1、高中數學教案選修修全套【選修 1-2 教案 全套】目 錄目 錄 . I 第一章 統計案例 . 1 1.1 回來分析的基本思想及其初步應用（一）1.1 回來分析的基本思想及其初步應用（二）1.1 回來分析的基本思想及其初步應用（三）1.1 回來分析的基本思想及其初步應用（四）1.2 獨立性檢驗的基本思想及其初步應用（一）1.2 獨立性檢驗的基本思想及其初步應用（二）. 1 . 1 . 2 . 3 . 4 . 5 其次章 推理與證明 . 6 2.1.1 合情推理（一） . 6 2.1.1 合情推理（二） . 7 2.1.2 演繹推理 . 7 2.2.1 綜合法和分析法（一） . 8 2.2.1 綜

2、合法和分析法（二） . 9 2.2.2 反證法 . 10 第三章 數系的擴充與復數的引入 . 12 3.1.1 數系的擴充與復數的概念 . 12 3.1.2 復數的幾何意義 . 12 3.2.1 復數的代數形式的加減運算 . 13 3.2.2 復數的代數形式的乘除運算 . 14 第四章 框圖 . 16 4.1 流程圖 . 16 4.2 結構圖 . 18 第一章 統計案例第一課時1.1 回來分析的基本思想及其初步應用（一）教學要求 ：通過典型案例的探究,進一步明白回來分析的基本思想、方法及初步應用 . 教學重點 ：明白線性回來模型與函數模型的差異,明白判定刻畫模型擬合成效的方法相關指數和殘差分析

3、. 教學難點 ：說明殘差變量的含義,明白偏差平方和分解的思想 .教學過程 ：一、復習預備：1. 提問：“ 名師出高徒” 這句彥語的意思是什么？出名氣的老師就肯定能教出厲害的同學嗎？這兩者之間是否有關？2. 復習： 函數關系是一種確定性關系,而相關關系是一種非確定性關系 個變量進行統計分析的一種常用方法,其步驟：收集數據 作散點圖 預報 . 二、講授新課：. 回來分析是對具有相關關系的兩 求回來直線方程 利用方程進行1. 教學例題：7 8 . （分 例 1 從某高校中隨機選取8 名女高校生,其身高和體重數據如下表所示：編號1 2 3 4 5 6 身高 /cm 165 165 157 170 17

4、5 165 155 170 體重 /kg 48 57 50 54 64 61 43 59 求依據一名女高校生的身高預報她的體重的回來方程,并預報一名身高為172cm 的女高校生的體重析思路老師演示同學整理）7060/kg 重 體50 40 3020100150155160165170175180身高/cm第一步：作散點圖 其次步：求回來方程 第三步：代值運算 提問：身高為 172cm 的女高校生的體重肯定是 60.316kg 嗎？不肯定,但一般可以認為她的體重在 60.316kg 左右 . 說明線性回來模型與一次函數的不同事實上,觀看上述散點圖,我們可以發覺女高校生的體重 y 和身高 x 之間

5、的關系并不能用一次函數y bx a 來嚴格 刻畫（由于全部的樣本點不共線,所以線性模型只能近似地刻畫身高和體重的關系）. 在數據表中身高為 165cm 的 3 名女高校生的體重分別為 48kg、57kg 和 61kg,假如能用一次函數來描述體重與身高的關系, 那么身高為 165cm 的 3 名女在同學的體重應相同 . 這就說明體重不僅受身高的影響仍受其他因素的影響,把這種影響的結果 e （即殘差變量或隨機變量）引入到線性函數模型中,得到線性回來模型 y bx a e,其中殘差變量 e 中包含體重不能由身高的線性函數說明的全部部分 . 當殘差變量恒等于0 時,線性回來模型就變成一次函數模型 型是

6、一次函數模型的一般形式 . . 因此, 一次函數模型是線性回來模型的特別形式,線性回來模2. 相關系數 ：相關系數的確定值越接近于 1,兩個變量的線性相關關系越強,它們的散點圖越接近一條直線,這時用線性回來模型擬合這組數據就越好,此時建立的線性回來模型是有意義 . 3. 小結： 求線性回來方程的步驟、線性回來模型與一次函數的不同 .其次課時1.1 回來分析的基本思想及其初步應用（二）教學要求 ：通過典型案例的探究,進一步明白回來分析的基本思想、方法及初步應用 . 教學重點 ：明白評判回來成效的三個統計量：總偏差平方和、殘差平方和、回來平方和 .教學難點 ：明白評判回來成效的三個統計量：總偏差平

7、方和、殘差平方和、回來平方和 .教學過程 ：一、復習預備：1由例 1 知,預報變量（體重）的值受說明變量（身高）或隨機誤差的影響 . 2為了刻畫預報變量（體重）的變化在多大程度上與說明變量（身高）有關？在多大程度上與隨機誤差有關？我們引入了評判回來成效的三個統計量：總偏差平方和、殘差平方和、回來平方和 . 二、講授新課：1. 教學 總偏差平方和、殘差平方和、回來平方和：n（1）總偏差平方和：全部單個樣本值與樣本均值差的平方和,即 SST y i y 2. i 1n殘差平方和：回來值與樣本值差的平方和,即 SSE y i y i 2. i 1n回來平方和：相應回來值與樣本均值差的平方和,即 SS

8、R y i y 2. i 1（2）學習要領： 留意 iy 、 iy 、 y 的區分；預報變量的變化程度可以分解為由說明變量引起的變化程n n n度與殘差變量的變化程度之和,即 y i y 2 y i y i 2 y i y 2；當總偏差平方和相對固定時,i 1 i 1 i 1殘差平方和越小,就回來平方和越大,此時模型的擬合成效越好；對于多個不同的模型,我們仍可以引入相關指數2 R1i ny i y i2來刻畫回來的成效, 它表示說明變量對預報變量變化的奉獻率7. 2 R 的值越i 1ny iy 2x17,試比i1大,說明殘差平方和越小,也就是說模型擬合的成效越好.2. 教學例題：例 2 關于

