1、小波分析課程教學大綱 課程編碼：171120210課程性質：專業方向任選課程適用專業： 數學與應用數學專業學時學分： 32學時 2學分所需先修課：數學分析、高等代數、復變函數、實變函數、泛函分析編寫單位： 數學與信息科學系一、課程說明 1、課程簡介小波分析是近年來數學與應用數學領域迅速發展的新分支，它在理論上和應用上都取得了令人矚目的成就。“小波”就是小的波形。所謂“小”是指它具有衰減性；而稱之為“波”則是指它的波動性，其振幅正負相間的震蕩形式。與Fourier變換相比，小波變換是時間(空間)頻率的局部化分析，它通過伸縮平移運算對信號函數逐步進行多尺度細化，最終達到高頻處時間細分，低頻處頻率細

2、分，能自動適應時頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意細節，解決了Fourier變換的困難問題，成為繼Fourier變換以來在科學方法上的重大突破。有人把小波變換稱為“數學顯微鏡”。 2、教學目標要求 通過本課程的講授應當有助于培養學生分析問題和解決問題的能力；使學生掌握小波分析的基本理論和基本思想，獲得較熟練的演算技能和初步應用的能力，為學生以后的學習打下基礎。3、教學重點難點教學重點包括Haar小波的定義及其標準正交完備性的證明、多分辨率分析的定義及基本理論、從多分辨率分析出發構造標準正交小波基的過程及構造定理的證明。教學難點包括Haar小波的定義及其標準正交完備性的證明、多分辨率分析的

3、定義及基本理論、從多分辨率分析出發構造標準正交小波基的過程及構造定理的證明。4、考核方式 本課程講授一個學期，采用開卷筆試的形式，綜合平時成績（20%），期末考試（80%）的成績按百分制評定本課程的成績.5、學時分配表章次教學內容理論課學時數實驗（實踐）課學時數1函數與收斂(4學時)42Fourier級數(4學時)43Fourier變換(4學時)44信號與系統(4學時)45Haar小波(6學時)66離散Haar小波變換（2學時）27多分辨率分析8總計32二、各部分教學綱要第一章 函數與收斂（4學時） 教學目標掌握有界函數、可積函數、平方可積函數、可微函數的定義、性質及四類函數間的關系；掌握數列

4、收斂、點態收斂、一致收斂、平均收斂及均方收斂的定義、性質及五種收斂之間的關系。掌握極限號與積分號交換的幾個重要定理本章重點四類函數的定義及關系、五種收斂的定義及關系、極限號與積分號換序的定理本章難點極限號與積分號換序的定理教學內容四類函數的定義及關系、五種收斂的定義及關系、極限號與積分號換序的定理第二章 Fourier級數(4學時) 教學目標掌握三角級數、廣義Fourier級數的定義及收斂性定理本章重點三角級數、廣義Fourier級數的收斂性定理本章難點三角級數、廣義Fourier級數的收斂性定理教學內容三角級數、廣義Fourier級數的定義及收斂性定理第三章 Fourier變換（4學時) 教

5、學目標掌握Fourier變換的定義與性質、掌握卷積的定義與性質、掌握plancherel公式與parseval公式、掌握伸縮、平移、旋轉算子的定義及運算性質本章重點 Fourier變換的定義與性質、卷積的定義與性質、 plancherel公式與parseval公式、伸縮、平移、旋轉算子的定義及運算性質本章難點卷積的性質、plancherel公式與parseval公式教學內容Fourier變換的概念、性質、逆Fourier變換、卷積、plancherel公式、光滑性與衰減性、伸縮平移旋轉算子第四章 信號與系統 (4學時) 教學目標掌握信號及其Fourier變換的定義、掌握幾類系統的定義、掌握一個

6、系統是穩定的線性平移不變系統的充要條件本章重點一個系統是穩定的線性平移不變系統的充要條件本章難點一個系統是穩定的線性平移不變系統的充要條件教學內容 信號與系統第五章 Haar小波(6學時) 教學目標理解二進階梯函數的定義、掌握Haar尺度函數和Haar小波函數的定義、理解Haar函數的正交性與完備性、會將特征函數在Haar基下展開本章重點Haar函數系的正交性、Haar函數系的完備性本章難點Haar函數系的完備性教學內容二進階梯函數、 實直線上的Haar系、Haar系的標準正交性與完備性、 Haar級數與Fourier級數比較第六章 離散Haar小波變換(2學時) 教學目標掌握一維DHT的分解

7、與重構算法、理解二維DHT的分解與重構算法、了解DHT的圖像分析本章重點一維DHT的分解與重構算法本章難點二維DHT的分解與重構算法教學內容離散Haar小波變換、二維離散Haar小波變換、DHT的圖像分析第七章 多分辨率分析(8學時) 教學目標掌握平移的標正系的幾個等價條件、熟練掌握MRA的定義及性質、掌握標準正交小波基的構造方法、理解掌握尺度函數的必要條件本章重點平移的標正系的等價條件、MRA的定義與性質、標準正交小波基的構造方法、尺度函數的必要條件本章難點MRA的定義與性質；標準正交小波基的構造方法教學內容平移的標準正交系、MRA的定義與性質、MRA的一些例子、標準正交小波基的構造、標準正交小波基的構造定理的證明、尺度函數的必要條件三、使用教材及參考書使用教材：Edwards Brothers, An introduction to wa