1、第四章 隨機變量的數字特征 數學期望及其性質方差及其性質協方差和相關系數及其性質矩和協方差矩陣第一節 數學期望 隨機變量函數的數學期望計算公式 數學期望的概念 數學期望的性質 常見隨機變量的數學期望引例:甲乙兩人射擊，他們的射擊水平由下表給出試問哪個人的射擊水平較高？【分析】甲乙的平均環數可求得：因此，甲的射擊水平要比乙的好。 X 為甲所得環數 Y 為乙所得環數本質上，離散型隨機變量的數學期望其形式為求和；簡稱期望或均值，記為 E(X).即難 點：隨機變量 X 可能取值為可列無限多時；若級數絕對收斂，設離散型隨機變量 X 的分布律為 則稱此級數為 X 的數學期望。定義1:一、數學期望的概念為了

2、刻畫隨機變量的均值，我們引入數學期望. 設連續型隨機變量 X 的概率密度為的數學期望。簡稱期望或是均值，記 E( X ).定義2：如果絕對收斂，則稱積分為隨機變量 X 的即本質上，連續型隨機變量的數學期望其形式為積分；難 點: 數學期望涉及積分，熟練積分的計算。即令函數Y = g ( X ) ,絕對收斂，則設離散型隨機變量 X 的分布律為 則稱此級數為 g(X）的數學期望。定義3:若級數事實上，離散型隨機變量函數的數學期望即為函數取值與概率的乘積和；注：上述4個定義為一維隨機變量或是函數的數學期望。設連續型隨機變量 X 的概率密度為定義4：如果則稱積分為隨機變量 g(X)的數學期望，即令函數Y

3、 = g ( X ) ,絕對收斂，定義5:設(X , Y)是二維隨機變量,g(X , Y)是二元連續函數 設( X , Y )為離散型隨機變量，其聯合分布律為則 Z 的數學期望為 設X為連續型隨機變量，其概率密度為 f (x,y),則 Z 的數學期望為【解】求1/4 1/8 1/4 3/8-1 0 1 2已知 X 的分布律為例1：1.利用公式法求解隨機變量或函數的期望典型例題分析【解】由得例2：某項任務完成所需時間 T該項任務若在100天之內完成則得獎金10000元，若在100天至115天內完成，則得獎金1000 元 ,115天,罰款5000,求完成任務獲得的平均獎金數。,規定：若超過設Y 是

4、完成該任務所獲獎金數，則 Y 可能取值為10000,1000,-5000；從而 Y 的分布律為10000 -5000 1000已求出:【解】設隨機變量 X 的概率密度為例3：求【解】設隨機變量（X，Y）的聯合分布律為例4：則隨機變量X的分布律為隨機變量 Y 的分布律為另解令 Z = XY，可能取值為 0 0.1 0.2 0.4 0.1 0.1 0.1-3 -2 -1 0 1 2 3【解】設隨機變量（X,Y）的概率密度為例5：求【解】設隨機變量（X,Y）的概率密度為例5：求注：二、幾種常用分布的期望(1) 0-1分布(2) 二項分布(3) 泊松分布(4) 幾何分布(5) 超幾何分布1.常見離散型

5、隨機變量的期望2.常見連續型隨機變量的期望(1)均勻分布(2)指數分布(3)正態分布典型例題分析2.常見隨機變量的期望【解】例6:設隨機變量 X 的概率密度為對X 獨立重復觀測4次，記Y 為觀測值大于的次數，其中由題意可知，所以：【解】例7:設隨機變量 X 服從參數為的泊松分布，則且由題意可知，所以：【解】由題意可知，所以：各產品合格與否相互獨立,當第一個不合格產品出現時，例8:某生產流水線上每個產品不合格的概率為設開機后第一次停機時已生產的產品的個數為 X ，則1. 設 C 是常數，則E(C)=C;2. 若 C 是常數，則E(CX )=CE(X );3.三、數學期望的性質4. 設X與Y獨立，