9、x 與 Y 有如下數據：x2 4 5 6 8 y30 40 60 50 70 為了對 x 、 Y 兩個變量進行統計分析,現有以下兩種線性模型：$ y6.5x17.5,$較哪一個模型擬合的成效更好. 分析： 既可分別求出兩種模型下的總偏差平方和、殘差平方和、回來平方和,也可分別求出兩種模型下的相關指數,然后再進行比較,從而得出結論R 2 2. 5yi y i211800.82,84.5%82%,所以甲選用的模型擬（答案 ：R 1 21i5y i y i211550.845,11 i15y iy210005y iy21000i1i1合成效較好 . ）3. 小結：分清總偏差平方和、殘差平方和、 回來

10、平方和, 初步明白如何評判兩個不同模型擬合成效的好壞. 第三課時1.1 回來分析的基本思想及其初步應用（三）教學要求 ：通過典型案例的探究,進一步明白回來分析的基本思想、方法及初步應用 .教學重點 ：通過探究使同學體會有些非線性模型通過變換可以轉化為線性回來模型,明白在解決實際問題的過程中查找更好的模型的方法.挑選不同的模型建模,并通過比較相關指數對不同的模型進行比較. 教學難點 ：明白常用函數的圖象特點,教學過程 ：一、復習預備：y 和溫度 x有關,現收集了7 組觀測數據列于下表中,試建立y 與 x 之1. 給出 例 3：一只紅鈴蟲的產卵數間的回來方程 . 溫度x/oC21 23 25 27

11、 29 32 35 產卵數y 個7 11 21 24 66 115 325 （同學描述步驟,老師演示）2. 爭論 ：觀看右圖中的散點圖,發覺樣本點并沒有分布在某數 卵3500個帶狀300區域內, 即兩個變量不呈線性相關關系,所以不能直接用線性回來方250200程來建立兩個變量之間的關系. 10203040150產100二、講授新課：50 01. 探究非線性回來方程的確定：溫度 假如散點圖中的點分布在一個直線狀帶形區域,可以選線性回來模型來建模；假如散點圖中的點分布在一個曲線狀帶形區域,就需選擇非線性回來模型來建模. y=C 1eC2x的四周（其中c c 是待定 依據已有的函數學問,可以發覺樣本

12、點分布在某一條指數函數曲線的參數）,故可用指數函數模型來擬合這兩個變量. lnc ,而 z與 x間的關系如下： 在上式兩邊取對數,得lnyc xlnc ,再令zlny ,就zc xX 21 23 25 27 29 32 35 線的鄰近,z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784 7觀看 z與 x 的散點圖,可以發覺變換后樣本點分布在一條直z65因此可以用線性回來方程來擬合. 4 利用運算器算得a3.843,b0.272, z與 x間的線性3回 歸 方 程2為$ z0.272x3.843,因此紅鈴蟲的產卵數對溫度的非線性1010203040回 歸 方

13、程0為$0.272 ex3.843.x 利用回來方程探究非線性回來問題,可按“ 作散點圖建 模確定方程” 這三個步驟進行. . 其關鍵在于如何通過適當的變換,將非線性回來問題轉化成線性回來問題2. 小結： 用回來方程探究非線性回來問題的方法、步驟. 6 三、鞏固練習：為了爭論某種細菌隨時間x 變化,繁衍的個數,收集數據如下：天數 x/天1 2 3 4 5 繁衍個數 y/個6 12 25 49 95 190 （1）用天數作說明變量,繁衍個數作預報變量,作出這些數據的散點圖；（2）試求出預報變量對說明變量的回來方程.（答案： 所求非線性回來方程為0.69 .y=ex1.112.）第四課時1.1 回

14、來分析的基本思想及其初步應用（四）教學要求 ：通過典型案例的探究,進一步明白回來分析的基本思想、方法及初步應用 .教學重點 ：通過探究使同學體會有些非線性模型通過變換可以轉化為線性回來模型,明白在解決實際問題的過程中查找更好的模型的方法,明白可用殘差分析的方法,比較兩種模型的擬合成效 .教學難點 ：明白常用函數的圖象特點,挑選不同的模型建模,并通過比較相關指數對不同的模型進行比較 . 教學過程 ：一、復習預備：y 和溫度 x 間的關系,1. 提問：在例3 中,觀看散點圖,我們挑選用指數函數模型來擬合紅鈴蟲的產卵數仍可用其它函數模型來擬合嗎？2. 爭論：能用二次函數模型y2 c xc 來擬合上述

15、兩個變量間的關系嗎？（令t2 x ,就yc tc ,此時 y 與 t 間的關系如下：觀 察 y 與 tt y441 529 625 729 841 1024 1225 40015007 11 21 24 66 115 325 的散點圖,300可以發覺樣本點并不分布在一條直線的四周,因此不宜用線性回來y200方程來擬合它,即不宜用二次曲線y2 c x 3c 來擬合 y 與 x 之間100的關系 . ）小結： 也就是說,我們可以通過觀看變換后的散點圖來005001000判定能否用此種模型來擬合. 事實上,除了觀看散點圖以外,我們t也可先求出函數模型,然后利用殘差分析的方法來比較模型的好壞 . 二、

