1、17 狀態空間分析引言建模對象：單變量線性定常系統經典控制理論的黑箱模型：即外部模型 傳遞函數等 缺陷：0初始；不充分的模型，不能揭示系統內部運動狀態現代控制理論：狀態空間方法 優勢： 1）任何初始條件下均能描述輸入/輸出關系，系統內部運動狀態。（完全描述，內部描述） 2）易于計算機求解 3）適用：SISO系統，MIMO系統 4）適用：線性系統、非線性系統 5）適用 ：線性系統，非線性系統狀態方程描述非線性系統黑箱模型 ANN (BP, CMAC,RBFNN, etc) SVM Fuzzy白箱模型（揭示系統內部運動狀態） 機理模型（過程的物料平衡、能量平衡方程） 非線性本質模型（混沌、涌現）

2、混沌：普遍的介于確定性和隨機性之間的非線性現象，其行為復雜且類似隨機，但存在精致的內在規律，具有隨機性、遍歷性和規律性。 實例：利用混沌 對 尋優結果狀態方程優勢之一狀態空間軌跡（揭示系統內部運動狀態）IEEE Trans. Control System Technology, submitted狀態空間的線性變換線性變換不變性規范化多種狀態空間同一個系統是否都好用呢？ 否，只有少數幾種可以簡化問題分析 可控、可觀、對角線、Jordan如何變換為好用的標準型？ 線性變換線性變換線性變換狀態向量的不同選取狀態向量的一種線性變換，或稱坐標變換 兩種形式如何轉換？可推廣至時變系統！線性系統的不變性基

3、本概念特征方程：特征值：特征方程的根特征向量：傳遞函數不變性?=特征方程和特征值的不變性 系統特征方程線性系統的規范化目的：變成標準形式起到方便和簡化的作用（求 ）然后通過反變換回到原來的狀態空間化為對角陣標準型：條件：A有n個不等的實特征值特例：（比較少見）系統有重根，該重根的重數其對應的線性獨立的特征向量個數，則也可化為對角陣例7-1：化為對角標準型解：求特征值變換后的狀態方程為注意：1）A陣其實不需求P，但是B陣是必須的2）特征向量不唯一，因此變換矩陣P不唯一一個重要定理（見教材例7-2）對可控標準型的A陣（或稱為友矩陣），有n個互異實根化為Jordan陣標準型：條件：特征值有重根，且該

4、根的重數不等于其對應的線性獨立的特征向量的個數情況1：A的m重特征值，對應的線性獨立向量僅有P1一個m階Jordan塊情況2：A的m重特征值，對應的線性獨立向量僅有k個，1km。例如A陣有6重實根，其對應的線性獨立特征向量只有兩個，則Jordan陣可能為例73，求 的Jordan陣解：注意：三階矩陣的逆要會求，變換陣P不唯一線性定常系統狀態方程的解線性系統狀態方程的解狀態轉移矩陣狀態轉移矩陣 的計算線性定常系統齊次方程的解齊次方程線性定常系統非齊次方程的解（引入控制量）給定線性定常系統非齊次狀態方程為其中， ,且初始條件為 . 將上面方程改寫為在上式兩邊左乘 ，可得將上式由0積分到t，得故可求

5、出其解為或式中 為系統的狀態轉移矩陣。狀態轉移矩陣定義 線性時變系統狀態轉移矩陣 是滿足如下矩陣微分方程和初始條件的解。狀態轉移矩陣 性質：10條狀態轉移矩陣 的計算方法一 直接計算法(狀態轉移矩陣)可以證明，對所有常數矩陣A和有限的t值來說，這個無窮級數都是收斂的。方法二 對角線標準形與Jordan標準形法若可將矩陣A變換為對角線標準形，那么 可由下式給出式中，P是將A對角線化的非奇異線性變換矩陣。類似地，若矩陣A可變換為Jordan標準形，則 可由下式確定出狀態轉移矩陣的計算 例1【例】 考慮如下矩陣A，【解】 該矩陣的特征方程為因此，矩陣A有三個相重特征值=1，則矩陣A具有三重特征向量。

