1、(2)在側面內，連結2G交于4.產、(3)在側面4c內，連結 西交的 于“(4)連結版FH,則五邊形“W即為所求的截面.例2；只0、斤三點分別在直四棱柱4Q的棱組、的和% 上，試畫出過R 0、斤三點的截面BiGQ立體幾何中的截面問題一、戳面的定義及作法用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個幾何體的敬而.此平面與幾何體 表面的交集(交線)叫做截線.此平面與幾何體的棱的交集(交點)叫做截點.方法(交線法).該作圖關鍵在于確定截點，有了位于多面體同一表面上的兩個截點即可 連結成截線，從而求得截面.作豉線與碇點的主要根據有：(1)確定平面的條件.(2)如果兩個不重合的平而有一個公共點，那

2、么它們相交J過此點的一條直線.(3)如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條宜線上所有的點都在這個平面內.(4)如果一條直線平行于一個平面.經過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就 和交線平行.(3)如果兩個平面平行，第三個平面和它們相交，那么兩條交線平行.類型1:截面經過的三個已知點分別在多面體的棱上，且其中有兩點在同一個面的棱上.例1：如圖，正方體 中，E.F.G分別在.45.8。燈上，求作過E.F.G 三點的截面.作法：(1)在底面NC內，過、尸作直線即分別與加、%的延長線交于/、M. 5作法：(1)連接外8并延長，分別交織面的延長線于艮F.連接交相于7,交和于S.(3)連接做

3、TP.則多邊形圖超7即為所求截面例3：已知只Q、斤分別是四棱柱的14464的棱位、嗎和441上的點，且QR與助不平行，求作過這三點的截面。小作法：(D連接配并延長交加延長線于點，./戈卜、 jS(2)在平面被口內連接交池于點m/ y ； xXr/ (3)連接g RM.則四邊形/W即為所求。例4：如圖，五棱錐P-ABCDE中,三條側棱上各有一己知點 尺G、H,求作過尺G、分的截面.作法：(1)將側面月姐、PBC、月必伸展得到三棱錐？-AS7.(2)在側面煙內，連結并延長距 交內于4.(3)在側面所7內，連結并延長 叩交外于，(4)在側面內7內，連結AZ分別交困PE于瓜N.(5)連結跳MH.則五邊

4、形尸即為所求的截面X / /類型2：截面經過的三個已知點至少有一點在多面體的面上，其余點在棱上 例5：如圖，正方體的中，E、尸在兩條棱上，/G在底面內，求過艮尸、G的截面.P9SSSS/作法：(1)過艮尸作輔助面，在面sq內，過尸作為的一 交用q于點公，則面岬方為所作的輔助面.在面4巧小內，延長尸 1勺交所的延長線于尸.在面勾”64內，連接小交&于.并延長交用q于加(4)連結超并延長與弱延長線交于。連接交加于(5)連結甌FN,則五邊形兩為所求的截面.例6：己知直四棱柱wq,p在面4叫內，。在面與幽內，斤在棱嗎上,畫出過只0、斤三點的截面。作法：(1)過尸作外_L5于點尸，過0作00J助于。(2

5、)在底面被力內連接加 BQ,并交于K(3)由平行線QQ、段作平面QQBR,連接QR.(4)在平面QQBR內過.H作KHJL面ABCD交QR于K。由平行線PP,幽作平面PPAAV則必落在面PPAA、內(6)在面印內，連接朗 并延長交A41于乂(7)在面小彳地 內，連接刈，并延長交色 于S。(8)在面4aq內，連接命，并延長交的于7。(9)連接斤7、RM.則多邊形以即為所求。類型3：截面經過的三個已知點中，有兩個點在同一棱上，第三點在多面體內例7：試作出過正三棱柱ABC-AFiS的底邊 比及兩底中心連線的中點的截面。作法：過和電作平面4%小，交比于交與6于4,則。、4分別為sc、的中點。(2)在平

6、面4,內，作直線加交上底面均與6于點仇在平面516內，過G作94G交為用于區交46于凡(4)連接跖CF.則多邊形必叨為所求.類型4：截面經過的三個已知點兩兩不在同一面內的棱上.作法：先過幾尸兩點作輔助平面過點作叫R咽交/以于斤 1，則面曬q為所解：連接網并延長交的延長線R%,同樣.求出尸。與平面月88的交點力八，連接例8：在側棱和高的夾角為a的正四棱錐中，求作一個過底面頂點且與這點所對側棱垂直的低面(a V45)。作法：(1)在平面C中，作4及LSC于點及在底面ABCD內過/作G歐(3)延長區8分別交&于點乂 N.(4)連接取EN,分別交甌助于點G、H。(5)連接NG、AH,則多邊形/函即為所

