1、第二章靜定系統的內力這一章靜定系統細長構件（桿、梁、軸、剛架等）傳遞的力和力矩。由于不同的載荷形式和支承方式，桿件截面上產生不同性質的內力：軸力、剪力、彎矩和扭矩。通過截取分離體的方法，利用平衡條件可以求出截面上的內力，并獲得內力沿軸向坐標 x 的變化規律，即內力方程，由此可以繪制桿件的內力圖。內力的微分方程建立了內力之間、內力與載荷之間的關系，這些關系有助于繪制內力圖。內力分析的目的是找到內力最大值所在的截面，即“變形的計算。截面”，為進行桿件的強度分析提供依據。而內力方程還將用于桿件2-1 常見的承力構件與支承工程結構和機器通常由一些形狀規則的構件組成，其中每一構件具有一定的能。本節將對常

2、見構件的幾何特征和能、載荷形式及約束給予簡要分類和闡述。一. 常見的承力桿件圖 2-1 (a)(f ) 分別是從工程結構或機器中分離出來的桿、柱、梁、懸索和軸構件。根據其設計要求、自身特性及支撐情況等，桿件可以承受拉力（圖 a、e）、壓力（圖 b、c）、和橫向載荷（圖 d），或者傳遞力偶矩（圖 f）。（d）梁（a）拉桿（b）壓桿（c）柱（f）軸（e）懸索圖 2-1如前所述，材料力學主要研究桿件一類構件的受力和變形。對于板、殼和塊體的力學行為將在其它力學分支課程中研究。根據桿件承力類型的不同，常采用不同的橫截面形狀，如圖 2-2 所示。其中空心圓形、角形、槽形和工字形截面，其壁的厚度遠小于截面其

3、它的尺寸，可稱為薄壁桿（thin-walled bar）。工程中，這些薄壁桿件被稱為型材。如果構件的長度比橫向最大尺寸大五倍以上，就可以看成是細長構件（slender member）。后面的論述20將證明，對于細長構件，用材料力學的工程近似方法進行力學分析，得到的結果有相當高的精確度。有些結構，例如建筑的總高度比樓面尺寸大很多，飛機機翼的長度比截面尺寸大得多。這些結構也具有細長構件的特征，在初步分析或近似分析中可以作為桿件考慮。實心圓空心圓矩形角形槽形工字形圖 2-2二 載荷的形式作用于桿件上的外力按作用方式可以分為表面力（surface force）和體積力（body force）。表面力通

4、過外界的物體與桿件表面的接觸將力傳遞給桿件。例如，一根基礎梁上砌筑著一堵墻（圖 2-3a），墻體對梁的作用可以用梁的上表面上的分布力 q 來表示，q 是一種表面力。一般情況下 q 是梁的軸向坐標 x 的函數 q = q(x)（圖 2-3b）。稱 q(x)為分布載荷（distributed load）。如果 q 在其分布長度內為常數，則稱為均布載荷（uniformly distributedload）。壓力容器的氣體或液體對容器壁的作用力也是表面力。作用在桿件各個質點上的力稱為體積力。重力，電磁力，慣性力都是體積力。qFBFAAB(b)(a)圖 2-3圖 2-4a所示的梁AB中點C的上方放置了另

5、一根梁，后者對前者的作用力分布在兩者接觸的范圍內（圖 2-4b），由于該范圍的尺寸相對于AB梁的長度而言很小，它對AB梁的作用可以用分布力的合力F代替，稱這個力F為集中力（concentrated force）。支座A和支座B處的反力FA和FB也是梁AB與支座墊塊接觸面上分布力的合力。在內力分析時，可將集中力和支座反力表示為圖 24c的形式。21FACAB(a)FCCFAFBFA(b)FB(c)圖 2-4FAFM=FhhFFBBA(b)(a)圖 2-5載荷還可能以力偶（couple）的形式施加在桿件上。如圖 2-5 所示，一對距離為 h 的力 F可以簡化為作用在桿件軸線上的力偶矩（moment

6、 of couple）：MFh。按載荷隨時間變化的情況，可以分為靜載荷（s ic load）和動載荷（dynamic load）。加載緩慢進行、加載后大小不變的載荷稱為靜載荷。而稱大小隨時間明顯變化的載荷為動載荷。汽車在高低不平的路面上行駛時，車的輪軸上經受的載荷，氣流作用在飛機機翼上的載荷，建筑物經受的風載荷，載荷，物體撞擊構件時的作用力都是動載荷。構件材料在靜載荷和動載荷作用下的力學響應有很大差別，需要采用不同的方法進行分析。為，記為N。工程中還常用千，記為kN，1kN103N。采用國際制，力的三支座與約束反力研究的對象經常是一根桿件，或數根桿件組成的系統。將一根桿件或者一個桿件系統從結構

