1、正版可修改PPT課件（本科）微積分下冊(cè)第七章教學(xué)課件第七章 多元函數(shù)微分學(xué)第一節(jié) 多元函數(shù) 第二節(jié) 偏 導(dǎo) 數(shù) 第三節(jié) 全 微 分 第四節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué)在幾何 上的應(yīng)用 第一節(jié) 多元函數(shù) 一、多元函數(shù)的概念二、二元函數(shù)的極限三、二元函數(shù)的連續(xù)性一、多元函數(shù)的概念1預(yù)備知識(shí)（1）平面點(diǎn)集和n維空間 平面點(diǎn)集是指平面上滿足某個(gè)條件 的一切點(diǎn)構(gòu)成的集合 n元有序數(shù)組所組成的集合，稱作n維空間. 請(qǐng)同學(xué)舉例說(shuō)明.（2）鄰域 設(shè) 是平面上一點(diǎn)， ，以 為中心，為半徑的圓的內(nèi)部點(diǎn) 的全體構(gòu)成的點(diǎn)集，叫做點(diǎn) 的 鄰域，記作 ,即在點(diǎn) 的 鄰域內(nèi)，如果去掉中心點(diǎn) ，則稱為點(diǎn) 的 去心鄰域，記作 ,即（3）內(nèi)

2、點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)1）內(nèi)點(diǎn)：設(shè) 是平面點(diǎn)集， 是平面上一點(diǎn)，如果存在 的某一鄰域，此鄰域內(nèi)的點(diǎn)都屬于 ，則稱點(diǎn) 為點(diǎn)集 的內(nèi)點(diǎn)（圖7-2）2）外點(diǎn)：設(shè) 是平面點(diǎn)集， 是平面上一點(diǎn)，如果存在 的某一鄰域，此鄰域內(nèi)的點(diǎn)都不屬于 ，則稱點(diǎn) 為點(diǎn)集 的外點(diǎn)（圖7-3）3）邊界點(diǎn)：設(shè) 是平面點(diǎn)集， 是平面上一點(diǎn)，如果 的任一鄰域，此鄰域內(nèi)的點(diǎn)既有屬于 的點(diǎn)，又有不屬于 的點(diǎn)，則稱點(diǎn) 為點(diǎn)集 的邊界點(diǎn)（圖7-4） 的邊界點(diǎn)的全體稱為 的邊界 E圖 7-4P圖 7-3EPE圖 7-2P（4）開(kāi)集和連通集如果集合 中的每個(gè)點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱 是開(kāi)集對(duì)于開(kāi)集 ，如果 中的任何兩點(diǎn)，都可以用 中的折線連接起來(lái)，則稱

3、是連通集（5）區(qū)域和閉區(qū)域連通的開(kāi)集稱為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域（6）有界區(qū)域和無(wú)界區(qū)域?qū)τ谄矫鎱^(qū)域 ，如果存在某一正數(shù) ，使得其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則稱區(qū)域 為有界區(qū)域否則，稱區(qū)域 為無(wú)界區(qū)域2 二元函數(shù)的定義定義1 設(shè)有三個(gè)獨(dú)立的變量 、 、 和非空點(diǎn)集 ，如果當(dāng)變量 在其給定的范圍 內(nèi)，任取一對(duì)數(shù)值 時(shí)，變量 就按某一確定的對(duì)應(yīng)法則 ，總有確定的數(shù)值與它們對(duì)應(yīng)，那么，變量 就稱為變量 的二元函數(shù)，記為 其中 稱為自變量，函數(shù) 也叫做因變量，自變量 的取值范圍 稱為函數(shù)的定義域二元及其以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù) 二元函數(shù)的定義域 以解析式表示的二元函數(shù)，其定義域就是使該式子有

4、意義的自變量的變化范圍對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，在求定義域時(shí)，除使該式子有意義外，還要符合具體問(wèn)題的實(shí)際意義二元函數(shù)的定義域比較復(fù)雜，可以是全平面，可以是一條曲線，也可以是由曲線圍成的部分平面等二元函數(shù)的定義域的求法同一元函數(shù)，其表示可用不等式組或集合的形式二元函數(shù)的幾何意義 二元函數(shù)（亦即三元方程），由空間解析幾何知識(shí)知道，它在空間直角坐標(biāo)系中一般表示曲面定義域 就是曲面 在面上的投影區(qū)域(如圖7-8） MDPzyxO圖 7-8二、二元函數(shù)的極限定義2 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)有定義（點(diǎn) 可以除外），如果對(duì)于任意給定的小正數(shù) ，都存在小正數(shù) ，當(dāng) 時(shí)，恒有 ，則稱常數(shù)A為函數(shù) 當(dāng) 時(shí)的極限，記為 或

