1、教版義務教育課程標準實驗教材數學九年級下冊，是本套教材中的最后一冊。這冊書包括4章，約需48課時，供九年級下學期使用。具體內容如下： 第26章 二次函數 （約12課時）第27章 相似 （約13課時）第28章 銳角三角函數 （約12課時）第29章 投影與視圖 （約11課時）一、內容分析第26章 二次函數本章主要研究二次函數的概念、圖象和基本性質，用二次函數觀點看一元二次方程，用二次函數分析和解決簡單的實際問題等。這些內容分為三節安排。第26.1節“二次函數”首先從簡單的實際問題出發，從中引發和歸納出二次函數的概念；然后由函數開始，逐步深入地、由特殊到一般地、數形結合地討論圖象和基本性質，最后安排

2、了運用二次函數基本性質探究最大（小）值的問題。這些內容都是二次函數的基礎知識，它們為后面兩節的學習打下理論基礎。第262節“用函數觀點看一元二次方程”從一個斜拋物體（例如高爾夫球）的飛行高度問題入手，以給出二次函數的函數值反過來求自變量的值的形式，用函數觀點討論一元二次方程的根的幾種不同情況，最后結合二次函數的圖象（拋物線）歸納出一般性結論，并介紹了利用圖象解一元二次方程的方法。這一節是反映函數與方程這兩個重要數學概念之間的聯系的內容。第263節“實際問題與二次函數”安排了三個探究性問題，以商品價格、磁盤存儲量和拱橋橋洞的有關問題為背景，運用二次函數分析和解決實際問題。教材從實際問題出發，引導

3、學生分析問題中的數量關系，建立相應的數學模型即列出函數關系式，進而利用二次函數的性質和圖象研究問題的解法。通過這一節的學習可以使學生對解決實際問題的數學模型的認識再提高一步，從而提高運用數學分析問題和解決問題的能力。本章教學結束之后，學生在已經學習了一次函數（包括正比例函數）、反比例函數和二次函數，這些都是代數函數，即解析式中只涉及代數運算（加、減、乘、除、乘方、開方）的函數。至此，學生對函數的認識已告一段落。本冊書后面的第28章“銳角三角函數”討論的則屬于超越函數。第27章 相似本章的主要內容包括相似圖形的概念和性質，相似三角形的判定，相似三角形的應用舉例和位似變換等。此前學習的全等是圖形之

4、間的一種特殊關系，而本章學習的相似是比全等更具一般性的圖形之間的關系。全等可以被認為是特殊的相似（相似比為1），對于全等的認識是學習相似的重要基礎。本套教材從第八章“全等三角形”開始，在學習要求上已進入推理證明階段。本章的學習應在前面已有基礎上繼續進行必要的推理證明，但要把握問題的難度，不宜證明難度較大的題目，而把證明的重點放在幫助學生理解基本定理的合理性之上。第27.1節“圖形的相似”從學生熟悉的一些實際問題說起，引出相似圖形的概念，以及相似多邊形的概念、性質等，使學生對相似先有一個一般性的認識。第27.2節“相似三角形”的內容是討論最基本的多邊形三角形的相似關系，這是認識相似關系的基礎，也

5、是本章的重點內容。教材首先安排了證明了“過三角形一邊中點且平行于另一邊的直線，截出的三角形與原三角形相似”，然后將其推廣到更一般的結論“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似”。在此基礎上，教材安排了三個探究問題，引導學生得出相似三角形的三種主要判定方法。教材對于其中第一個問題進行了推導證明，另兩個問題的推導證明安排學生自己完成。接著，教材通過三個例題討論在測量中如何利用相似三角形的知識，這些例題代表了測量中的常見典型問題。本節最后安排了相似三角形的周長和面積問題。第273節“位似”討論一種圖形變換位似變換。位似是一種特殊的相似，它的特殊性表現在“兩個相似圖形的對應

6、點的連線都交于一點（位似中心）”。教材安排了利用坐標描述位似變換的內容，這是數形結合方法的體現。本套教材中先后共出現了四種圖形變換：平移、軸對稱、旋轉和位似，本節最后安排了一幅包含這四種變換的圖案，學生通過思考圖案中的問題，可以對四種變換進行綜合回顧。第28章 銳角三角函數本章主要內容包括：銳角三角函數（正弦、余弦和正切），解直角三角形。銳角三角函數是自變量為銳角時的三角函數，即縮小了定義域的后的三角函數。解直角三角形在實際當中有著廣泛的應用，銳角三角函數為解直角三角形提供了有效的工具。相似三角形的知識是學習銳角三角函數的直接基礎，勾股定理等內容也是解直角三角形時經常使用的數學結論，因此本章與

