1、 PAGE 13 等腰三角形分類(lèi)討論綜合理解等腰三角形的性質(zhì)和判定定理；能用等腰三角形的判定定理進(jìn)行相關(guān)計(jì)算和證明；初步體會(huì)等腰三角形中的分類(lèi)討論思想；體會(huì)在函數(shù)動(dòng)點(diǎn)中尋找某些特殊的點(diǎn)形成的等腰三角形；培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考，提高獨(dú)立解決問(wèn)題的能力。【備注】：此局部知識(shí)點(diǎn)梳理，根據(jù)第1個(gè)圖先提問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生回憶學(xué)過(guò)的等腰三角形的性質(zhì)，可以在黑板上舉例讓學(xué)生畫(huà)圖；2再根據(jù)第2個(gè)圖引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出題目中經(jīng)常出現(xiàn)的一些等腰三角形的題型；3.和學(xué)生一起分析二次函數(shù)背景下等腰三角形的根本考點(diǎn)，為后面的例題講解做好鋪墊。建議時(shí)間5分鐘左右。一等腰三角形的性質(zhì)：二等腰三角形常見(jiàn)題型分類(lèi)：函數(shù)背景下的等腰三角形的考點(diǎn)

2、分析：求解相應(yīng)函數(shù)的解析式；根據(jù)函數(shù)解析式求解某些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)；根據(jù)點(diǎn)的位置進(jìn)行等腰三角形的討論：分“指定腰長(zhǎng)和“不指定腰長(zhǎng)兩大類(lèi)；根據(jù)點(diǎn)的位置和形成的等腰三角形立等式求解。【備注】：以下每題教法建議，請(qǐng)老師根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況參考；在講解時(shí)：不宜采用灌輸?shù)姆椒ǎ瑧?yīng)采用啟發(fā)、誘導(dǎo)的策略，并在讀題時(shí)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一些題目中的條件相等的量、不變的量、隱藏的量等等，使學(xué)生在復(fù)雜的背景下自己發(fā)現(xiàn)、領(lǐng)悟題目的意思；可以根據(jù)各題的“參考教法引導(dǎo)學(xué)生逐步解題，并采用講練結(jié)合；注意邊講解邊讓學(xué)生計(jì)算，加強(qiáng)師生之間的互動(dòng)性，讓學(xué)生參與到例題的分析中來(lái)；例題講解，可以根據(jù)“教法指導(dǎo)中的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生分析題目，邊講邊讓學(xué)生

3、書(shū)寫(xiě)，每個(gè)問(wèn)題后面有答案提示；引導(dǎo)的技巧：直接提醒，問(wèn)題式引導(dǎo)，類(lèi)比式引導(dǎo)等等；局部例題可以先讓學(xué)生自己試一試，之后再結(jié)合學(xué)生做的情況講評(píng)；每個(gè)題目的講解時(shí)間根據(jù)實(shí)際情況處理，建議每題7分鐘，選講例題在時(shí)間足夠的情況下講解。例1.如圖，在RtABC中，BAC= 90，AB=3，AC=4，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E、F分別是AB邊和AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且EDF= 901求DEDF的值；AAAA設(shè)直線DF與直線AB相交于點(diǎn)G，EFG能否成為等腰三角形？假設(shè)能，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BE的長(zhǎng)；假設(shè)不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。例1題圖BCDEFA備用圖2BCD備用圖1BCDA【參考教法】：你來(lái)找一下題目中由哪些不變的量或者是

4、比擬特殊的條件，試試看：中的三角比是否能求解？你求求看。提示：；題目中有很多垂直，會(huì)得到很多角度角相等的，你找找。 提示：、。題目中是否有相似三角形？找找看。 提示：、等。求，選擇那些條件可以求解？你求一下吧！提示：用，在結(jié)合的三角比可求得。當(dāng)EFG為等腰三角形時(shí)：1.會(huì)得出什么特殊條件不？ 提示：兩邊相等，或者是兩角相等；2.需不需要分類(lèi)討論？ 提示：題目中沒(méi)有指定腰，應(yīng)該需要；3.如需要分哪幾種？提示：根據(jù)點(diǎn)的不同位置分兩大類(lèi)討論：當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，如圖1。因?yàn)樗詾殁g角，那么EFG為等腰三角形時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，如圖2。因?yàn)樗詾殁g角，那么EFG為等腰三角形時(shí)，；怎么計(jì)算，你能自己先求解