5、.注 在一元函數(shù) 的極限定義中，點(diǎn)x只是沿x軸從x0的左右兩側(cè)趨向于點(diǎn)x0，但是，在二元函數(shù)極限的定義中，若極限存在，要求點(diǎn) 以任意方式、任意方向無(wú)限趨向于點(diǎn) (可以沿任何直線，也可以沿任何曲線趨于點(diǎn) )時(shí)，函數(shù)都無(wú)限趨于同一常數(shù)A 如果當(dāng)點(diǎn) 以不同的方式或不同方向趨于點(diǎn) 時(shí)，函數(shù)趨于不同的值，那么，就可以斷定此函數(shù)的極限一定不存在由此我們可以證明二元函數(shù)的極限不存在 三、二元函數(shù)的連續(xù)性1二元函數(shù)連續(xù)的定義定義3 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)點(diǎn) 趨向于點(diǎn) 時(shí)，函數(shù) 的極限存在，且等于它在點(diǎn) 處的函數(shù)值，即 或則稱函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù)否則，稱函數(shù) 在點(diǎn) 處間斷，點(diǎn) 稱為該函數(shù)的間斷點(diǎn)

6、 函數(shù) 全增量：當(dāng)自變量 分別有增量 時(shí)，函數(shù) 有增量稱為函數(shù) 在點(diǎn) 的全增量，記為 ，即定義4 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量 的增量 趨向于零時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù) 的全增量 也趨向于零，即則稱函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù) 一元函數(shù)連續(xù)性的運(yùn)算法則和結(jié)論都可以推廣到二元連續(xù)函數(shù)（證明從略）（1）二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）仍是連續(xù)函數(shù)；（2）二元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)；（3）二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)的；所謂定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域；（4）二元連續(xù)函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)的極限等于該點(diǎn)的函數(shù)值，即 或 對(duì)于二元函數(shù)與一元函數(shù)不同的是：它不僅有間斷點(diǎn)，有時(shí)還會(huì)有間斷線

7、 2有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1） 最大值、最小值定理 在有界閉區(qū)域 上連續(xù)的二元函數(shù) 在該區(qū)域上一定能取到最大值和最小值即一定可以找到點(diǎn) ，使其中 和 分別為函數(shù) 在 上的最大值和最小值（2） 介值定理 在有界閉區(qū)域 上連續(xù)的二元函數(shù) 必能取得介于最大值和最小值之間的任何值.第二節(jié) 偏 導(dǎo) 數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)二、高階偏導(dǎo)數(shù)三、復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則四、二元函數(shù)的極值及其求法一、偏導(dǎo)數(shù)1 偏導(dǎo)數(shù)的定義定義1設(shè)有二元函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0而讓x在x0處有增量x，相應(yīng)地，函數(shù) 有增量(稱為對(duì)x的偏增量) 如果極限 （7-2）存在，那么，此極限值稱為函數(shù) 在 處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)記

8、作 或 . 類似地， 請(qǐng)同學(xué)們給出函數(shù) 在點(diǎn) 處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù). 如果函數(shù) 在區(qū)域 內(nèi)的每一點(diǎn) 處對(duì) 的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么，這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍是 的函數(shù)，此函數(shù)稱為函數(shù) 對(duì)自變量 的偏導(dǎo)函數(shù)，記作 或 類似地，可以定義函數(shù) 對(duì)自變量的偏導(dǎo)函數(shù)，記作 或2 偏導(dǎo)數(shù)的求法 由偏導(dǎo)數(shù)的定義可以看出，多元函數(shù)對(duì)某一個(gè)變量求偏導(dǎo)，實(shí)質(zhì)上就是將其余自變量看作常數(shù)，而對(duì)該變量求導(dǎo)數(shù)所以，求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，只要把其余自變量看作常數(shù)，而對(duì)該變量按一元函數(shù)的求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公式去求導(dǎo)即可 3偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二元函數(shù) 在 處的偏導(dǎo)數(shù) ，在幾何上表示曲線 在點(diǎn) 對(duì)應(yīng)點(diǎn) 處的切線 對(duì) 軸的斜率同樣 表示曲線 在點(diǎn) 的切線 對(duì)

