫出可行域；（2）畫出等值線； （3）求出最優解。 因此，方程 的交點坐標為（4，2），該問題的最優解為： 對應的目標

15、函數值為：Z=14。 線性規劃問題中解的情況有以下幾種：（1）唯一解（如上例）；（2）無窮多最優解；（3）無界解； （4）無可行解。無窮多最優解無界解無界解無可行解 無可行解 第六章 線性經濟模型簡介 投入產出模型簡介 6.1 單純形法 6.3 線性規劃 6.26.3 單純形法 一、引例 二、單純形表 一、引例例1 求解下列線性規劃問題： 解: 我們分以下四步完成： （1）引入松弛變量 ，將原問題化成標準形式： 如果取標準形式的約束方程組中的變量的系數列向量組成一個基,對應的基變量為非基變量為當非基變量取零值，即 得到一個基本可行解 ，即 對應的目標函數值 很明顯，這個解不合我們的要求。 （2

16、）尋找更好的可行解。為了使目標函數值逐步優化，可從目標函數maxS= 分析：因為的系數均為正數，所以將她們中的某一個換成基變量（換入者稱為進基變量，換出者稱為出基變量），則目標函數值都會增加，為了使目標函數值增加得多些，我們對的系數作如下的選擇： 即選取系數最大的非基變量 進基，因為基變量只能有三個，有了進基變量，就必須從原基變量中換出一個出基，那么將原基變量中的哪一個換成非基變量呢？在非基變量的條件下，其標準形式（1）中的約束方程可化為為了保證變量都要滿足非負約束，所以, 解上述不等式組，得 因此， 應取最小比值 【注】上述確定基變量的方法叫作最小比值法。它是用進基變量的約束方程系數列向量（

17、簡稱進基列）中大于0的元素作除數，對應的常數作被除數，取得到的商的最小值。 對應的基陣是 因此，有同樣，應取最小比值 因此，有 對應的基陣是 （4）尋找最優基可行解。 對應的基陣是二、單純形表 把線性規劃模型化為標準形式，從一個基本可行解開始，用換基迭代方法，轉換到另一個基本可行解，使目標函數值逐步增大，當目標函數達到最大值時，也就得到了最優解。這種方法稱為單純形法。 單純形表例1的解題過程比較繁瑣，為了簡化敘述和計算，現將這一過程列成一張表格，稱為單純形表。 單純形表檢驗數 主元素主元列 最大檢驗數 表6-5中第三行第二列中的數是目標函數非基化后的系數，稱為檢驗數。從分析知道，當檢驗數全部非正時，目標函數才取得最優值。最大正檢驗數所在的列稱為主元列，對應的變量為進基變量。用主元列中的正分量去除b列所對應的分量，取得最小比值的元素，稱為軸心項（即中括號中的數）。軸心項所在的行對應的基變量為出基變量。換基變換的過程稱為換基迭