6、則 E(XY )=E(X )E(Y );證明: 設（當Xi 獨立時）注意:該性質不是充要條件。推廣：例9、任意擲5顆骰子，X5顆骰子出現的點數之和,求E(X).【解】1 2 3 4 5 6典型例題分析3.利用性質法求解期望例10、二項分布【解】則而，則所以,，求E(X)。X表示n重伯努利試驗中成功的次數.注意：分割隨機變量的原則。例11:將n封不同的信，隨機放入n個寫好地址的信封，用X表示裝對信件的個數，求EX。【解】則01例 12:第二節 方 差 方差的性質 方差的定義和計算公式 常見分布的方差 一、方差的定義 方差的算術平方根為X的方差。記為 D(X)或Var (X)。定義:設X 是一個隨

7、機變量，若 則稱稱為均方差或標準差。存在，記為注：方差實際上就是X的函數 g (X)=X-E(X)2 的期望。方差反映了隨機變量的取值與平均值的偏離程度。證明： 推論：常用計算公式：設隨機變量X的概率密度為求D(X )。 例1:【解】典型例題分析1.已知概率分布求解方差【解】例2:已知, 則方法一同理可得所以：【解】例2:已知, 則方法二：先求出邊緣概率密度，同理可得所以：再求方差.【提示】作業:若, 則令二、幾種常用分布的方差(1) 0-1分布(2) 二項分布(3) 泊松分布(4) 幾何分布(5) 超幾何分布1.常見離散型隨機變量的方差2.常見連續型隨機變量的方差(1)均勻分布(2)指數分布

8、(3)正態分布已知例3求的次數，對X 獨立觀察 4 次，Y 表示X 的觀察值大于【解】由題意可知1.設C是常數,則D(C) =0 ; 2.若C是常數,則 D(CX )=C 2D(X ); 3. 若X與Y 獨立，則三、方差的性質證注：這條性質同樣不是一個充要條件。推廣：若X1,X2, Xn 相互獨立,則4、D(X )=0例4設 X 的可能取值為且，求 X 的分布律。【解】設 X 的分布律為所以【解 】 Z 為正態隨機變量的線性組合，所以仍然服從正態分布，且其參數為故例5設 X , Y 是兩個相互獨立的且服從正態分布的隨機變量 ,且，則求隨機變量服從什么分布？Z N(-7,5)第三節 協方差和相關

9、系數 協方差和相關系數的定義協方差的性質相關系數的性質1、定義 設二維隨機變量 則稱它為X與Y的協方差，即稱為隨機變量X與Y的相關系數。若存在，一、協方差和相關系數的定義記為2、常用計算公式證:1、為常數3、2、二、協方差的性質證：三、相關系數的性質1)2)的充要條件是X與Y以概率1成線性關系即其中為常數定理1 設隨機變量X和Y的相關系數存在，則說明：，X 與Y 的線性關系越顯著；，X 與Y 的線性關系越不顯著；2）3）4）定義、相關系數則稱與不相關;相關系數之間線性關系的一種度量.是X與Y下列命題等價：1）【解】典型例題分析1.利用公式法求解協方差和相關系數例1:箱內有6個球,其中紅、白、黑

10、球分別為1,2,3個，現從箱中隨機的取出2球，記 X 為取出的紅球的個數，Y為取出的白球的個數，求 cov（X,Y）。隨機變量（X ,Y）的聯合分布律為例2設隨機變量相互獨立，且【解】Cov(X,Z)=2, D(X)=4, D(Z)=22.利用性質法求解協方差和相關系數例3將一枚硬幣重復擲 n 次，以 分別表示正面向上和反面向上的次數，求的相關系數。【解】滿足故獨立不相關注：例：X N(0,1),證明X與Y不相關。證：= 0X與Y不相關。但是，顯然，X與Y 不是相互獨立的。不相關： X 與Y 之間沒有線性關系，并不表示它們之間沒有任何關系。獨立： X 與Y 之間沒有任何關系。例3設隨機變量的概率密度為問 X 和 Y 是否相互獨立，是否不相關？【解】 先求關于X 和Y 的邊緣概率密度 因為X 和 Y 不相互獨立。3.討論獨立性與不相關性 求X 和Y 的相關系數 所以故X 和 Y 不相關。= 0.若(X,Y )服