7、中或總系統中分離出來，它與結構其它部分或與其它系統連接處簡化為支座（support），其它部分對它的作用稱為約束（constra），其作用力稱為約束力（constraforce），也可稱為約束反力（constrareaction force）。約束力對桿件的作用與載荷對桿件的作用都是外部的作用，即約束力和載荷都是外力（external force）。22B以例，設梁在平面內（記為xoy面）承受外載荷，則僅考慮支座對梁在該面內的約束和約束反力。常見有三種形式的支座：固定支座（fixed support），定鉸支座（unmovablepin support）和動鉸支座（movabln suppor

8、t）。固支的典型例子是嵌固在墻內的形成的支座。如圖 2-6a所示，這種支座約束了三個度，即約束了截面在x 和y方向的移動以及在x-y面內的轉動。如此，該端截面x和y方向的位移u和v為零，轉角為零。相應在支承處有二個未知約束反力Fx，Fy和一個未知約束反力矩M。定鉸支座如圖 2-6b所示。MFxFyFyFx(b)Fy(c)圖 2-6轉動，支座約束了在支座處可以x和y方向的兩個移動度，即 u和 v為零，轉角 未知。相應的未知支座約束力為Fx和Fy，支座力矩 M 0 。圖 2-6c為動鉸支座，它只約束了桿端y方向的移動度（v0），x方向位移u和轉角 未知待定。支座約束反力 Fx為零，約束力矩M為零，

9、約束反力Fy未知。如果是沒有約束的零，三個位移量待定。端，則三個約束反力為表 1-1 支座位移與約束反力以上三種支座和端的位移和支座反力情況列于表 11，表中符號表示對應項為未知23位移支座約束反力uvFxFyM(a)固定支座000(b)定鉸支座000(c)動鉸支座000(d)端000(a)量。2-2力系的平衡條件材料力學著重研究處于靜力平衡的桿件的力學行為。物體處于平衡狀態時，其整體及從中分離出來的任意部分均處于平衡狀態。由此可建立前述三大基本關系中的平衡條件，其理論基礎是靜力學中關于力系的簡化與平衡力系的主要定理。這一節對靜力學作一簡要回顧。各個力的作用線分布在同一平面上的力系稱為平面力系

10、（plane forystem）。應用力向一點平移的方法，可以將力系里各個力Fi , ., Fn 向平面內任一點O平移，將平面力系簡化為一個主矢（principal7a）。主矢為各個力的矢量和：FR Fi或者用分量的形式寫成FRx FixFRy Fiyvector）FR和一個主矩（principal moment）Mo（圖 2(21)(22a)（22b）主矩Mo等于各力對O點力矩的代數和：Mo mo (Fi )（23）FRFRMoOFFOOOF(c)(b)(a)圖 27應用力向一點平移的方法，可以將過O點的主矢和主矩進一步簡化為過O點的一個力。如圖 27b所示，過O點作與FR大小相等方向相反的

11、力F。使距離OO Mo / FR ，然后過O 作FFR，這樣得到的力F（圖 27c）與原力系等效，稱為平面力系的合力（resultant force）。平面力系的合力對于平面內任一點之矩等于該力系中各個力對于同一點之矩的代數和。這就是平面力系的合力矩定理（theorem of resultant moment）。平面力系平衡的充分必要條件是，平面力系一點簡化得到的主矢為零，主矩也為零。給定直角坐標系下，平衡條件用分量的形式可以表示為： Fix 0 Fiy 0（24a）（24b）24Mo mo (Fi ) 0（24c）與平面力系類似，應用力向一點平移的方法，空間力系的各個力一點O平移后得到一個主

12、矢FR和一個主矩Mo：Fi , ., FnFR FiMo mi mo (Fi )空間力系平衡的充分必要條件是，力系分量的形式可以表示為： Fix 0 Fiy 0 Fiz 0 mx ( Fi ) 0 my ( Fi ) 0 mz ( Fi ) 0（25a）（25b）何一點簡化得到的主矢為零，主矩也為零。用(26a)（26b）（26c）（26d）（26e）（26f）其中 mx , my , mz 分別為力對 x、y、z 軸之矩。對于空間力系也有合力矩定理，即合力對任何一點（軸）之矩等于力系中各力對同一點（軸）之矩的矢量和（代數和）。方程（2-4）和（2-6）對一切處于平衡狀態的物體均適用。用這些方

13、程對分離體進行平衡分析，可獲得作用在分離體上所有的力之間應該滿足的平衡方程。用分離體圖進行平衡分析是力學的一個基本方法。應該，對靜力學中研究的剛體，以上力系的等效簡化不影響其力學響應，且可以隨意使用力的平移原理。但對變形體，其力學響應與力的性質、作用方式及作用位置等密切相關，一般不能隨意進行力的等效簡化。不過在建立處于平衡狀態的變形體的平衡方程的過程中，純粹是研究力之間的關系，仍可將物體視為剛體處理。例 2-1 如圖 2-8a 所示 AB 梁，A 端為定鉸支座，B 端為動鉸支座。梁上作用有集中力 F10KN，均布力 q5kN/m，力偶矩 M10kNm。長度 a = 1m，梁的重量忽略不計，求其

