1、第PAGE 頁碼16頁/總NUMPAGES 總頁數(shù)16頁Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for .NET.專題17 圓錐曲線中的一類定點問題一、結(jié)論若圓錐曲線中內(nèi)接直角三角形的直角頂點與圓錐曲線的頂點重合,則斜邊所在直線過定點.(1)對于橢圓()上異于右頂點的兩動點,以為直徑的圓經(jīng)過右頂點,則直線過定點.同理,當(dāng)以為直徑的圓過左頂點時,直線過定點.(2)對于雙曲線上異于右頂點的兩動點,以為直徑的圓經(jīng)過右頂點,則直線過定點.同理,對于左頂點,則定點為.(3)對于拋物線上異于頂點的兩動點,若,則弦所在直線過點.

2、同理,拋物線上異于頂點的兩動點,若,則直線過定點.二、典型例題1（2022安徽蚌埠高二期末）已知直線l與拋物線交于不同的兩點A，B，O為坐標(biāo)原點，若直線的斜率之積為，則直線l恒過定點（）ABCD【答案】A【詳解】設(shè)直線方程為 ，聯(lián)立 ，整理得： ，需滿足 ，即 ，則 ，由 ，得： ，所以 ，即 ，故 ，所以直線l為：，當(dāng)時，即直線l恒過定點，故選：A.另解：對于拋物線上異于頂點的兩動點,若,則弦所在直線過點,本題中由于直線的斜率之積為，所以，直接使用二級結(jié)論，所在直線過點，即.【反思】圓錐曲線過定點問題，是一類重點提醒，在選擇填空題中，先判斷是否符合可以使用二級結(jié)論，在符合的情況下，小題可以直

3、接使用二級結(jié)論，解答題可以把二級結(jié)論當(dāng)做工具試探答案，但是不可以直接使用二級結(jié)論，如確實要用，需先證后用.2（2021安徽合肥市第六中學(xué)高三開學(xué)考試（文）已知拋物線，和分別為拋物線上的兩個動點，若（為坐標(biāo)原點），弦恒過定點，則拋物線方程為（）ABCD【答案】B【詳解】若直線與軸重合，此時直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意.設(shè)點、，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去可得，所以，因為，則，解得.因此，拋物線的方程為.故選：B.另解：對于拋物線上異于頂點的兩動點,若,則弦所在直線過點,本題中由于,符合使用條件，由于弦恒過定點，所以.【反思】圓錐曲線過定點問題，是一類重點提醒，在選擇填空題中，先判斷是否符合

4、可以使用二級結(jié)論，在符合的情況下，小題可以直接使用二級結(jié)論，注意先判斷，后使用.3（2022江蘇高三專題練習(xí)）九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”，講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用.直角三角形的兩直角邊與斜邊的長分別稱“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2=弦2”，設(shè)直線交拋物線于，兩點，若，恰好是 的“勾”“股”（為坐標(biāo)原點），則此直線恒過定點（）ABCD【答案】D【詳解】設(shè)直線的方程為，由 得，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，若，恰好是 的“勾”“股”（為坐標(biāo)原點），可得，所以，即，所以，所以，即，解得或（舍）所以直線的方程為，恒過點，故選：D另解：拋物線上異于頂點的兩動點,若,則直線

5、過定點,本例中，若，恰好是 的“勾”“股”（為坐標(biāo)原點），可得，所以，即，所以直線過定點，即.【反思】圓錐曲線過定點問題，是一類重點提醒，在選擇填空題中，先判斷是否符合可以使用二級結(jié)論，在符合的情況下，小題可以直接使用二級結(jié)論，注意先判斷，后使用.4（2020山東省實驗中學(xué)高三階段練習(xí)）已知橢圓的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，且滿足，橢圓上的點到焦點距離的最大值為(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若P是橢圓上的任意一點，求的取值范圍；(3)已知直線與橢圓相交于不同的兩點M，N(均不是長軸的端點)，AHMN，垂足為H且，求證：直線l恒過定點【答案】(1)(2)(3)證明見解析(1)由已知，解

6、得，則，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)設(shè)，則，又，由于在橢圓上，由在區(qū)間上單調(diào)遞增，可知當(dāng)時，取最小值為0；當(dāng)時，取最大值為12故的取值范圍是(3)由消去得：設(shè)，則， ，由得，即，可得，則，即化簡得或，均適合當(dāng)時，直線過，舍去；當(dāng)時，直線過定點故直線l恒過定點.【反思】在本題第（3）問中，由，即，可得，符合可以使用的二級結(jié)論：對于橢圓()上異于右頂點的兩動點,以為直徑的圓經(jīng)過右頂點,則直線過定點.同理,當(dāng)以為直徑的圓過左頂點時,直線過定點.即l過定點，即,注意，本題作為解答題，不可以直接使用該結(jié)論，但是可以用該二級結(jié)論試探答案，做到心中有數(shù).三、針對訓(xùn)練 舉一反三1已知雙曲線，點，在雙曲線上任取兩點