5、一下看看嗎？通過(guò)此題的分析求解過(guò)程，你對(duì)等腰三角形討論題型有點(diǎn)思路了沒(méi)？【總分值解答】：1BAC= 90 B +C 90，AD是BC邊上的高 DAC+C=90B =DAC 又EDF= 90BDE+EDA=ADF +EDA = 90BDE =ADFBEDAFD DEDF =假設(shè)EFG為等腰三角形，根據(jù)點(diǎn)的不同位置分兩大類(lèi)討論： 圖1 圖2 當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，如圖1。因?yàn)樗詾殁g角，那么EFG為等腰三角形時(shí)，為中點(diǎn)那么，在直角中，又，那么可求得 。 所以：另解：由EFG為等腰三角形可得，所以，再過(guò)點(diǎn)作垂線，利用三角比可求得。當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，如圖2。因?yàn)樗詾殁g角，那么EFG為等腰三角形時(shí)，為中點(diǎn)又所

6、以：。綜上可得，當(dāng)EFG為等腰三角形時(shí)，或。練習(xí)1.如圖1，在中，是邊的中點(diǎn)，于。 1試求的值； 2求證：； 3假設(shè)是邊上的點(diǎn)，且使為等腰三角形，請(qǐng)求的長(zhǎng)。【解法點(diǎn)撥】：尋找題目中的特殊條件和不變的量：是邊的中點(diǎn)； ；題目中的線段都可求解讓學(xué)生自己計(jì)算；證明角度相等，回憶證明角度相等的方法后，知此題利用相似角簡(jiǎn)單，但題目中很多線段的長(zhǎng)度都求解，因此利用兩邊成比例證明AMHBMA即可得；當(dāng)為等腰三角形時(shí)，分三個(gè)情況討論：當(dāng)時(shí)：因?yàn)檫呴L(zhǎng)不能直接求出，那么利用三角比求解，過(guò)點(diǎn)作，因?yàn)椋敲矗裕划?dāng)時(shí)：可直接得的長(zhǎng)；當(dāng)時(shí)：因?yàn)檫呴L(zhǎng)不能直接求出，那么利用三角比求解，過(guò)點(diǎn)作，因?yàn)椋敲矗浴?.注意利

7、用好等腰三角形的性質(zhì)：底邊上三線合一；通常情況下用“畫(huà)底邊上的高+三角比求解；5.注意便講解邊讓學(xué)生計(jì)算求解，加強(qiáng)師生之間的互動(dòng)性。【總分值解答】：1在MBC中，MCB=，BC=2，又M是邊AC的中點(diǎn)，AM=MC=BC=1， MB=， 又CHBM于H，那么MHC=， MCH=MBC， sinMCH=. 2在MHC中，.AM2=MC2=，即，又AMH=BMA，AMHBMA，ABM=CAH.由前兩問(wèn)可得：,。當(dāng)為等腰三角形時(shí)，分以下三個(gè)情況討論：當(dāng)時(shí)：如圖1，過(guò)點(diǎn)作，因?yàn)椋敲矗裕凰裕海矗裕划?dāng)時(shí)：如圖2，可直接得；當(dāng)時(shí)：如圖3，過(guò)點(diǎn)作，因?yàn)椋敲矗运裕海矗裕痪C上可得，當(dāng)為等

8、腰三角形時(shí)，的長(zhǎng)為、。圖2圖1 圖3例2.如圖，在中，、分別是邊、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)不與、重合，且保持，以為邊，在點(diǎn)的異側(cè)作正方形，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)。GFEDCBA 【參考教法】：以提問(wèn)式，和學(xué)生一起分析題目，先尋找題目中的條件或特殊條件： 1.題目中有哪些量？ 提示：從邊、角歸類(lèi)尋找。 邊：，； 角:；題中有什么特殊的圖形沒(méi)？提示：等腰、正方形。你能求解一下題目中的其它線段嗎？提示：設(shè)，讓學(xué)生求解底邊上的高，并用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng)。當(dāng)是等腰三角形時(shí)：需要討論嗎？提示：需要，分兩大情況討論；怎么討論？提示：當(dāng)是等腰三角形時(shí)，根據(jù)點(diǎn)的位置分：點(diǎn)在內(nèi)部和外面兩大類(lèi)討論：當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)：因?yàn)?/p>