16、講授新課：1. 教學殘差分析：e y y . 殘差： 樣本值與回來值的差叫殘差,即 殘差分析 ：通過殘差來判定模型擬合的成效,判定原始數據中是否存在可疑數據,這方面的分析工作稱為殘差分析 . 殘差圖： 以殘差為橫坐標,以樣本編號,或身高數據,或體重估量值等為橫坐標,作出的圖形稱為殘差圖 . 觀看殘差圖,假如殘差點比較勻稱地落在水平的帶狀區域中,說明選用的模型比較合適,這樣的帶狀區域的寬度越窄,模型擬合精度越高,回來方程的預報精度越高 . 2. 例 3 中的殘差分析：運算兩種模型下的殘差一般情形下,比較兩個模型的殘差比較困難（某些樣本點上一個模型的殘差的確定值比另一個模型的小,而另一些樣本點的情

17、形就相反）,故通過比較兩個模型的殘差的平方和的大小來判定模型的擬合成效 . 殘差平方和越小的模型,擬合的成效越好 .由于兩種模型下的殘差平方和分別為1450.673 和 15448.432,應選用指數函數模型的擬合成效遠遠優于選用二次函數模型 . （當然,仍可用 相關指數 刻畫回來成效）3. 小結： 殘差分析的步驟、作用三、鞏固練習：練習：教材 P13 第 1 題第一課時1.2 獨立性檢驗的基本思想及其初步應用（一）教學要求 ：通過探究“ 吸煙是否與患肺癌有關系” 引出獨立性檢驗的問題,并借助樣本數據的列聯表、柱形圖和條形圖展現在吸煙者中患肺癌的比例比不吸煙者中患肺癌的比例高,讓同學親身體驗獨

18、立性檢驗的實施步驟與必要性. 、步驟 . 教學重點 ：懂得獨立性檢驗的基本思想及實施步驟. 教學難點 ：明白獨立性檢驗的基本思想、明白隨機變量K2的含義 . 教學過程 ：一、復習預備：回來分析的方法、步驟,刻畫模型擬合成效的方法（相關指數、殘差分析）二、講授新課：1. 教學與列聯表相關的概念： 分類變量：變量的不同“ 值”表示個體所屬的不同類別的變量稱為分類變量. 分類變量的取值肯定是離散的,而且不同的取值僅表示個體所屬的類別,如性別變量,只取男、女兩個值,商品的等級變量只取一級、二級、三級,等等. 分類變量的取值有時可用數字來表示,但這時的數字除了分類以外沒有其他的含總計 7817 2148

19、 9965 義. 如用“0” 表示“ 男”,用“1” 表示“ 女”. 列聯表： 分類變量的匯總統計表（頻數表） . 一般我們只爭論不吸煙不患肺癌患肺癌每個分類變量只取兩個值,這樣的列聯表稱為2 2. 如吸煙與患7775 42 肺癌的列聯表：吸煙2099 49 2. 教學三維柱形圖和二維條形圖的概念：總計9874 91 由列聯表可以粗略估量出吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異 .（老師在課堂上用EXCEL軟件演示三維柱形圖和二維條形圖,引導同學觀看這兩類圖形的特點,并分析由圖形得出的結論）3. 獨立性檢驗的基本思想： 獨立性檢驗的必要性（為什么中能只憑列聯表的數據和圖形下結論？）：列聯表中的

20、數據是樣本數據,它只是總體的代表,具有隨機性,故需要用列聯表檢驗的方法確認所得結論在多大程度上適用于總體 . 獨立性檢驗的步驟（略）及原理（與反證法類似）：反證法 假設檢驗要證明結論A 備擇假設 H 1在 A 不成立的前提下進行推理在 H 1 不成立的條件下,即H 0 成立的條件下進行推理推出沖突,意味著結論A 成立推出有利于H 1 成立的小概率大事（概率不超過的大事）發沒有找到沖突,不能對A 下任生,意味著H 1成立的可能性（可能性為（1）很大推出有利于H 1成立的小概率大事不發生,接受原假設何結論,即反證法不勝利 上例的解決步驟第一步：提出假設檢驗問題 H 0 ：吸煙與患肺癌沒有關系 H

21、1 ：吸煙與患肺癌有關系2其次步：挑選檢驗的指標 K 2 n ad bc （它越小,原假設“H 0 ：吸煙與患肺癌沒有 a b c d a c b d 關系” 成立的可能性越大；它越大,備擇假設“H 1：吸煙與患肺癌有關系” 成立的可能性越大 . 第三步：查表得出結論Pk2k 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83 其次課時1.2 獨立性檢驗的基本思想及其初步應用（二）教學要求 ：通過探究“ 吸煙是否與患肺癌

22、有關系” 引出獨立性檢驗的問題,并借助樣本數據的列聯表、柱形圖和條形圖展現在吸煙者中患肺癌的比例比不吸煙者中患肺癌的比例高,讓同學親身體驗獨立性檢驗的實施步驟與必要性. . K2的含義 . 教學重點 ：懂得獨立性檢驗的基本思想及實施步驟教學難點 ：明白獨立性檢驗的基本思想、明白隨機變量教學過程 ：教學過程 ：一、復習預備：獨立性檢驗的基本步驟、思想二、講授新課：1. 教學例 1：例 1 在某醫院, 由于患心臟病而住院的665 名男性病人中, 有 214 人禿頂； 而另外 772 名不是由于患心臟病而住院的男性病人中有 175 名禿頂 . 分別利用圖形和獨立性檢驗方法判定禿頂與患心臟病是否有關系