7、、滿足，則直線恒過定點_；【答案】【解析】設(shè)的方程為,則由.設(shè),則是該方程的兩根,.又,故，,又,代入,得：整理得：,或.當(dāng)時,過與題意不符,故舍去。當(dāng)時,過定點.故答案為：2（2022四川巴中一模（文）已知橢圓C：（ab0）的左右焦點分別為，點滿足，且的面積為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓C的上頂點為P，不過點P的直線l交C于A，B兩點，若，證明直線l恒過定點.【答案】(1)(2)證明見解析.(1)由,則，所以又，則點在橢圓上所以，又 聯(lián)立解得 所以橢圓C的方程；(2)由題意，根據(jù)條件直線的斜率必存在設(shè)直線的方程為， 由 ，得所以 （*）由，則 所以，即，即或（舍）將代入（*）成立.所

8、以直線的方程為，所以直線恒過點3（2022全國高三專題練習(xí)）已知橢圓的左右頂點分別為A，B，點P為橢圓上異于A，B的任意一點(1)證明：直線PA與直線PB的斜率乘積為定值；(2)設(shè)，過點Q作與軸不重合的任意直線交橢圓E于M，N兩點問：是否存在實數(shù)，使得以MN為直徑的圓恒過定點B？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由【答案】(1)證明見解析(2)存在；(1)；設(shè)，且，則所以(2)設(shè)，直線MN的方程為；聯(lián)立及，得，所以，（*）若以MN為直徑的圓過點B，則，即將帶入整理得；帶入（*），化簡整理得5，解得，或（舍），滿足，故存在，使得以MN為直徑的圓過恒過定點B；4（2021天津市靜海區(qū)第六中學(xué)高三

9、階段練習(xí)）已知橢圓的離心率是，一個頂點是.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）設(shè)P，Q是橢圓上異于頂點的任意兩點，且，求證：直線PQ恒過定點.【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】（1）橢圓焦點在軸上，所以，解得，所以橢圓方程為.（2）依題意可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由消去并化簡得，則，即.因為，且直線的斜率均存在，所以，整理得，因為，所以，代入整理得：，將代入上式并化簡得，解得或（舍去），使成立.所以直線恒過定點.5（2021黑龍江鶴崗一中高二期中）已知拋物線為上一點且縱坐標(biāo)為軸于點，且，其中點為拋物線的焦點.（1）求拋物線的方程；（2）已知為坐標(biāo)原點，是拋物線上不同的兩點，且

10、滿足，證明直線恒過定點，并求出定點的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）證明見解析，定點.【詳解】（1）設(shè)，根據(jù)拋物線的定義可得，又軸于點，則，則，在拋物線上，將點代入拋物線方程，解得，故拋物線的方程為.（2）依題意可知直線與軸不平行.設(shè)直線為，聯(lián)立直線與拋物線，化簡整理可得，由韋達(dá)定理可得，或（舍去），故直線恒過定點.6（2021全國模擬預(yù)測（理）已知為橢圓()與直線的兩個交點，且，橢圓E的離心率是方程的一個根.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓的右頂點作斜率存在的兩條射線，交橢圓于兩點，且，問：直線是否恒過定點？若經(jīng)過，求出這個定點坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由.【答案】（1）；（2）過定點，定點的

11、坐標(biāo)為.【詳解】（1）解方程得或.因為橢圓E的離心率是方程的一個根，且其離心率所以,即，所以，所以，所以()可化為，整理得.聯(lián)立方程消去得，整理得，則，解得，所以，所以.因為，所以，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，聯(lián)立整理得，因為，所以，所以，所以，所以，整理得，所以或，當(dāng)時，恒過(3，0)，此時重合，舍去；當(dāng)時，恒過點，當(dāng)直線的斜率不存在時，軸，經(jīng)計算可知此時直線也過點，所以直線恒過定點，該定點的坐標(biāo)為.7（2021江西贛州二模（文）已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓上的點到其兩焦點的距離之和為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓的上頂點，、為橢圓上不同于點的兩點，且

12、滿足直線、的斜率之積為，證明：直線恒過定點，并求定點的坐標(biāo)【答案】（1）；（2）證明見解析；定點【詳解】（1）由橢圓的定義可得，將點代入橢圓方程得，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意得.當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)、，所以，所以，又，所以，不合乎題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線為，設(shè)、，聯(lián)立，得，所以，即，即，整理得，解得或（舍去）.所以直線的方程為，即直線過定點.【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.8（2021全國高三專題練習(xí)）已知等軸雙曲線的頂點，分別是橢圓的左、右焦點，且是橢圓與雙曲線某個交點的橫坐標(biāo)（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點，以線段為直徑的圓過橢圓