1、指數(shù)分布與其它分布的關(guān)系作者：劉國祥來源：赤峰學(xué)院學(xué)報自然科學(xué)版2011年第12期劉國祥（赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰024000）摘 要：從指數(shù)分布的特征出發(fā)，通過了討論討論指數(shù)分布與其它分布的關(guān)系，從而體現(xiàn) 了指數(shù)分布在概率統(tǒng)計中的作用.關(guān)鍵詞：概率統(tǒng)計；指數(shù)分布；正態(tài)分布；均勻分布；幾何分布中圖分類號：O221.8文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1673-260X（2011）12-0012-03正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布是最常用的三個連續(xù)型分布.由于正態(tài)分布和均勻分布具 有明顯的集合直觀，常見并且易于理解的現(xiàn)實(shí)模型，因此在教材1，2和文獻(xiàn)中對于它們的討 論都比較詳細(xì).而關(guān)于指數(shù)分布的討

2、論相對就比較少3, 4，沒有引起人們的足夠認(rèn)識.下面從指數(shù)分布的特征出發(fā)，分幾個方面通過了討論討論指數(shù)分布與其它分布的關(guān)系， 從而體現(xiàn)了指數(shù)分布在概率統(tǒng)計中的作用.1指數(shù)分布及其特征連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)的U f If JX也I . 1 * 4 I . 1. lai j 二 Mj h.的柏IH弛弁mwjm 宣明I FM WMwl- IL蝦六Ilf tfk m |Y：I Irfc:。 U I! Zj X bkl F. TOC o 1-5 h z I 如 汗-ftj Jti H,Vix u. i x . i -bih生由；I n/FfFH nHr珀弁如H 占刊】si叩玷x e j l m禮

3、頓Kr RFj lhl. -Q- M X 1蝦 M E f勺V|行 占. Kf-I* Hr IU-ftj- r (+ Ji1. eTK=A i ifllu LKd-.vi I11白IM于作寤的iELl然致杵s國此匚村V布具有無毗性的禺散此分布，并且.兒啊#布唁 耳有匚兄/忙的禹訕I(yè)J1/1分布的數(shù)學(xué)期.型；F叫它的數(shù)學(xué)期望與指數(shù)分布具有相同的參數(shù)的倒數(shù)形式.為什么幾何分布與指數(shù)分布有如此多的相同形式呢？服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量表示的是 某些“易碎品”的“壽命”，如電子元件、玻璃制品等.雖然它們的“壽命”與多種因素有關(guān)， 但是有一種因素是決定性的，也就是“致命”的.它正好與“服從正態(tài)分布是與多種相

4、互獨(dú)立的 因素有關(guān)，但是沒有一種因素是起決定作用”相反.而幾何分布是一種“直到為止”型的概率分布，也是一種“壽命”.電子元件的“壽命”服從指數(shù)分布，如果電子元件是否損壞的決定因素是電壓，在連續(xù) 使用過程中，雖然有多種因素，但是“直到”電壓達(dá)到元件不可承受范圍內(nèi)，它的“壽命”就 “為止”.相互獨(dú)立的射擊，直到擊中為止，射擊次數(shù)服從幾何分布.被槍手離散地射擊，直到擊中， 它的“壽命”就“為止”了.從而我們看到，幾何分布與指數(shù)分布具有相同的原理，只是其一為離散型，另一個為連 續(xù)型.所以具有許多相同（或相似）的性質(zhì).3指數(shù)分布與泊松分布的關(guān)系泊松分布是重要的離散型分布，他與社會生活密切相關(guān)，如電話交換

5、臺中來到的呼叫次 數(shù)、公共汽車站來到的乘客數(shù)、放射性分裂落到某區(qū)域的質(zhì)點(diǎn)數(shù)，甚至母雞下蛋的個數(shù)、雞蛋 孵化成小雞的個數(shù).指數(shù)分布與泊松分布有如下的關(guān)系：；1 r JHl&L 擊K AAjfrd；孫 hi 的M松-! 怕 s klH|營網(wǎng)U M. ?-J K rtfj/| LII J Ml +.!L UJ * I#樣 童土為 *F kN心的 4/ 43 ” * !.11X-k Afwm i 冊一次 宛以 wmi-i 4dji u.1*1 *T 1- nJ 沖為蝕珀-ELI! Irfi lp ml Wmi i 引I ik? . wi 為 rr 沖 tiy im mi -內(nèi) 士仟專三 at-r.r

