1、PLAY第一節 正態分布的密度函數第四章 正態分布第二節 正態分布的數字特征第三節 正態分布的線性性質第四節 二維正態分布第五節 中心極限定理正態分布是實踐中應用最為廣泛，在理論上 研究最多的分布之一,它在概率統計中占有特別重要的地位.比如,考察一群人的身高,個體的身高作為一個隨機變量,其取值特點是:在平均身高附近的人較多,特別高和特別矮的人較少.一個班的一次考試成績、測量誤差等均有類似的特征.高斯在研究誤差理論時曾用它來刻畫誤差,因此很多文獻中亦稱之為高斯分布. 進一步的理論研究表明,一個變量如果受到大量獨立的因素的影響(無主導因素),則它一般服從正態分布,這是中心極限定理探討的問題.第一節

2、 正態分布的密度函數 式中 為實數, 0 .則稱X服從參數為 ,2的正態分布,亦稱高斯分布.記為N(, 2).可表為XN(, 2). 圖象見右上角若隨機變量X的密度函數為一. 一般正態分布 1. 定義 (1) 單峰對稱 密度曲線關于直線x=對稱f()maxf(x)正態分布有兩個特性：(2) 的大小直接影響概率的分布越大,曲線越平坦;越小，曲線越陡峻.正態分布也稱為高斯(Gauss)分布二. 標準正態分布 參數0，21的正態分布稱為標準正態分布，記作XN(0, 1)。其密度函數為分布函數為(1) (2) (+)1；(3) (x)1 (x).x一般的概率統計教科書均附有標準正態分布表供讀者查閱(x

3、)的值.(P328附表1)如,若XN（0,1),(0.5)=0.6915,P1.32X0,則有三. 一般正態分布概率的計算一般地,有例2. 設 XN(,2),求P-3X3的值.如在質量控制中,常用標準指標值3作兩條線,當生產過程的指標觀察值落在兩線之外時發出警報,表明生產出現異常.隨機變量標準化例5 一種電子元件的使用壽命(小時)服從正態分布(100,152),某儀器上裝有3個這種元件,三個元件損壞與否是相互獨立的.求：使用的最初90小時內無一元件損壞的概率.解:設Y為使用的最初90小時內損壞的元件數,故則YB(3,p)其中一. 一般正態分布N(, 2)第二節 正態分布的數字特征二. 標準正態

4、分布N(0, 1)例2 設X服從N(0，1)分布，求E(X2),E(X3)為什么?習作題 1.設隨機變量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z獨立，求隨機變量U=（2X+3Y)(4Z-1)的數學期望2 設隨機變量相互獨立,且均服從分布,求隨機變量的數學期望答:答:1. 設隨機變量XB（12,0.5),Y N(0,1),COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1與W=-2X+4Y的方差與協方差.2. 某單位招聘2500人,按考試成績從高分到低分依次錄用,共有10000人報名.假定報名者的考試成績X服從正態分布 現已知90分以上有359人,60分以下的有1151人,求被

5、錄用者中的最低分數.作業題解： Y=ax+b關于x嚴單,反函數為例1 設隨機變量X服從標準正態分布,求隨機變量 Y=aX+b的密度函數,且有第三節 正態分布的線性性質一. 線性性質直接由Y的密度函數,可觀察到Y的數學期望與方差定理1 設隨機變量X 服從正態分布N(, 2),則X的線性 函數 也服從正態分布,且有例2 已知XN(,2),求解的概率密度關于x嚴格單調,反函數為故你能用正態分布的線性性質求解嗎?二. 正態分布的可加性定理3 設隨機變量X1, X2，., Xn獨立且Xi 服從正態分布N(i ,i2),i=1,.,n, 則定理2 設隨機變量X1,X2 相互獨立且Xi 服從正態分布N(i

6、,i2),i=1,2, 則例1. 設隨機變量X與Y獨立且均服從標準正態分布，求證：Z=X+Y服從N（0，2）分布.例2. 設隨機變量X與Y獨立,且X N(1,2),YN(0,1).求證:(1)Z=2X-Y+3的密度函數;(2)P2Z0、20、| |1，則稱(X, Y) 服從參數為1, 2, 1, 2, 的二維正態分布，可記為 一. 密度函數 若隨機變量(X,Y)的密度函數為第四節 二維正態分布二、邊緣密度函數為(X, Y)關于Y的邊緣密度函數。 設(X, Y)f(x,y),(x,y)R2,則稱為(X,Y)關于X的邊緣密度函數；同理,稱易知N(1,2,12,22,)的邊緣密度函數fX(x)是N(

7、1, 12)的密度函數,而fX(x)是N(2, 22)的密度函數,即 二維正態分布的邊緣分布也是正態分布.可見,若（X,，Y）服從二維正態分布，則X與Y獨立的充分必要條件是X與Y不相關。 例 設(X,Y)服從N(1, 0, 32, 42, -0.5)分布， Z=X/3+Y/21)求E(Z) , D(Z) ;2)求X與Z的相關系數3)問X與Z是否相互獨立？為什么？ 設Xn為隨機變量序列，X為隨機變量，其對應的分布函數分別為Fn(x), F(x). 若在F(x)的連續點，有則稱Xn依分布收斂于X. 可記為一. 依分布收斂第五節 中心極限定理二.幾個常用的中心極限定理1.獨立同分布中心極限定理(Levy-Lindeberg) 設Xn為獨立同分布隨機變量序列，若EXk=，DXk= 2 ，k=1, 2, , 則Xn滿足中心極限定理。根據上述定理，當n充分大時或者例1.將一顆骰子連擲100次，則點數之和不少于 500的概率是多少？解:設Xk為第k 次擲出的點數,k=1,2,100,則 X1,X100獨立同分布.