6、從而，將矩陣A變換為Jordan標準形的變換矩陣為 , 矩陣P的逆為 則狀態轉移矩陣的計算 例1則 ，從而可得即狀態轉移矩陣 的計算方法三 拉氏變換法為了求出 ，關鍵是必須首先求出（sI-A）的逆。狀態轉移矩陣的計算 例2【例】 考慮如下矩陣,試用對角矩陣法和拉氏變換兩種方法計算 。 A【解】對角矩陣法 由于A的特征值為0和-2（ ），故可求得所需的變換矩陣P為 P= 因此，由可得狀態轉移矩陣的計算 例2拉氏變換法 由于 可得 因此狀態轉移矩陣 例1【例】 試求如下線性定常系統的狀態轉移矩陣(t)和狀態轉移矩陣的逆 。【解】對于該系統，其狀態轉移矩陣由下式確定由于其逆矩陣為因此 =由于 ,故可

7、求得狀態轉移矩陣的逆為狀態轉移矩陣 例2【例】 求下列系統的時間響應，其中，u(t)為t = 0時作用于系統的單位階躍函數，即u(t)=1(t)。【解】 對該系統狀態轉移矩陣為因此，系統對單位階躍輸入的響應為：即如果初始狀態為零，即x(0)=0,可將x(t)簡化為線性定常系統的可控性與可觀測性分析穩定性概念（適用于非線性系統）單輸入/單輸出系統狀態空間描述的標準形線性連續系統的可控性線性定常連續系統的可觀測性對偶原理基于系統標準型的可控可觀判據離散系統的可控性和可觀性判據SISO系統狀態空間描述的標準形設單輸入/單輸出系統的傳遞函數如下所示可控標準形可觀測標準形設單輸入/單輸出系統的傳遞函數如

8、下所示可觀測標準形對角線標準形設單輸入/單輸出系統的傳遞函數如下所示，考慮分母多項式只含相異根的情況：對角線標準形Jordan標準形設單輸入/單輸出系統的傳遞函數如下所示，考慮分母多項式含有重根的情況：Jordan標準形u,狀態空間標準形 例1【例】考慮由下式確定的系統，試求其狀態空間表達式之可控標準形、可觀測標準形和對角線標準形。【解】可控標準形為：可觀測標準形為：對角線標準形為：線性連續系統的可控性可控性定義可控性的判斷定常系統狀態可控性的代數判據用傳遞函數矩陣表達的狀態可控性條件輸出可控性可控性定義考慮線性連續時間系統 初始條件為 。如果存在一個控制信號，在有限的時間間隔 內，使初始狀態

9、轉移到任一終止狀態 ，則稱由上式描述的系統狀態x(t)在 時為可控的。如果x(t)對所有時刻都可控，則稱該系統狀態x(t)為一致可控的。舉例說明:不能控也不能觀線性系統狀態可控性的代數判據時變系統狀態可控性Gramian矩陣判據定常系統狀態可控性的代數判據狀態可控性的代數判據 對線性連續時間系統 ，當且僅當nn維矩陣 滿秩，即時，該系統狀態可控。證明：下面推導狀態可控的條件。不失一般性，設終止狀態為狀態空間原點，并設初始時刻為零，即 。由上一節的內容可知，該線性連續時間系統的解為利用狀態可控性的定義，可得或將 寫為A的有限項的形式 ，并帶入上式得：定常系統狀態可控性的代數判據記 ，則如果系統是