9、，所以該情況下只可能。但該情況下不能直接求解出，那么畫(huà)底邊上的高點(diǎn)作。如圖1那么：，所以；當(dāng)點(diǎn)在外面時(shí)：分以下情況討論當(dāng)時(shí)：直接利用相等計(jì)算，即；當(dāng)時(shí)：如圖2設(shè)與交點(diǎn)為，那么可得：且點(diǎn)為中點(diǎn)；所以：；當(dāng)，不成立。3.怎么計(jì)算？你會(huì)求解嗎？提示：見(jiàn)上面求解，可讓學(xué)生自己計(jì)算。4.通過(guò)此題的分析求解后，你覺(jué)得等腰三角形的分類(lèi)討論題目還難嗎？6.提示學(xué)生利用好三角比。【總分值解答】：過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)。，那么，；設(shè)，那么，。當(dāng)是等腰三角形時(shí)，根據(jù)點(diǎn)的位置，分以下情況討論：當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)：因?yàn)椋栽撉闆r下只可能。但該情況下不能直接求解出，那么畫(huà)底邊上的高點(diǎn)作。如圖1那么：，所以，即，解得：；當(dāng)點(diǎn)在外面時(shí)

10、：分以下情況討論當(dāng)時(shí)：那么，解得：；當(dāng)時(shí)：如圖2設(shè)與交點(diǎn)為，那么可得：且點(diǎn)為中點(diǎn)，所以：，即：，解得：；當(dāng)，不成立。綜合上可得：當(dāng)是等腰三角形時(shí)。 圖1 圖2【備注】：本局部對(duì)前面例題中講到的解題方法進(jìn)行歸類(lèi)總結(jié)，以引導(dǎo)式總結(jié)出，建議時(shí)間4分鐘左右。圖形背景下等腰三角形分類(lèi)討論的解題方法和策略：先尋找題目中的條件：相等的角、相等的邊、相似的三角形等；根據(jù)題目中的條件求解相關(guān)線段的長(zhǎng)度；等腰三角形討論中，分三步走：分類(lèi)、畫(huà)圖、計(jì)算；等腰討論中，當(dāng)不能直接利用邊長(zhǎng)相等求解時(shí)，一般情況下通過(guò)“畫(huà)底邊上的高輔助線，結(jié)合三角比計(jì)算求解；5.注意點(diǎn)的位置取舍答案；6.根據(jù)題目條件，注意快速、正確畫(huà)圖，用好

11、數(shù)形結(jié)合思想；7.利用幾何定理和性質(zhì)或者代數(shù)方法建立方程求解都是常用方法。該局部需要學(xué)生在15分鐘內(nèi)獨(dú)立完成，之后再評(píng)分并講評(píng)1.在梯形中，如圖1。此題總分值14分1求證：；2假設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，與點(diǎn)不重合，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)， 如圖2，設(shè)，求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出它的定義域；3假設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，與點(diǎn)不重合，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的值A(chǔ)PDCB圖2QOAPDCB圖1【解法點(diǎn)撥】：尋找題目中的量或者是比擬特殊的條件：邊的關(guān)系：，。可得到邊成比例：,可用來(lái)求解某些線段的長(zhǎng)度。角的關(guān)系：。相似三角形：。可由角度相等證明；求解函數(shù)關(guān)系式，尋找相似根本圖形。 方法一：由,可得：,進(jìn)而； 方法二：由可得：，進(jìn)而。當(dāng)是等腰三角形時(shí)，分三個(gè)情況討論：當(dāng)時(shí)：得，所以，所以；2.當(dāng)時(shí)，易證：，即：四邊形是平行四邊形；3.當(dāng)時(shí)不存在。【總分值解答】：1證明：1分1分，1分1分1分 2解： ，四邊形是平行四邊形 1分1分，1分1分定義域是：1分 3解：當(dāng)時(shí)， 由2知：， 2分當(dāng)時(shí)，易得：易證：即：四邊形是平行