6、t 1 t王小網(wǎng)E tri flT )2.i m mi ln EL.己單位時間內(nèi)母雞下蛋的個數(shù)服從泊松分布，而兩次下蛋的時間間隔服從指數(shù)分布.4指數(shù)分布與均勻分布的關(guān)系指數(shù)分布和均勻分布同為連續(xù)型分布，它們之間有如下關(guān)系：定理2隨機(jī)變量X服從參數(shù)為?姿的指數(shù)分布的充分必要條件是隨機(jī)變量、| IJ4 MW. I j_|_ ftJ 1 J : j- aT| iii =*：機(jī)at * oh a a wj+pi- ak y* 命. u H M1B i-FS I U. .n4 HKhM Ifti V - I ! i !i|*I I *KJ M&J * f|Fzy dn| t lu i - ta I ai

7、 FU k, I IO 1 - 土。M V 7 * !W ME 鳴口 做I 3- 1-I* I .ii i a. xr的竺ihj ,V nWW時=ppiu 哪=.q.也y M x iVYS： 氣=Lrhr4.I f，從而，妙I(lǐng) N槌年榕冷由玷如X珂版白機(jī)您ti x ipa賦 舉嫩 * a.泊拍款 分 布.5指數(shù)分布與正態(tài)分布的關(guān)系指數(shù)分布和正態(tài)分布同為連續(xù)型分布，正態(tài)分布可以說是最重要的一種概率分布.它和指 數(shù)分布之間有如下關(guān)系.定理3隨機(jī)變量X, Y相互獨(dú)立，都服從正態(tài)分布N(0,?姿2),則Z=X2+Y2服從指數(shù)分布.證明 顯然Z=X2+Y230,由于隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，則(X,Y)的

8、聯(lián)合分布密度函數(shù)為Ih .ylnxT-islFi.a i1 、3 wr k%. .3-TV Jta. 2:K r w k a n 她 Hl 塵 RpT K壬r fh tA *f .rini 一*era l V 、 f 上.二-商“5虹. Sr .J. J L 1 MP | IS - 4 nl TOC o 1-5 h z I r H-hj J .WU X，的 * *tJ IT； fMi 城SR- HIW1- %5r、lt 2J 7 Vii 了 k 日rPi l：1 Uj z；=、, i UN *A E 做 k m I _, l lU 幣購丹整6指數(shù)分布的推廣形式經(jīng)典教材1,2都只介紹了二元均勻分

9、布和二元正態(tài)分布而沒有涉及二元指數(shù)分布.文獻(xiàn) 3給出了指數(shù)分布的一種推廣形式，并在文獻(xiàn)4把它應(yīng)用到藥物在機(jī)體內(nèi)分布中.文獻(xiàn)5 介 紹了多元Marshll-Olkin型指數(shù)分布.埃爾蘭分布的密度函數(shù)為卿相正慷網(wǎng)當(dāng)r=1時，就是指數(shù)分布.則埃爾蘭分布就是指數(shù)分布的一種推廣形式.分布豹密度函數(shù)為七舊隊其它其中兇m它是埃爾蘭分布的推廣，當(dāng)然也是指數(shù)分布的一種推廣形式.此外，關(guān)于分布的可加性：同泊松分布且相互獨(dú)立的n個隨機(jī)變量之和仍服從泊松分布， 同正態(tài)分布且相互獨(dú)立的n個隨機(jī)變量之和仍服從正態(tài)分布，同兩點(diǎn)分布且相互獨(dú)立的n個隨 機(jī)變量之和仍服從二項(xiàng)分布，同正態(tài)分布且相互獨(dú)立的n個隨機(jī)變量的線性組合仍服從正態(tài)分 布.aim.敷為心的廿m.也 恨廈*戳力 口 分布i_伸星.宅韋樸睥.彬8向陪做計俐11枷“ m氐 浴 1- KU機(jī)理& z 1 II mt鼻守怖點(diǎn)ff- HEEj*布.己* 不恥花岐所中一iHtn ni-2nal*a=-l.?(l*K3 MIB:在橄地 為3： *iZ心官Xjsr-jCi:Mt它仲術(shù)堡 陽說疔fli. 1楓/汁fti也H fl-J UiifL.參考文獻(xiàn)：1)李賢平.概率論基礎(chǔ)(第二版)M.高等教育出版社，1979. 4, 116, 128.2)魏宗舒，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程M.高等教育出版社，