10、狀態可控的，那么給定任一初始狀態x(0)，都應滿足上式。這就要求nn維矩陣 的秩為n。上述結論也可推廣到控制向量u為r維的情況。此時，如果系統的狀態方程為式中， ，那么可以證明，狀態可控性的條件為nnr維矩陣的秩為n，或者說其中的n個列向量時線性無關的。通常稱該矩陣為可控性矩陣。 定常系統狀態可控性 例1【例】 考慮由下式確定的系統：【解】由于即Q為奇異，所以該系統是狀態不可控的。【例】 考慮由下式確定的系統：【解】由于即Q為非奇異，因此系統是狀態可控的。傳遞函數矩陣表達的狀態可控性條件狀態可控的條件也可用傳遞函數或傳遞矩陣描述。狀態可控性的充要條件是在傳遞函數或傳遞函數矩陣中不出現相約現象。

11、如果發生相約，那么在被約去的模態中，系統不可控。【例】 考慮下列傳遞函數：顯然，在此傳遞函數的分子和分母中存在可約的因子（s+2.5）(因此少了一階)。由于有相約因子，所以該系統狀態不可控。將該傳遞函數寫為狀態方程，可得到同樣的結論。狀態方程為則即可控性矩陣 的秩為1，所以狀態不可控。定義 ，則可將上式重寫為對角陣標準型可控性判據考慮如下的線性系統如果A的特征向量互不相同，則可找到一個非奇異線性變換矩陣P，使得注意，如果A的特征值相異，那么A的特征向量也互不相同。設x=Pz 并代入上面線性系統中，可得當且僅當輸入矩陣 沒有一行的所有元素均為零時，系統才是狀態可控的。注意 矩陣P必須將矩陣A轉換

12、成對角線形式。Jordan標準型可控性判據如果矩陣A不具有互異的特征向量，則無法化為對角線形式，此時可將A化為Jordan標準形，假設能找到一個變換矩陣S，使得利用x=Sz定義一個新的狀態向量z，并代入線性系統 中，可得到則系統的狀態可控性條件為：當且僅當Jordan標準形J中沒有兩個Jordan塊與同一特征值有關；與每個Jordan塊最后一行相對應的 的任一行元素不全為零；對應于不同特征值 的每一行的元素不全為零。Jordan標準形其中，在主對角線上的33和22子矩陣稱為Jordan塊。狀態可控的標準形判據 例1【例】下列系統是狀態可控的：狀態可控的標準形判據 例2【例】下列系統是狀態不可控

13、的：能控標準型的判定下三角陣，滿秩 ，完全可控能控標準型名稱由來：狀態方程一定狀態可控 輸出可控性考慮下列狀態空間表達式所描述的線性定常系統其中如果能找到一個控制向量 ,在有限的時間間隔 內，使任一給定的初始輸出 轉移到任一最終輸出 ,那么稱由上式所描述的系統為輸出可控的。系統輸出可控的充要條件為：當且僅當m(n+1)r維輸出可控性矩陣的秩為m時（即行滿秩），由上式所描述的系統為輸出可控的。注意：在輸出方程中存在Du項，對確定輸出可控性是有幫助的。線性定常連續系統的可觀測性可觀性定義可觀性的判斷定常系統狀態可觀性的代數判據用傳遞函數矩陣表達的可觀測性條件可觀性定義考慮零輸入時的狀態空間表達式式

14、中 。如果每一個狀態 都可通過在有限時間間隔 內，由 觀測值確定，則稱系統為(完全)可觀測的。本節僅討論線性定常系統。不失一般性，設 。為何只需考慮零輸入系統？原因：若采用如下狀態空間表達式則從而由于矩陣A、B、C和D均為已知，u(t)也已知，所以上式右端的最后兩項為已知，因而它們可以從被量測值y(t)中消去。因此，為研究可觀測性的充要條件，只考慮零輸入系統就可以了。線性系統狀態可觀性的代數判據時變系統狀態可控性Gramian矩陣判據定常系統狀態可觀測性的代數判據考慮以下線性定常系統易知，其輸出向量為將 寫為A的有限項的形式，即因而或顯然，如果系統是可觀測的，那么在 時間間隔內，給定輸出y(t