7、第18章“勾股定理”和第27章“相似”有密切關系。銳角三角函數是本套教材中唯一出現過的初等超越函數，出現過的其他函數（一次函數、二次函數等）都是代數函數。銳角三角函數的一個突出特點是概念的產生和應用都與圖形分不開。銳角三角函數具有鮮明的幾何意義，其自變量是角， 函數值是直角三角形中邊長的比值。學習本章不僅可以使學生對函數概念的認識更全面，而且可以對用變化和對應的觀點討論幾何圖形問題的方法認識得更深入。第28.1節“銳角三角函數”中，教材從沿山坡鋪設水管的問題談起，通過討論直角三角形中直角邊與斜邊的比，使學生感受到銳角的大小確定后相應邊的比也隨之確定，而且不同的角度對應不同的比值，這種對應正是函

8、數關系。教材設置了“探究”欄目，讓學生通過自主探究，利用相似三角形得出結論，由此引出正弦函數的概念。在此基礎上，引導學生類比對正弦函數的討論，得出余弦函數和正切函數的定義。接著教材討論了“已知角的大小求它的三角函數值”和“已知角的三角函數值求角”這兩種問題，這樣就從兩個相反方向再次強調了銳角與其三角函數值之間的一一對應關系。現在計算器已經成為學習和運用三角函數的有力工具，教材在本節最后介紹了如何使用計算器求三角函數值以及如何由三角函數值求對應的角。第28.2節“解直角三角形”中，教材借助實際問題背景，要求學生探討在直角三角形中，根據兩個已知條件（其中至少有一個是邊）求解直角三角形，并歸納出解直

9、角三角形常用的知識和方法。接著教材又結合四個實際問題介紹了解直角三角形在實際中的應用，這些問題的已知條件分別屬于幾種不同類型，解決方法具有典型性，體現了正弦、余弦和正切這幾個銳角三角函數在解決實際問題中的作用。本節最后通過對比測量大壩的高度與測量山的高度，直觀形象地介紹了“化整為零，積零為整”，“化曲為直，以直代曲”的數學基本思想。第29章 投影與視圖本章的主要內容包括投影和視圖的基礎知識，一些基本幾何體的三視圖，簡單立體圖形與它的三視圖的相互轉化，根據三視圖制作立體模型的實踐活動。全章分為三節。第29.1 節“投影”中，首先從物體在日光或燈光下的影子說起，引出投影、平行投影、中心投影、正投影

10、等概念；然后以鐵絲和正方形紙板的影子為例，討論當直線和平面多邊形與投影面成三種不同的位置關系時的正投影，歸納出其中蘊涵的正投影的一般規律；最后以正方體為例，討論立體圖形與投影面成不同位置關系時的正投影。整個討論過程是按照一維、二維和三維的順序發展的。第29.2節“三視圖”討論的重點是三視圖，其中包括三視圖的成像原理、三視圖的位置和度量規定、一些基本幾何體的三視圖等，最后通過6道例題討論簡單立體圖形（包括相應的表面展開圖）與它的三視圖的相互轉化。這一節是全章的重點內容，它不僅包括了有關三視圖的基本概念和規律，而且包括了反映立體圖形和平面圖形的聯系與轉化的內容，與培養空間想象能力有直接的關系。第2

11、93節“課題學習 制作立體模型”中，安排了觀察、想象、制作相結合的實踐活動，這是動腦與動手并重的學習內容。進行這個課題學習既可以采用獨立完成的形式，也可以采用合作式學習的方式。應該把這個課題學習看作對前面學習的內容是否切實理解掌握以及能否靈活運用的一次聯系實際的檢驗。與本套教材其他章相比較，本章內容有兩個特點：第一，它與直觀圖形的關系密切，需要在圖形形狀方面進行想象和判斷，要完成的題目多是識圖、畫圖、制作模型等類型的問題，而很少涉及定量的計算。第二，它將平面圖形與立體圖形緊密地聯系起來，從“由物畫圖”和“由圖想物”兩個角度討論平面圖形與立體圖形之間的相互轉化，對于培養空間想象能力具有特殊作用。

12、二、教學建議1溫故知新，與時俱進，加強新舊所學內容的聯系，在新的高度上提高對所學知識的整體性認識本冊書是本套教科書中的最后一冊，學習其中各章時應關注它們與此前已經學知識的聯系，既要溫故知新，又要與時俱進，在新的高度上對所學內容加以梳理，提高對所學知識的整體性認識。第26章“二次函數”，是本套教科書繼研究一次函數、反比例函數后以基本代數函數為研究對象的又一章。它的編寫思路、內容結構等與前面的“一次函數”、“反比例函數”有許多相似的地方，都反映了“變化與對應”的基本觀點，都體現了函數是解決變量間存在單值對應關系的數學模型，都滲透了綜合運用函數解析式和函數圖象的數形結合研究方法。本章的教學應注意在前

13、面已學內容基礎上學習新知識，同時應繼續加深對函數的一般性認識。第27章“相似”中的27 .3節“位似”講的是本套書中的第四種圖形變換，此前先后已經學習的三種圖形變換為平移、軸對稱、旋轉。對于這一節的教學，除要緊緊抓住相似形的相關知識外，還應在學生對圖形變換已有一定認識的基礎上，繼續滲透圖形變換的本質（即點到點的映射）的觀點，將圖形變換與其坐標變換聯系起來，并對四種圖形變換進行綜述與比較。第28章“銳角三角函數”的教學中，應注意將此前學習的三角形、相似等幾何知識與函數知識結合起來，認識銳角三角函數的本質，即以銳角為自變量，直角三角形中相應邊的比為因變量（函數）的初等函數。第29章“投影與視圖”的