23、？你所得的結論在什么范疇內有效？ 第一步： 老師引導同學作出列聯表,并分析列聯表,引導同學得出“ 禿頂與患心臟病有關” 的結論；其次步： 老師演示三維柱形圖和二維條形圖,進一步向同學說明所得到的統計結果；第三步： 由同學運算出K2的值；第四步： 說明結果的含義. 通過第 2 個問題,向同學強調“ 樣本只能代表相應總體”,這里的數據來自于醫院的住院病人,因此題目中的結論能夠很好地適用于住院的病人群體,而把這個結論推廣到其他群體就可能會顯現錯誤,除非有其它的證據說明可以進行這種推廣. 在某城市的某校高中生中隨機抽取300名同學,2. 教學例 2：例 2 為考察高中生的性別與是否喜愛數學課程之間的關

24、系,得到如以下聯表：男喜愛數學課程4.513不喜愛數學課程總計37 85 122 女35 143 178 總計72 228 300 由表中數據運算得到2 K 的觀看值k. 在多大程度上可以認為高中生的性別與是否數學課程之間有關系？為什么？（同學自練,老師總結）強調： 使得P K23.8410.05成立的前提是假設“ 性別與是否喜愛數學課程之間沒有關系”. 假如這個前提不成立,上面的概率估量式就不肯定正確；結論有 95%的把握認為“ 性別與喜愛數學課程之間有關系” 的含義；在嫻熟把握了兩個分類變量的獨立性檢驗方法之后,可直接運算 相應的圖形,但是圖形的直觀性也不行忽視 . 2 K 的值解決實際問

25、題,而沒有必要畫3. 小結： 獨立性檢驗的方法、原理、步驟不健康健康總計三、鞏固練習：不優秀41 626 667 某市為調查全市高中生學習狀況是否對生理健康有影響,隨機進行調優秀37 296 333 查并得到如下的列聯表：請問有多大把握認為 “ 高中生學習狀況與生總計78 922 1000 理健康有關” ？其次章推理與證明第一課時2.1.1 合情推理（一）教學要求 ：結合已學過的數學實例,明白歸納推理的含義,能利用歸納進行簡潔的推理,體會并熟悉歸納推理在數學發覺中的作用 . 教學重點 ：能利用歸納進行簡潔的推理 . 教學難點 ：用歸納進行推理,作出猜想 . 教學過程 ：一、新課引入：1. 哥德

26、巴赫猜想：觀看 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, , 50=13+37, , 100=3+97 ,推測：任一偶數（除去 2,它本身是一素數）可以表示成兩個素數之和 . 1742年寫信提出, 歐拉及以后的數學家無人能解,成為數學史上文明遐邇的猜想 . 1973 年, 我國數學家陳景潤,證明白充分大的偶數可表示為一個素數與至多兩個素數乘積之和,數學上把它稱為“1+2” . 0 12 22. 費馬猜想：法國業余數學家之王費馬（ 1601-1665 ）在 1640 年通過對 F 0 2 1 3

27、,F 1 2 1 5,2 3 42 2 2F 2 2 1 17,F 3 2 1 257,F 4 2 1 65 537 的觀看,發覺其結果都是素數,于是提出猜想：n對 所 有 的 自 然 數 n , 任 何 形 如 F n 2 21 的 數 都 是 素 數 . 后 來 瑞 士 數 學 家 歐 拉 , 發 現2 5F 5 2 1 4 294 967 297 641 6 700 417 不是素數,推翻費馬猜想 . 3. 四色猜想： 1852 年,畢業于英國倫敦高校的弗南西斯 .格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時,發現了一種好玩的現象： “ 每幅地圖都可以用四種顏色著色,使得有共同邊界的國家著上不

28、同的顏色 .” ,四色猜想成了世界數學界關注的問題 .1976 年,美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯高校的兩臺不同的電子運算機上,用 1200 個小時,作了 100 億規律判定,完成證明 . 二、講授新課：1. 教學概念： 概念：由某類事物的部分對象具有某些特點,推出該類事物的全部對象都具有這些特點的推理,或者由個別事實概括出一般結論的推理,稱為歸納推理 推理 . . 簡言之,歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的 歸納練習： i 由銅、鐵、鋁、金、銀能導電,能歸納出什么結論？ii 由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內角和180 度,能歸納出什么結論？iii 觀看等式：1342 2 ,

29、13592 3 , 13579162 4 ,能得出怎樣的結論？ 爭論： i統計學中,從總體中抽取樣本,然后用樣本估量總體,是否屬歸納推理？ii 歸納推理有何作用？（發覺新事實,獲得新結論,是做出科學發覺的重要手段）iii 歸納推理的結果是否正確？（不肯定）2. 教學例題： 出示例題：已知數列 a n 的第 1 項 a 1 2,且 a n 1 a n n 1,2, L ,試歸納出通項公式 . 1 a n（分析思路：試值 n=1,2,3, 4 猜想 a n如何證明：將遞推公式變形,再構造新數列） 摸索：證得某命題在 nn 0 時成立；又假設在 nk 時命題成立,再證明 nk1 時命題也成立 . 由

30、這兩步,可以歸納出什么結論？（目的：滲透數學歸納法原理,即基礎、遞推關系） 練習：已知 f 1 0, af n bf n 1 1, n 2, a 0, b 0,估量 f n 的表達式 . 3. 小結： 歸納推理的藥店：由部分到整體、由個別到一般；典型例子：哥德巴赫猜想的提出；數列通項公式的歸納 . 三、鞏固練習：1. 練習：教材P381、2 題. 2. 作業：教材P44 習題 A 組 1、2、 3 題 . 其次課時2.1.1 合情推理（二）教學要求 ：結合已學過的數學實例,明白合情推理的含義,能利用歸納和類比等進行簡潔的推理,體會并熟悉合情推理在數學發覺中的作用 . 教學重點 ：明白合情推理的