7、求。.V例9/ A Q、斤三點分別在直四棱柱AC1的棱CCV和上，試畫出過A Q、斤三點 的截面兒TJA得到截線連接K0.H?得到所求截面尸。口?若M/八不與底而H8CD的內部相交，而是交于它的延展而上,則可延長OC交八/小八F 八八，連接八八夫得到戴線夫丁.連接70,則得到所求鼓曲P0巾例11：如圖,分別在棱耳.5與匕G在平面4。內，作過E萬。的心面g解：在得到A/.N兩點后,只能先作出平面上的假線容易從圖2看出其余步驟,從而得到所求截面我們把已知三點中有兩個點分別在正方體的兩個共而的 棱上的作鼓面題叫做基本題型，有明顯的規律性45E例12： E.F.G分別在兩兩異面的三條棱匕 畫出過E.+

8、.G三點M唱歹體叱依流解：作GP1DC,連接4G和AP ,連接GE并延長交的延長線rA/ ,連接MF交ABN與H.連接EH.在平面.4BCD內作GK 印交CC；于K.連接KF刀在平面AD1內作ER/KF交4A TR,連接RG ,則所求做而為六邊形EAFKGK【；：】通過GP J. DC得到一個輔助平面4Gp4 .它把正方體分割出一個直四棱柱，PCB-4GG4.0THH3而G兩點分別在這個直四棱柱共面的兩條棱匕這就回到基本題型，主要是構建輔助平面使所給的三點中的兩點分別在獷的共而的兩條棱上JV若E在棱匕F.G分別在不經過棱的兩個而（共棱的兩個面或相對的兩個面）內.則作截面的步驟，仍是先作一個適當

9、的輔助平面.歸結為基本題型左圖中的輔助平血為40尸X ,相應的直棱柱為40R-.4P8【注】如果G在平面wg內時,在平面4G內作gp片q.輔助平面PQCB分割出直四棱柱APB - DDC,又回到基本題型，在求得A1.N兩點后，易得截面ERFA月若E在棱,2匕 RG分別在不經過棱的兩個面（共棱的兩個面或相對的兩個而）內.則作截面的步驟,仍是先作一個適當的輔助平面，歸結為基本題型右圖中的輔助平面為40R4 .相應的直棱柱為W0C18-HRC8E.F.G ,:點分別在正方體的:個面內,三個面分共頂點的和不共頂點兩種情況例13： E在平面48內,下在平面BQ內,G在平面耳內，求過E.F.G的截面解：如

10、圖,先作輔助平面R0PT，得到宜五棱柱&R0G4 - ATPCD.連接EF并延長交P0的延長線于A1 , 按基本題型方法作出截面KHLS 例H： 下分別在正方體的棱8耳CG匕G在正方體的內部.求過F.G的截面 解：過G作GH1平面XC,并延長交平面4G于尺.作輔助平面即3，連接EG并延長交尸。T R.T連接EF,在平面,肛內過R作TS斤，連接TE和FS,則所求截面為IEFSAaTN/HG.連接NF.則所求鼓面為四邊形FL7N例6 G分別在正方體的內部和外部，F在棱月4上, 求過EG三點的正方體的截面【總結】：若己知兩點在同一平面內，只要連接這兩點，就可以得到截面與多面體的一個 面的截線。若面上

11、只有一個已知點，應設法在同一平面上再找出第二確定的點.若兩個已知點分別在相鄰的面上，應找出這兩個平面的交線與截面的交點。若兩平行平面中一個平面與截面有交線，另一個面上只有一個已知點，則按平行平面與 第三平面相交，那么它們的交線互相平行的性質，可得截面與平面的交線。若有一點在面上而不在樓上，則可通過作輔助平面轉化為棱上的點的問題；若已知點在 體內，則可通過輔助平面使它轉化為面上的點，再轉化為棱上的點的問題來解決。二、截面的面積問題一在和中,CDcAB,所以。6例16：網錐的母線長為/,軸截面為的頂角夕求過此網椎的母線的截面面積 解：設PCD是過圓錐母線的異于軸截面的任意截而，其頂角= 軸截而VA