14、教學中中，應注意將重點放在培養空間想象能力上，在學生已有的有關投影和視圖投影和視圖投影和視圖的初步感性認識（從不同方向看物體的感覺等）的基礎上，適當引入投影與視圖的基本概念，歸納正投影的基本規律，借助直觀模型說明問題，結合實際例子討論問題，作好由感性認識到理性認識的過渡，著重反映平面圖形與立體圖形兩者的聯系與轉化，并揭示出這些聯系與轉化的基礎是投影規律。綜上分析，本冊書的教學應結合學生的實際情況，對以前所學內容進行適當復習，加強知識間的相互聯系與綜合，在學生已有經驗的基礎上進行教學，使學生的學習形成正遷移。同時應注意進行適當的歸納總結，加深和完善對初中階段知識的整體性認識。2直觀實驗與邏輯證明

15、相結合，適度地培養推理能力本套教科書對于推理能力的培養有循序漸進的整體設計，即按照“說點兒理”、“說理”、“簡單推理”、“用符號表示推理”等不同層次分階段逐步加深地安排。本冊書是九年級下學期的用書，一方面，對于學生的推理能力的要求，應在前面已有高度的基礎上以“一以貫之”的精神來處理，即保持已有水平并適度地使之發展。另一方面，本冊書的知識內容的難度和綜合性較前面幾冊要高，例如相似要比全等復雜，銳角三角函數要以相似三角形為基礎，投影與視圖不僅與平面圖形相關，而且要涉及立體幾何中的一些基礎知識，其中包括空間中直線與直線（簡稱線線）、直線與平面（簡稱線面）、平面與平面（簡稱面面）的位置關系（相交、垂直

16、和平行），因此對本冊書中問題的推理要求應適度。教學中，對本冊書所有內容都完全純粹地按照嚴格邏輯證明來要求是不合適的，對于某些內容可以采取直觀實驗與邏輯推理相結合的方式。例如，認識相似三角形的判定條件時，可以先通過畫圖和度量等實驗手段得出猜想，然后再經過邏輯推理證明猜想，得出確切的判定條件。這種方法不是先由教科書或教師直接告訴學生結論，然后再去證明它，而是先用直觀實驗發現結論，在經過推理肯定結論。又如，學生學習投影與視圖之前缺乏對立體幾何的系統學習，而學習中又不可避免地涉及立體幾何中的一些基礎知識，解決這個問題的比較好的做法是重視相關內容與實際的聯系，在不刻意追求對抽象概念有透徹理解的前提下，選

17、擇一些實例，利用直觀的、感性的認識，使學生能結合例子了解基本空間位置關系。教學中可以動態地展示模型，利用直觀演示，比較幾種不同的空間位置關系，使學生能夠聯系例子認識到“像那樣，就是一條直線平行（或垂直，或傾斜）于一個平面”等。需要指出，推理不完全限制在邏輯證明之中。雖然第29章“投影與視圖”中內容要完成的題目多是識圖、畫圖、制作模型等類型的問題，很少涉及定量的計算，也沒有形式上的證明，但是其中許多問題需要以圖形為對象進行想象和分析，判斷三視圖與立體圖形之間的對應關系，確定立體圖形各部分的相對位置關系，得出圖形的整體形狀等，這些都需要根據一定道理下結論，實際上包含了推理的成分。再如，在解直角三角

18、形的學習中，雖然大量的問題是計算題，但是這些計算都是建立在對圖形進行了必要的分析的基礎上的，計算過程中隱含了推理。總之，本冊書中多處涉及推理，教學中既要注意進一步培養學生的推理能力，使初中畢業生的數學推理水平達到應有高度，又要注意掌握推理訓練的方式、數量和難度。3重視信息技術的應用在教學中，有條件的學校還是要重視信息技術工具的使用。用某些計算機畫圖軟件（如幾何畫板），可以方便地畫出二次函數的圖象，進而從圖象探索二次函數的性質。例如，用計算機軟件畫出函數y=ax2+bx+c的圖象，拖動圖象上的一點P, 讓這點沿拋物線移動，觀察動點坐標的變化，可以發現：圖象最低點或最高點的坐標，也就是說，當x取這點的橫坐標時，y有最小值或最大值；當x小于這點的橫坐標時，y隨x的增大而減小（增大），當x大于這點的橫坐標時，y隨x的增大而增大（減小）。利用計算機軟件的畫圖功能，很容易利用二次函數的圖象解一元二次方程。要解方程ax2+bx+c=0，只要用計算機軟件畫出相應拋物線y=ax2+bx+c，再讓計算機軟件顯示拋物線與x軸的公共點的坐標，就能得出要求的方程的根。利用信息技術工具，可以很方便地制作圖形，可以很方便地讓圖形動起來。許多計算機軟件還具有測量