31、含義,能利用歸納和類比等進行簡潔的推理 . 教學難點 ：用歸納和類比進行推理,作出猜想 .教學過程 ：一、復習預備：1. 練 習 ： 已 知 ia 0 i 1,2, L , , 考 察 下 列 式 子 ： i a 1 11； a 1 a 2 1 1 4；a 1 a 1 a 2 iii a 1 a 2 a 3 1 1 1 9 . 我們可以歸納出,對 a a 2 , L , a n 也成立的類似不等式為 . a 1 a 2 a 32. 猜想數列 1 , 1 , 1 , 1 , L L 的通項公式是 . 1 3 3 5 5 7 7 93. 導入：魯班由帶齒的草創造鋸；人類仿照魚類形狀及沉浮原理,創造

32、潛水艇；地球上有生命,火星與地球有很多相像點,如都是繞太陽運行、擾軸自轉的行星,有大氣層, 也有季節變更, 溫度也適合生物生存,科學家推測：火星上有生命存在 . 以上都是類比思維,即類比推理 . 二、講授新課：1. 教學概念： 概念：由兩類對象具有某些類似特點和其中一類對象的某些已知特點,推出另一類對象也具有這些特征的推理 . 簡言之,類比推理是由特別到特別的推理 . 類比練習：i圓有切線,切線與圓只交于一點,切點到圓心的距離等于半徑. 由此結論如何類比到球體？ii 平面內不共線的三點確定一個圓,由此結論如何類比得到空間的結論？iii 由圓的一些特點,類比得到球體的相應特點. （教材 P81

33、探究 填表）小結：平面空間,圓球,線面. . 爭論：以平面對量為基礎學習空間向量,試舉例其中的一些類比思維2. 教學例題： 出示例 1：類比實數的加法和乘法,列出它們相像的運算性質. （得到如下表格）類比角度 實數的加法 實數的乘法運算結果 如 a b R 就 a b R 如 a b R 就 ab Ra b b a ab ba運算律 a b c a b c ab c a bc 乘法的逆運算是除法,使得加法的逆運算是減法,使得方逆運算程 a x 0 有唯獨解 x a 方程 ax 1 有唯獨解 x 1a單位元 a 0 a a 1 1 出示例 2：類比平面內直角三角形的勾股定理,試給出空間中四周體性

34、質的猜想 . 0思維：直角三角形中,C 90,3 條邊的長度 a b c ,2 條直角邊 a b 和 1 條斜邊 c ；3 個面兩兩垂直的四周體中,PDF PDE EDF 90 0, 4 個面的面積 S S S 和 S3 個“ 直角面”S S S 和 1 個“ 斜面”S . 拓展：三角形到四周體的類比 . 3. 小結： 歸納推理和類比推理都是依據已有的事實,經過觀看、分析、比較、聯想,再進行歸納、類比,然后提出猜想的推理,統稱為合情推理 . 三、鞏固練習：1. 練習：教材 P38 3 題. 2. 探究：教材 P35 例 5 3.作業： P44 5、6 題. 第三課時2.1.2 演繹推理教學要求

35、 ：結合已學過的數學實例和生活中的實例,體會演繹推理的重要性,把握演繹推理的基本方法,并能運用它們進行一些簡潔的推理；. 教學重點 ：明白演繹推理的含義,能利用“ 三段論” 進行簡潔的推理 . 教學難點 ：分析證明過程中包含的“ 三段論” 形式 .教學過程 ：一、復習預備：n,猜想（ 2n-1）與 n+12 的大小關系？ac bc ,1. 練習： 對于任意正整數在平面內, 如ac bc ,就a/b. 類比到空間, 你會得到什么結論？ （結論： 在空間中, 如就a/b；或在空間中,如,就/. 2. 爭論：以上推理屬于什么推理,結論正確嗎？合情推理的結論不肯定正確,有待進一步證明,有什么能使結論正

36、確的推理形式呢？3. 導入： 全部的金屬都能夠導電,銅是金屬,所以； 太陽系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽運行,冥王星是太陽系的大行星,因此； 奇數都不能被 2 整除, 2022 是奇數,所以 . （填空爭論：上述例子的推理形式與我們學過的合情推理一樣嗎？課題：演繹推理）二、講授新課：1. 教學概念： 概念：從一般性的原理動身,推出某個特別情形下的結論,我們把這種推理稱為 演繹推理 ；要點：由 一般 到特別 的推理； 爭論：演繹推理與合情推理有什么區分？歸納推理：由特別到一般合情推理；演繹推理：由一般到特別 . 類比推理：由特別到特別 提問：觀看教材 P39 引例,它們都由幾部分組成,各部分有什

37、么特點？全部的金屬都導電 銅是金屬 銅能導電已知的一般原理 特別情形 依據原理,對特別情形做出的判定大前提 小前提 結論“ 三段論” 是演繹推理的一般模式：第一段：大前提已知的一般原理；其次段：小前提所爭論的特別情形；第三段：結論依據一般原理,對特別情形做出的判定 . 舉例：舉出一些用“ 三段論” 推理的例子 . 2. 教學例題：2 出示例 1：證明函數 f x x 2 x 在 , 1 上是增函數 . 板演：證明方法（定義法、導數法） 指出：大前題、小前題、結論 . 出示例 2：在銳角三角形 ABC 中,AD BC BE AC , D,E 是垂足 . 求證： AB 的中點 M 到 D,E 的距

38、離相等 . 分析：證明思路板演：證明過程 指出：大前題、小前題、結論 . 爭論：由于指數函數 y a 是增函數,xy 1 x是指數函數,就結論是什么？2（結論指出：大前提、小前提 爭論：結論是否正確,為什么？） 爭論：演繹推理怎樣才結論正確？（只要前提和推理形式正確,結論必定正確）3. 比較： 合情推理與演繹推理的區分與聯系？（從推理形式、結論正確性等角度比較；演繹推理可以驗證合情推理的結論,合情推理為演繹推理供應方向和思路.）3.作業： P446 題, B 組 1 題.三、鞏固練習：1. 練習： P42 2、3 題2. 探究： P42 閱讀與摸索第一課時2.2.1 綜合法和分析法（一）教學要