15、)，就可由上式唯一地確定出x(0)。可觀性判據（充要條件） 當且僅當nnm維可觀測性矩陣的秩為n，即 時，上面線性定常系統是可觀測的。對角線標準形判據考慮線性定常系統設非奇異線性變換矩陣P可將A化為對角線矩陣，設x=Pz 并代入上面線性系統中，可得則或如果mn維矩陣CP的任一列中都不含全為零的元素，則系統是可觀測的。 該判斷方法只適用于能將系統的狀態空間表達式化為對角線標準形的情況。從而則系統可觀測的充要條件為：J中沒有兩個Jordan塊與同一特征值有關； 與每個Jordan塊的第一列相對應的矩陣CS列中，沒有一列元素全為零；與相異特征值對應的矩陣CS列中，沒有一列包含的元素全為零。Jorda

16、n標準形判據如果不能將系統的狀態空間表達式化為對角線標準形，則可利用一個合適的線性變換矩陣S將系統矩陣A變換為Jordan標準形定義x=Sz，則可將原線性系統寫為如下Jordan標準形Jordan標準形其中，在主對角線上的33和22子矩陣稱為Jordan塊。狀態可觀測性的標準形判據 例1【例】 下列系統是可觀測的：狀態可觀測性的標準形判據 例2【例】 下列系統是不可觀測的：可觀標準型判定可觀測性矩陣的也是為下三角陣，所以滿秩，因此系統狀態完全可觀測 能觀標準型名稱由來：狀態方程一定狀態可觀定常系統狀態可觀測性 例1【例】 試判斷由下式所描述的系統的可控性和可觀測性。【解】由于可控性矩陣秩為2，

17、即 ，故該系統是狀態可控的。 由于輸出可控性矩陣的秩為1，即 ，故該系統是輸出可控的。 由于可觀測性矩陣的秩為2， ，故此系統是可觀測的。用傳遞函數矩陣表達的可觀測性條件可觀測性條件也可用傳遞函數或傳遞函數矩陣表達。可觀測性的充要條件是：在傳遞函數或傳遞函數矩陣中不發生相約現象。如果存在相約，則約去的模態其輸出就不可觀測了。當且僅當系統是狀態可控和可觀測時，其傳遞函數才沒有相約因子。這意味著，可相約的傳遞函數不具有表征動態系統的所有信息。定常系統狀態可觀測性 例2【例】證明下列系統是不可觀測的。【解】方法一 由于可觀測性矩陣其行列式值為0，故該系統是不可觀測的。方法二 在該系統的傳遞函數中存在

18、相約因子。顯然，分子、分母多項式中的因子（s+1）可以約去。則該系統是不可觀測的，一些不為零的初始狀態x(0)不能由y(t)的量測值確定。對偶原理下面介紹由R.E.Kalman提出的對偶原理，該原理揭示了可控性和可觀測性之間的關系。考慮由下述狀態空間表達式描述的系統 S1：以及由下述狀態空間表達式定義的對偶系統S2：對偶原理 當且僅當系統S1狀態可觀測（狀態可控）時，系統S2才是狀態可控（狀態可觀測）的。對偶原理證明 對于系統S1：狀態可控的充要條件是nnr維可控性矩陣 的秩為n。狀態可觀測的充要條件是nnm維可觀測性矩陣 的秩為n。 對于系統S2：狀態可控的充要條件是nnm維可控性矩陣 的秩

19、為n。狀態可觀測的充要條件是nnr維可觀測性矩陣 的秩為n。對比這些條件，可以很明顯地看出對偶原理的正確性。利用此原理，一個給定系統的可觀測性可用其對偶系統的狀態可控性來檢檢和判斷。簡單地說，對偶性有如下關系：離散系統的可控性和可觀性判據當離散系統用下面狀態空間表達式描述時，狀態完全可控性判據為輸出完全可控性判據為行滿秩狀態可觀性判據為m線性變換將單輸入系統轉化為能控、能觀標準型線性變換不影響系統的能控性和能觀性故不影響可控性，類似的可證明不影響可觀性能控標準型轉化方法 存在性若A,b能控，則一定存在一個線性變換x=P使得唯一性對單輸入系統，化為能控標準型的P陣是唯一的。對多輸入系統則不然。能