12、B的面積S = I- sin 3.截向VCD的面積S* = -/2 sin a此時過颼母線的截面面積最大為軸截面面積(1)當Oves1時，0av6g, sinaS,S.(2)當彳v6v/r時,Ovav6v;r.此時sin6l, sina可以取到最大值1此時過網推母線的截面面積最大值為S=然上所述.過圓錐母線的截面面積的最大值與軸裁面頂角6的范鬧有關 TOC o 1-5 h z 萬1當Ovew二時,軸截而面積最大，最大值為S=2尸sine2271當g = a則。乃一28 TOC o 1-5 h z DLDvc=vd=-=.ccx=dd.=9 K=m=一 cos 0sin Ocos 0軸截面月BB

13、T的面積為S = A? tan3-(R-hcot0)(Rtan6-%)=2Rh-lr cot0截向CDD的面積為S = S&e - SArr.j1, R 、2 1 / R h、2 ./ 2Rh=(廠 sin a 一一(廠 sin a - sin a(2 cos 82 cos 8 sin 6sin 20在匕18和!)中，acr-lO TOC o 1-5 h z (1)當06三時，.所以0a;r 42h2sina在(0.不)可取得最大值1,此時截面面積的最大值為二.,sin 20 2sm-6(2)當三工時.02；7 26 4三，sin a sin( - 20) = sin 204故Ssin26(-

14、) = 2/?/?-/rcot9 = S,即SvSsin 23 2siir 0綜匕過阿臺母線所有截面中，其而枳的最大值與軸截面等腰梯形的底角6有關n7 DJ| 1,2當06 A = ./ = .r = , 丁是 85=三8（7,5 s 55X=3*所以S是線段8C上的郁近點C的五等分點.【引理】：若梯形的上下底邊長分別是，它的平行于底的截線與上下底的距離之比為竺， 且截線長為/,則/= 1+” m + n證明：在梯形HBCO中，AD / BC ,若AD = a.BC = b, EF BC且 分別交XRCD于F, FNtBC于N ,交AD的延長線于Al, k =，FN n過F作GH / AB分別

15、交BC及AD的延長線fH.G.則 EF = BH = AG.且 ADGF s ACFH”DG MF I-a m , mb + na所以= = -= =/ =CH FN b-l 7 + 例20：如圖，設棱臺的上下底面面積分別為SS,平行底面的截面力線或。4分高 的比照L =”.截面面枳為S。，求證：氐=，S二SHqH nm + n證明：過/作,4N_Ld8于N,與&交于MAM _ HHq _ / 二 b _ fnABnAB _，于 _ w6 + Js而 一 = A。一 7 + -n、o 一 -證明：以正棱臺為例.s,.w=5。S. q 一 S 卜一 So J fmcosacosa卜 十S, m

16、+ 若臺體的體積被平行底面的截而自上而下分成“，：3則破面面積S0滿足t 7S +; 3-2F /sni + n8,例21若臺體的側面積被平行底面的鼓面自上而卜,分成7： ,則截面面積S0=jH- in + n例22：過正方體的對角線3%的豉面面積為$ :和窿,分別為S的最大值和最小值.求的值s01m解：沒、.V分別為業、的的中點.易證截面用燒.v是邊長為也的菱形（正方體棱長設為1）,其面積S皿Q=更.而截面能4。是矩形，其面積Sa =&.則鳥曰=竺 2S_ 3例23.如圖，已知球0是棱長為1的正方體?蝗?-4民GA的內切球,則平面力他截球0的截面面積為解：平而是邊長為的正三角形.三個面的切點

17、恰為A4CA三邊的中點,4且球與以點。為公共點的AB故所求故面的面積是該正三角形的內切網的而積，則由圖得.wcq內切網的半彳仝是走【an300 =立,則所求的截面例的面積是;7.（逅）2 =22666三、鼓曲的其他問膻例二:一個止方體內接尸一個球.過這個球的球心作一平血.則截面圖形不可能是（） 解：考慮好球心的平面在轉施過中，平面在球的再接E方體上截得的板而不可能是大國的內 接正方形，故選D。例二5：兩個平行底面的戴而將棱錐的側而枳三等分,則這兩個截面將棱錐的高分成三段 之比（自上而下）為多少 解：設自上而下分成的三段分別為兒.兒.用，則（丁冷產=1 = 4 = 71/j + h2 2 h2