9、軸的斜率（見(jiàn)圖7-10） 圖 7-10 xMOzyy0 x0TyTxz=f (x, y)M0(x0, y0)二、高階偏導(dǎo)數(shù)定義2 設(shè)函數(shù) 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)為 和 一般來(lái)說(shuō)它們?nèi)匀皇?的函數(shù)，如果這兩個(gè)偏導(dǎo)函數(shù)對(duì) 的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們（一階偏導(dǎo)數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)是函數(shù) 的二階偏導(dǎo)數(shù) （7-4）其中 及 稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù)定理1 如果函數(shù) 在區(qū)域 上的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù) 連續(xù)，則在區(qū)域 上有注 定理1說(shuō)明：當(dāng)二階混合偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域 上連續(xù)時(shí)，求導(dǎo)結(jié)果與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān)這個(gè)定理也適用于三元及三元以上的函數(shù) 三、復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 1多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（1）多元復(fù)合函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)定理2 設(shè)一元函數(shù) 與

10、在 處均可導(dǎo)，二元函數(shù) 在 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) 處有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ，則復(fù)合函數(shù)對(duì) 的導(dǎo)數(shù)存在，且有 應(yīng)用上述公式時(shí)，可通過(guò)圖7-11表示函數(shù)的復(fù)合關(guān)系和求導(dǎo)的運(yùn)算途徑來(lái)進(jìn)行在圖7-11中，一方面，從 引出的兩個(gè)箭頭指向 表示是 的函數(shù)；同理， 又同是 的函數(shù)另一方面，從 到 的途徑有兩條，表示 對(duì) 的導(dǎo)數(shù)包括兩項(xiàng)；每條途徑有兩個(gè)箭頭組成，表示每項(xiàng)由兩個(gè)導(dǎo)數(shù)相乘而得，其中，每個(gè)箭頭表示一個(gè)變量對(duì)某變量的偏導(dǎo)數(shù)如 分別表示 對(duì)一元函數(shù)取導(dǎo)數(shù)符號(hào)，對(duì)多元函數(shù)取偏導(dǎo)數(shù)符號(hào)圖 7-11 xvuZ（2）多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定理3 設(shè)函數(shù) 關(guān)于 具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，而 與 它們關(guān)于 、的一階偏導(dǎo)數(shù)都存在，則復(fù)合函

11、數(shù) 對(duì)于 、 的偏導(dǎo)數(shù)存在，且應(yīng)用定理3的結(jié)論時(shí)，可通過(guò)圖7-12表示的函數(shù)復(fù)合關(guān)系和求導(dǎo)運(yùn)算途徑去求導(dǎo)圖 7-12 yxvuZ當(dāng) 時(shí)，則其求導(dǎo)公式參考關(guān)系圖7-13得 y x w圖 7-13 v u Z當(dāng) 時(shí)，則其求導(dǎo)公式參考關(guān)系圖7-14得圖 7-14 v y t x u Z當(dāng) ， ， 時(shí)，則其求導(dǎo)公式參考關(guān)系圖7-15得其中， 通往 的途徑只有一條，因此 只有一項(xiàng). 圖 7-15 y x v u Z2隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 （1）一元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式設(shè)二元方程 確定了一元函數(shù) ，若 ，則（2）二元隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 設(shè)三元方程 確定了二元隱函數(shù) ，若 連續(xù)，且 ，則 四、二元函數(shù)的極值及其求法1

12、 二元函數(shù)的極值概念定義3 設(shè)二元函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)異于 的點(diǎn) 都有 （或 ），則稱 為二元函數(shù) 的極大值（或極小值）極大值和極小值統(tǒng)稱為極值使二元函數(shù) 取得極大值（或極小值）的點(diǎn) 稱為極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)），極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)2 二元函數(shù)極值的必要條件定理4 （極值存在的必要條件）設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的偏導(dǎo)數(shù) 、 存在，且在 點(diǎn)處有極值，則在 點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)必為零，即 3 二元函數(shù)極值的充分條件定理5 （極值存在的充分條件）設(shè) 是二元函數(shù) 的駐點(diǎn)，且二元函數(shù)在 點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，令則二元函數(shù) 在點(diǎn) 處是否取得極值的條件如下：（1）當(dāng)

13、且 時(shí)， 是極大值，當(dāng) 且 時(shí)， 是極小值；（2）當(dāng) 時(shí)， 不是極值；（3）當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 在點(diǎn) 可能有極值，也可能沒(méi)有極值 求二元函數(shù) 極值的步驟（1）先求偏導(dǎo)數(shù) ；（2）解方程組 求出駐點(diǎn)；（3）求出駐點(diǎn)處的值及 的符號(hào)，據(jù)此判定出極值點(diǎn)，并求出極值 4 最大值與最小值求有界閉區(qū)域 上二元函數(shù)的最大值和最小值時(shí)，首先要求出函數(shù)在 內(nèi)的駐點(diǎn)、一階偏導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)處的函數(shù)值及該函數(shù)在 的邊界上的最大值、最小值，比較這些值，其中最大者，就是該函數(shù)在閉區(qū)域 上的最大值，最小者就是該函數(shù)在閉區(qū)域 上的最小值求二元函數(shù)在區(qū)域 上的最大值和最小值，往往比較復(fù)雜，因?yàn)檫吔缟嫌袩o(wú)數(shù)多點(diǎn)，但是如果根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意