20、觀標準型轉化方法存在性若A,c能觀，則一定存在一個線性變換x=P使得唯一性對單輸入系統，化為能觀標準型的P陣是唯一的。對多輸入系統則不然。例：線性定常系統的狀態反饋和狀態觀測器狀態反饋與極點配置問題的提法可配置條件(極點配置定理)極點配置的算法狀態觀測器（有時間的話）問題的提法給定單輸入單輸出線性定常被控系統狀態反饋控制律為式中KR1n為狀態反饋增益矩陣或線性狀態反饋矩陣。下圖分別給出了開環控制系統、輸出反饋和狀態反饋的系統的結構圖。(a) 開環控制系統輸出反饋控制律為(c) 閉環狀態反饋控制系統(b) 閉環輸出反饋控制系統輸出反饋矩陣的閉環狀態方程：閉環系統的傳遞函數矩陣可以證明輸出反饋不改

21、變系統的可控性和可觀性狀態反饋矩陣的閉環狀態方程：閉環系統的傳遞函數矩陣可以證明狀態反饋不改變系統的可控性但是可能改變系統的可觀性共同點：兩種反饋均能改變系統的極點不同點：較之輸出反饋，狀態反饋信息量大、完整，調節系統能力強例：傳函為 希望極點為1，3，試用狀態反饋和輸出反饋設計解：能控標準型為單輸出，因此可以設輸出反饋陣H=h，則閉環系統矩陣為閉環特征方程等于希望特征方程，故有待定系數為： 為矛盾方程，即輸出反饋不能達到控制目的。若采用狀態反饋 ，閉環系統矩陣為閉環特征方程等于希望特征方程，故有待定系數為： 解之： 狀態反饋可以配置問題的提法將控制 代入系統 ，得到由此可見，系統的響應特性將

22、由閉環系統矩陣A-BK的特征值決定。如果矩陣K選取適當，則可使矩陣A-BK構成一個Hurwitz矩陣。矩陣A-BK的特征值即為閉環系統的極點。1、這種使閉環系統的極點任意配置到所期望位置的問題，稱為極點配置問題。問題解答：書上沒有的肯定不考!跟電動機有關的如15，2-8不考慣例：平時20，考試80，具體情況還在商量由exp(At)求A的題型，7-7，一定要掌握！如何求A？1） ?該方法比較繁瑣，計算量大，不建議2)正確做法？方塊圖化簡求傳函如果不需要中間過程，則可以用信號流圖的Mason公式能控性、能觀性和傳遞函數分子分母零極點對消的關系可配置條件極點配置定理考慮線性定常系統假設控制輸入u的幅

23、值是無約束的。如果選取控制規律為式中K為線性狀態反饋矩陣。定理 (極點配置定理) 線性定常系統可通過線性狀態反饋任意地配置其全部極點的充要條件是，此被控系統狀態完全可控。該定理對多變量系統也成立。證明 (對單輸入單輸出系統) 1、充分性2、必要性極點配置定理_充分性1. 充分性。 如果線性系統 狀態完全可控，一定存在非奇異變換 ， 使其變換為可控標準形。變換后的系統，狀態矩陣和輸入矩陣分別為引入狀態反饋：閉環特征方程為：2. 必要性即已知閉環系統可任意配置極點，證明被控系統狀態完全可控。現利用反證法證明。先證明如下命題：如果系統不是狀態完全可控的，則矩陣A-BK的特征值不可能由線性狀態反饋來控制。假設原線性系統 狀態不可控，則其可控性矩陣的秩小于n，即則必有狀態變量與控制u無關，因此，不可能實現全狀態反饋，則不可控子系統的特征值就不能任意配置。所以，為了任意配置矩陣A-BK的特征值，此時系統必須是狀態完全可控的。必要