18、V2 -1%:憶=1:(亞-1):(6-0)同理(-)2 =-=)=+ /- + Il 3 h. + 兒 + h. G 1431.3例26：在棱長為1的iE方體內，行兩球外切，并且乂分別與正方體內切當球的半徑為多少時.兩球的體積之和最小？ 解：球體與正方體內切從正方體的對角面極取,如圖,乜（76為過球心的對角麻.q =i.4G = J?./g =設兩球半徑分別為Rj,則有A0廣百LCQ?=y5R,所以 R + r + JJ(R + r) = G = R +， =3-62設兩球的體枳之和為 =3小夫3+尸3）= ：1萬（r+）.）（夫+/）233技E西一夫+（3 一3-60)2二&時，/有最小值

19、 4D8筋Rr1IAF 42R G例27：在長方體有一個公共頂點尸的三條棱上分別各取異于P的點48.C,得到一個極而AziBC,求證：AJ3C為銳角三角形解：如圖,APJ.平面BPC干尸,故乙4cp是4C與平面BPC所成的角根據最小用定理，N/CB乙4c尸,同理NB*CNC4P 5 所以 ZJCB + ABAC ZJCP + ZC4P = 90 n ZABC DAE = -,同理乙&AF =三= NEAF = 土 36664T故京的長為之叵.三二走;r,這樣的孤共有3條 3 69在平面4及GA匕 交線為fg,因為半徑為=.NK4G =2,所以Fd的長為走.三二走不，23 26這樣的孤也有3條，

20、故所得曲線長為3x走;7 + 3、且；7 = 大&；7 966例29：已知球的半徑為2.相互垂直的兩個平面分別豉球而得兩個圓.若兩例的公共弦長為2,則兩圓的圓心距等于（）A. 1 B. 41C石D. 2解析：。與0、的公共弦為AB,球心為0, AB中點為C, 則四邊形 000:C 為矩形，|。02 H OC I. v| OA1= 2. 所以| XC |= 1. AC 1 OC OC|= J|Q4|2 - 14cl2 =石例3。.已知正四棱惟產一.極力的枝長都等側棱兩融的中點分別為億.1：則假面 與底面.姐Q?所成二面角大小的正切值為.AB解：過4在平面ABCD內作直線BD,連接AC,BD交于0

21、,連接做JZA；記歐交于。.因為PB、PD的中點分別為、卜，所以如一 BD, 因為“80,所以MN, Aw/.所以/u平面,/V. 平面與平面交線為/易知NO&。即為而41W與底而NBC。所成二面用的平面向：J?yF1AO = PO =a OO = a = tan OAO =-242例31:如圖,正方體BCO 4與的棱長為1. P為BC的中點,Q為線段CC】上的動點,過點A,P,Q的平面該正方體所得的假面記為S,則下列命題正確的是 當OC0：時.S為四邊形當。=:時，S為等腰梯形 d 當C0 = 3時.S與CQi的交點R滿足CiR1=?；43當時，S為六邊形當C0 = 1時，S的面積為當4 /

22、解：設截面與相交于T,則P0IUT = 200 = OT = 2C0.對，當OC0v：,則OvOTvl.所以截面S為四邊形，且S為梯形.所以為真.對 當C0 = ：.OT = 1 ,丁與A重合，截面S為四邊形”0A.所以JP =。截面S 一為等腰梯形.所以為真.對 當C0 = 2n0G =L = at = 利用三角形相似解得GR】=:久 44一一。對，.當之。0川寸.3口T2.截面S與線段A|DD|G相交，所以四邊形S為五邊42形.所以為假.對當C0 = 1時，Q與G重合.截面SH線段45相交于中點G抑為菱形XPGG.4.對角線長度分別為、5和、氏s的面積為也.所以為真.易知周長為定值/的正六

23、邊形與正三角形而積分別為，故S不為定值。例32： XBCD-H與GA為正方體。任作平面夕與對角線zlC垂直，使得a與正方體的 每個面都有公共點，記這樣得到的截面多邊形的面積為S,周長為，.則 A. S為定值，/不為定值B. S不為定值,/為定值C. S與/均為定值D. S與/均不為定值你二人、人/解:將正方體切去兩個正三棱錐,4 - ABD與C- DPC后，得到一個以平行平面HBO與 DBC為上、下底面的幾何體。v的每個側面都是等腰宜角三角形，極而多邊形w的每一 條邊分別與V的底面上的一條邊平行，將V的側面沿棱剪開，展平在,張平面上,得 到一個平行四邊形月344.而多邊形W的周界展開后便成為一條與平行的線段（如 圖中E4）,顯然故/為定值。當E位于/F中點時,多邊形W為正六邊形，而當E移至H處時,W為正三角形,例33：設四棱錐P-ABCD的底面不是平行四邊形,用平面a去截此四棱錐,使得截面四邊形是平