39、求 ：結合已經學過的數學實例,明白直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；明白分析法和綜合法的摸索過程、特點 . 教學重點 ：會用綜合法證明問題；明白綜合法的摸索過程 . 教學難點 ：依據問題的特點,結合綜合法的摸索過程、特點,挑選適當的證明方法 . 教學過程 ：一、復習預備：R ,且a1a21,就114”,試請此結論推廣猜想. 1. 已知“ 如a a 1 2a 1a 2（答案：如a a2. anR ,且a 1a2.a n1,就11.12 n ）a 1a 2an2. 已知a b cR ,abc1,求證：1 a119. bc先完成證明 爭論：證明過程有什么特點？二、講授新課：1. 教學例題： 出

40、示例 1：已知 a, b, c 是不全相等的正數,求證：分析：運用什么學問來解決？（基本不等式）ab2 + c2 + bc 2 + a2 + ca2 + b 2 6abc. 板演證明過程（留意等號的處理） 爭論：證明形式的特點 提出綜合法：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等,經過一系列的推理論證,最終推導出所要證明的結論成立. 要點：順推證法；由因導果. 框圖表示： 練習：已知 a,b,c 是全不相等的正實數,求證 b c aa 出示例 2：在 ABC 中,三個內角 A、 B、C 的對邊分別為成等比數列 . 求證：為ABC 等邊三角形 . a c b a b c 3 . b ca、b、c

41、,且 A、B、C 成等差數列, a、b、c分析：從哪些已知,可以得到什么結論？如何轉化三角形中邊角關系？ 板演證明過程 爭論：證明過程的特點 . 小結：文字語言轉化為符號語言；邊角關系的轉化；挖掘題中的隱含條件（內角和）2. 練習：,求證：AB60 o . （提示：算 tanAB ）A B 為銳角,且tanAtanB3 tanAtanB3 已知abc ,求證：a1bb1ca4c.Q Q 2,直到最終的結論是Q. 運用綜合法可3. 小結： 綜合法是從已知的P 動身,得到一系列的結論以解決不等式、數列、三角、幾何、數論等相關證明問題. 三、鞏固練習：4 41. 求證：對于任意角 ,cos sin

42、cos2 . （教材 P52 練習 1 題）（兩人板演 訂正 小結：運用三角公式進行三角變換、思維過程）1 1 32. ABC 的三個內角 A B C 成等差數列,求證：. a b b c a b c3. 作業：教材 P54 A 組 1 題. 其次課時2.2.1 綜合法和分析法（二）教學要求 ：結合已經學過的數學實例,明白直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；明白分析法和綜合法的摸索過程、特點 . 教學重點 ：會用分析法證明問題；明白分析法的摸索過程 . 教學難點 ：依據問題的特點,挑選適當的證明方法 . 教學過程 ：一、復習預備：1. 提問：基本不等式的形式？a b2. 爭論：如何證明基本

43、不等式 ab a 0, b 0 . 2（爭論 板演 分析思維特點：從結論動身,一步步探求結論成立的充分條件）二、講授新課：1. 教學例題： 出示例 1：求證 3 5 2 6 . 爭論：能用綜合法證明嗎？ 如何從結論動身,查找結論成立的充分條件？ 板演證明過程（留意格式） 再爭論：能用綜合法證明嗎？ 比較：兩種證法 提出分析法：從要證明的結論動身,逐步查找使它成立的充分條件,直至最終,把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止 . 框圖表示：要點：逆推證法；執果索因 . 1 1 練習：設 x 0,y 0,證明不等式： x 2y 2 2 x 3y 3 3 . 先

44、爭論方法 分別運用分析法、綜合法證明 . 出示例 4：見教材 P48. 爭論：如何查找證明思路？（從結論動身,逐步反推） 出示例 5：見教材 P49. 爭論：如何查找證明思路？（從結論與已知動身,逐步探求）2. 練習： 證明：通過水管放水,當流速相等時,假如水管截面（指橫截面）的周長相等,那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大. l,截面積為l2,周長為l 的正方形邊長P提示：設截面周長為l,就周長為l 的圓的半徑為22為l ,截面積為 4 l42,問題只需證：l2 l42. Q 所需要的已知P P 2,直到全部的已知23. 小結： 分析法由要證明的結論Q 摸索,一步步探求得到都成立；比

45、較好的證法是：用分析法去摸索,查找證題途徑,用綜合法進行書寫；或者聯合使用分析法與綜合法,即從“ 欲知” 想“ 需知”分析 ,從“ 已知” 推“ 可知”（綜合）,雙管齊下,兩面夾擊,逐步縮小條件與結論之間的距離,找到溝通已知條件和結論的途徑 . （框圖示意）三、鞏固練習：1. 設 a, b, c 是的 ABC 三邊, S是三角形的面積,求證：c2a2b2C4 ab4 3S . 略證：正弦、余弦定理代入得：2abcosC4ab2 3 absinC ,61（成立） . 即證： 2cos C23sinC ,即：3sinCcosC2,即證： sin2. 作業：教材P52 練習2、3 題. 第三課時教學