14、義，知道函數(shù)在該區(qū)域 內(nèi)存在最大值（或最小值），又知函數(shù)在 內(nèi)具有一階及二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且只有唯一的駐點(diǎn)，則駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是所求的最大值（或最小值）5 條件極值在許多實(shí)際問(wèn)題中，求多元函數(shù)的極值時(shí)，其自變量常常受一些條件的限制，這類問(wèn)題稱為條件極值問(wèn)題當(dāng)約束條件比較簡(jiǎn)單時(shí)，條件極值問(wèn)題可直接化為無(wú)條件極值問(wèn)題來(lái)處理解決一般條件極值問(wèn)題的一種方法拉格朗日乘數(shù)法 求函數(shù) 在條件 下的極值1. 構(gòu)造輔助函數(shù) 稱為拉格朗日函數(shù)， 稱為拉格朗日乘數(shù)；2. 建立方程組即 解方程組得可能的極值點(diǎn) 在實(shí)際問(wèn)題中，往往就是所求的極值點(diǎn)第三節(jié) 全 微 分 一、全微分的概念 二、全微分形式的不變性三、全微分在近

15、似計(jì)算中的應(yīng)用一、全微分的概念 為二元函數(shù) 在點(diǎn) 處的全增量. 上面兩式分別稱為二元函數(shù) 對(duì) 和對(duì) 的偏增量. 定義 如果二元函數(shù) 在點(diǎn) 處的全增量 可以表示成 （7-18）其中 與 無(wú)關(guān)僅與 有關(guān)， 是較 的高階無(wú)窮小，即 ，則稱 為函數(shù) 在點(diǎn) 處的全微分，記為 ，即對(duì)于二元函數(shù) 連續(xù)、可導(dǎo)與可微三者之間的關(guān)系又如何呢？在第二節(jié)我們知道了函數(shù) 在點(diǎn) 處偏導(dǎo)數(shù)存在，不能保證函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù)，若函數(shù)在點(diǎn) 處可微能否保證函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在呢？定理1 如果函數(shù) 在點(diǎn) 處可微，則函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù) 定理2（可微的必要條件） 如果函數(shù) 在點(diǎn) 處可微，則函數(shù) 在點(diǎn) 處的偏導(dǎo)數(shù) 存在，而且有上

16、式的右端分別稱為二元函數(shù) 對(duì) 和對(duì) 的偏微分注 一元函數(shù)中，可微與可導(dǎo)是等價(jià)的，但在多元函數(shù)中，這個(gè)結(jié)論并不成立 定理3（可微的充分條件） 如果函數(shù) 在點(diǎn) 處的偏導(dǎo)數(shù) 連續(xù)，則函數(shù) 在點(diǎn) 處可微二元函數(shù)全微分的概念可以類似地推廣到三元及其以上的函數(shù)設(shè)三元函數(shù) ，如果三個(gè)偏導(dǎo)數(shù) 都連續(xù)，則它可微且其全微分為二、全微分形式不變性設(shè)函數(shù) 具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分 無(wú)論 是自變量還是中間變量，全微分形式都是一樣的這個(gè)性質(zhì)就是全微分形式不變性 利用全微分形式不變性可以降低復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的難度，在第十章學(xué)習(xí)微分方程知識(shí)時(shí)還要用到 *三、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 第四節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué) 在幾何上的應(yīng)用 一、空間曲線的切線與法平面二、曲面的切平面與法線一、空間曲線的切線與法平面定義1 設(shè) 是空間曲線 上的一點(diǎn)， 是 上的另一點(diǎn)（圖7-16）則當(dāng)點(diǎn) 沿曲線 趨向于點(diǎn) 時(shí)，割線 的極限位置 （如果存在），稱為曲線 在點(diǎn) 處的切線過(guò)點(diǎn) 且與切線垂直的平面，稱為曲線 在點(diǎn) 處的法平面M0MTOzyx圖 7-161. 設(shè)曲線 的參數(shù)方程為則曲線 在點(diǎn) 處的切線 的方程為切線 的方向向量 為 曲線 在點(diǎn) 處的法平面的方程為 2設(shè)空間曲線 的方程為曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為 曲線 在點(diǎn) 處的法平面方程為曲線 在點(diǎn) 處的法向量為二、 曲面的切平面與法線定