46、要求 ：結合已經學過的數學實例,2.2.2 反證法明白反證法的摸索過程、明白間接證明的一種基本方法反證法；特點 . 教學重點 ：會用反證法證明問題；明白反證法的摸索過程 . 教學難點 ：依據問題的特點,挑選適當的證明方法 . 教學過程 ：一、復習預備：1. 爭論：三枚正面朝上的硬幣,每次翻轉2 枚,你能使三枚反面都朝上嗎？（緣由：偶次）2. 提出問題：平面幾何中,我們知道這樣一個命題：“ 過在同始終線上的三點A、B、C 不能作圓”. 爭論如何證明這個命題？3. 給出證法：先假設可以作一個O 過 A、 B、C 三點,就 O 在 AB 的中垂線 l 上, O 又在 BC 的中垂線 m 上,即 O

47、是 l 與 m 的交點；bACOBD但 A、B、C 共線, l m沖突 過在同始終線上的三點A、B、C 不能作圓 . P二、講授新課：1. 教學反證法概念及步驟： 練習：仿照以上方法,證明：假如ab0,那么a 提出反證法：一般地,假設原命題不成立,經過正確的推理,最終得出沖突,因此說明假設錯誤,從而證明白原命題成立. 從假設動身,經推理論證得到沖突 沖突的緣由是假設證明基本步驟：假設原命題的結論不成立不成立,從而原命題的結論成立應用關鍵：在正確的推理下得出沖突（與已知條件沖突,或與假設沖突,或與定義、公理、定理、事實沖突等） . 方法實質： 反證法是利用互為逆否的命題具有等價性來進行證明的,通

48、過證明一個命題的逆否命題的正確,從而確定原命題真實. . 注：結合預備題分析以上學問. 2. 教學例題： 出示例 1：求證圓的兩條不是直徑的相交弦不能相互平分即由一個命題與其逆否命題同真假,分析：如何否定結論？ 如何從假設動身進行推理？ 得到怎樣的沖突？. 留意證明與教材不同的證法：反設AB、CD 被 P 平分, P 不是圓心,連結OP,就由垂徑定理：OP AB,OP CD,就過 P 有兩條直線與OP 垂直（沖突）,不被 P 平分 . 出示例 2：求證3 是無理數 . （ 同上分析 板演證明,提示：有理數可表示為m n）證：假設3 是有理數,就不妨設3m n （m,n 為互質正整數） ,從而：

49、2 m n / 3,m232 n ,可見 m 是 3 的倍數 . 設 m=3p（p 是正整數）,就3 n2m292 p ,可見 n 也是 3 的倍數 . 這樣, m, n 就不是互質的正整數（沖突）. 3m n 不行能,3 是無理數 . 練習：假如a1為無理數,求證a 是無理數 . 提示：假設a 為有理數,就a 可表示為p q （p q為整數）,即ap q . 由a1pq/q ,就a1也是有理數,這與已知沖突. a 是無理數 . 3. 小結： 反證法是從否定結論入手,經過一系列的規律推理,導出沖突,從而說明原結論正確步驟和適應范疇（ “ 至多” 、“ 至少” 、“ 均是” 、“ 不都” 、“

50、任何” 、“ 唯獨” 等特點的問題）三、鞏固練習：1. 練習：教材P541、2 題2. 作業：教材P54A 組 3 題. 第三章 數系的擴充與復數的引入第一課時3.1.1 數系的擴充與復數的概念教學要求 : 懂得數系的擴充是與生活親密相關的,明白復數及其相關概念；教學重點 ：復數及其相關概念,能區分虛數與純虛數,明白各數系的關系；教學難點 ：復數及其相關概念的懂得教學過程 ：一、復習預備：1. 提問： N、 Z、Q、R 分別代表什么？它們的如何進展得來的？（讓同學感受數系的進展與生活是親密相關的）2判定以下方程在實數集中的解的個數（引導同學回憶根的個數與的關系）：a 叫（1）x23x40（2）

51、2 x4x50（3）x22x10（4）x2103. 人類總是想使自己遇到的一切都能有合理的說明,不想得到“ 無解” 的答案；爭論：如給方程x210一個解 i ,就這個解i 要滿意什么條件？i 是否在實數集中？實數 a 與 i 相乘、相加的結果應如何？二、講授新課：1. 教學復數的概念：定義復數：形如abi 的數叫做復數,通常記為zabi （復數的代數形式） ,其中 i 叫虛數單位,實部, b 叫虛部,數集Cabi a bR 叫做復數集；出示例 1：以下數是否是復數,試找出它們各自的實部和虛部；2 3 ,8 4 ,8 3 ,6, , 2 9 ,7 ,0規定： a bi c di a c且b=d

52、,強調：兩復數不能比較大小,只有等與不等；爭論：復數的代數形式中規定 a b R,a b 取何值時,它為實數？數集與實數集有何關系？定義虛數：a bi , b 0 叫做虛數,bi , b 0 叫做純虛數；實數 b=0 數集的關系：復數Z虛數 b0一般虛數 b0,0,a00純虛數 ba上述例 1 中,依據定義判定哪些是實數、虛數、純虛數？2.出示例題2：P 62（引導同學依據實數、虛數、純虛數的定義去分析爭論）練習：已知復數abi 與 34k i 相等,且 abi 的實部、虛部分別是方程2 x4x30的兩根,試求：a b k 的值；（爭論 34k i 中, k 取何值時是實數？）小結：復數、虛數

53、、純虛數的概念及它們之間的關系及兩復數相等的充要條件；三、鞏固練習：1指出以下復數哪些是實數、虛數、純虛數,是虛數的找出其實部與虛部；23 ,8 34 ,80 ,6, ,29i21 ,7 ,0z 是：2判定兩復數,如虛部都是3,就實部大的那個復數較大；復平面內,全部純虛數都落在虛軸上,全部虛軸上的點都是純虛數；3 如 3x2 5xy i172 i ,就 ,x y 的值是？Z m 2 1 i m 2 3 42i ,當 m 取何實數時,4已知 i 是虛數單位,復數（1）實數（2） 虛數（ 3）純虛數（4）零作業：P 622、 3 題；其次課時3.1.2 復數的幾何意義教學要求 ：懂得復數與復平面內

54、的點、平面對量是一一對應的,能依據復數的代數形式描出其對應的點及向量；教學重點 ：懂得復數的幾何意義,依據復數的代數形式描出其對應的點及向量；教學難點 : 依據復數的代數形式描出其對應的點及向量；教學過程 ：一、復習預備：1. 說出以下復數的實部和虛部,哪些是實數,哪些是虛數；1 4 ,7 2 ,8 3 ,6, , 2 0 ,7 ,0,0 3 ,32復數 z x 4 y 3 i ,當 x y 取何值時為實數、虛數、純虛數？3. 如 x 4 y 3 i 2 i ,試求 x y 的值,（ x 4 y 3 i 2 呢？）二、講授新課：1. 復數的幾何意義： 爭論：實數可以與數軸上的點一一對應,類比實

55、數,復數能與什么一一對應呢？（分析復數的代數形式,由于它是由實部a 和虛部同時確定,即有次序的兩實數,不難想到有序實數對或點的坐標）結論：復數與平面內的點或序實數一一對應；復平面：以 x軸為實軸,y軸為虛軸建立直角坐標系,得到的平面叫復平面；復數與復平面內的點一一對應；例 1：在復平面內描出復數14 ,72 ,83 ,6, , 20 ,7 ,0,03 ,3分別對應的點；（先建立直角坐標系,標注點時留意縱坐標是b而不是 bi ）觀看例 1 中我們所描出的點,從中我們可以得出什么結論？實數都落在實軸上,純虛數落在虛軸上,除原點外,虛軸表示純虛數；摸索：我們所學過的學問當中,與平面內的點一一對應的東

56、西仍有哪些？一一對應一一對應uur 平面對量 OZ,復數Zabi復平面內的點 a,b,復數Zabi復平面內的點 a,b一一對應uur 平面對量 OZuur OZ,規定相等的向量表示同一復數；留意：人們常將復數zabi 說成點 Z 或向量2應用例 2,在我們剛才例 1 中,分別畫出各復數所對應的向量；練習：在復平面內畫出 2 3 ,4 2 , 1 3 ,4 , 3 0 i 所對應的向量；小結：復數與復平面內的點及平面對量一一對應,復數的幾何意義；三、鞏固與提高：1 分別寫出以下各復數所對應的點的坐標；223 ,8 34 ,80 ,6, ,29 i21 ,7 ,0a 的取值；3 如復數Z2 m3m

57、4m25 m6i 表示的點在虛軸上,求實數變式：如 z 表示的點在復平面的左（右）半平面,試求實數a 的取值；3、作業：課本64 題 2、3 題.第一課時3.2.1 復數的代數形式的加減運算教學要求 ：把握復數的代數形式的加、減運算及其幾何意義；教學重點 ：復數的代數形式的加、減運算及其幾何意義教學難點 ：加、減運算的幾何意義教學過程 ：一、復習預備：0 ,7 ,0,023 i 在復平面中落在哪象限？并畫出其對應的向量；uuuur uuuur7 2 i 所對應的向量,并運算 OZ 1 OZ 2；向量的加減1. 與復數一一對應的有？2. 試判定以下復數14 ,72 ,6, , 23. 同時用坐標

58、和幾何形式表示復數z 114i與Z運算滿意何種法就？4. 類比向量坐標形式的加減運算,復數的加減運算如何？二、講授新課：1.復數的加法運算及幾何意義,就Z1Z2ac bd i ；3 5i.復數的加法法就：z 1abi與Z2cdi例 1運算（ 1） 14 72 （2） 72 14 （3） 32 4（ 4） 32 + 43 5i觀看上述運算,復數的加法運算是否滿意交換、結合律,試賜予驗證；例 2例 1 中的（ 1）、（3）兩小題,分別標出14 ,72 i , 32 ,43 ,5i 所對應的向量,再畫出求和后所對應的向量,看有所發覺；復數加法的幾何意義：復數的加法可以依據向量的加法來進行（滿意平行四

59、邊形、三角形法就）2復數的減法及幾何意義2：類比實數,規定復數的減法運算是加法運算的逆運算, 即如Z1ZZ ,就 2Z叫做Z減去Z1 的差 ,記作ZZ2Z 1；爭論：如Z 1ab Z2cdi ,試確定ZZ 1Z 是否是一個確定的值？（引導同學用待定系數法,結合復數的加法運算進行推導,師生一起板演）復數的加法法就及幾何意義：abicdiacbd i ,復數的減法運算也可以按向量的減法來進行；例 3運算（ 1） 14 72 （2） 52 14 23 （3） 32 - 43 5i練習：已知復數,試畫出Z2i ,Z3,Z54 2 i2小結 ：兩復數相加減,結果是實部、虛部分別相加減,復數的加減運算都可

60、以依據向量的加減法進行；三、鞏固練習：1運算（1） 8 4 i 5（ 2） 5 4 i 3 i （3）2 3 i2 9 i 2 i32如3 10 i y 2 i x 1 9 i ,求實數 ,x y 的取值；變式：如 3 10 i y 2 i x 表示的點在復平面的左（右）半平面,試求實數 a 的取值；3三個復數 Z 1 , Z 2 , Z ,其中 Z 1 3 i ,Z 是純虛數,如這三個復數所對應的向量能構成等邊三角形,試確定 Z 2 , Z 的值；作業：課本 71 頁 1、2 題；其次課時3.2.2 復數的代數形式的乘除運算教學要求 ：把握復數的代數形式的乘、除運算；教學重點 ：復數的代數形