14、支座反力。解：將整個梁AB作為分離體，按前節分析，A端有兩個約束反力FAx和FAy。B端有約束FF2qayqMMFAxxCCDBFFAyAAByBaa2aaaaa(a)(b)圖 2825反力FBy。考慮平衡條件時，均布力q的作用可以用作用于CB段中點的等效合力 2qa來代替。圖 2-8b為分離體圖，根據平衡條件，Fx 0，FAx= 0 mG ( F ) 0 ，Fy 0 ，FBy 4a 2qa 3a 2Fa M 0F 2qa 0解得FAx= 0，FBy = 15 kN和FAy = 5 kN。同理，當約束反力求出后，可以從分離面上的內力。取出，獲得其分離體圖，用平衡條件求出23 桿件橫截面上的內力

15、為了確定桿件橫截面上的力和力矩，可以在構件需要分析的地方用假想的截面將其截開。然后將截取的一部分作為分離體，應用力的平衡條件，可以求出截面上的力和力矩。其過程可歸納為以下三個步驟：在桿件需要求內力的截面處，假想用一截面把桿件分為兩個部分，保留其中任一部分作為研究對象，即分離體。將另一部分對保留部分的作用力用截面上的內力來代替。對保留部分（分離體）建立平衡方程式，確定截面上的內力。用假想截面截取部分構件作為分離體來確定截面上的內力的方法也稱為截面法。這種方法對任何處于平衡狀態的受力構件均適用。如圖 2-9 所示，一根桿件在任意外力系I（包括約束反力）作用下處于平衡狀態。為了顯現某截面上的內力，在

16、該處用一個假想的截面將此構件分為I 和II兩個部分。取部分 I為分離體，如圖 2-10a所示，II對I的作用表現為截面上的分布力系，將其向截面上某一點（通常為形心o）簡化得到主矢F和主矩Mo（圖 2-10b）。內力的本意是指截面兩側材料II圖 29互相的作用力，也就是截面上的分布力。然而，在后續課程中，將分布力的主矢F和主矩Mo定義為截面上的內力。在截面上建立oxyz 坐標系，x軸與桿件的軸向一致，yz坐標面與截面重合。規定截面外法向與x方向一致時，稱其為正x面，截面外法向與x軸方向相反，則稱為負x面。如此，矢量F和Mo沿坐標軸方向各可以分解為三個分量。F的三個分量記為Fxx，Fxy和Fxz。

17、 Fxx是沿x軸向的分量，稱為軸力（axial force）。Fxy和Fxz分別為沿y方向和z方向的切向分量，稱為剪力（shear force）。這些分量下標的第一個符號x表示它們是x面上的內力分量，第二個下標表示分量沿坐標軸的方向。同樣，主矩Mo也可分解為分量Mxx，Mxy和Mxz。其中Mxx26稱為扭矩（toral moment），Mxy和Mxz稱為彎矩（bending moment）。圖 2-10b用矢量形式表示內力分量，雙箭頭表示力矩矢量，力矩對截面的作用由右手螺旋法則確定。圖 2-10c將截面上的彎矩和扭矩用力偶矩的符號表示。歸納下來截面上內力分量為：Fxx 軸力。沿桿軸線方向作用，

18、使桿件伸長或縮短。通常也用 FN 表示。Fxy , 剪力。作用在截面的切線方向，使桿件截面產生相對于相鄰截面的錯動。Fxz通常也用 FS 表示。M xx 扭矩。作用在截面內，使桿件繞軸線扭轉。通常也用 T 或者 M x 表示。Mxy , Mxz 彎矩。作用在垂直于截面的 oxy 或 oyz 面內，使桿件產生彎曲。通常也用 M 或者 M y , Mz 表示。yMxyMo FMxxIIFxyFxzFxx（a）xMxzzy（b）yFxxMxzMMxxxyFxxFxyIIIzFxyMxxxMxzzFxx(c)FxzMxyx（d）圖 210向。圖 210b 中這些內力分量矢量均沿坐標若取部分 II 為分

19、離體，圖 2-10d 顯示了在同一截面上的內力分量。這是同一截面的另一側，其外法向與 x 軸反向，所以是負 x 面。其上的力和力矩表示部分 I 對部分 II 的作用。按照同一截面兩側的力和力矩互為作用力和反作用力的事實，該側截面上的力和力矩的方向均指向負軸向。為了使取部分 I 和取部分 II 作為分離體得到的內力具有一致的正、負號，規定：正坐標面上矢量方向沿坐標向、負坐標面上矢量方向沿坐標軸負向的內力（軸力，剪力，扭矩和彎矩）為正的內力。反之，為負的內力。如此，圖 2-10（b、d）所示截面上的力和力矩都是正的內力。27在很多情況下，所有外力都作用在同一平面內。如圖 2-11 所示，F1F2y

20、外力F 、F 等都作用在xy平面內，12則截面上只有軸力FN、剪力FS，力矩MZ，也都位于xy平面內，形成平面平衡力系。實際中，許多受力桿件可簡化為這種情況。FSMFN為了方便，也可以從變形zxFn來判斷內力分量的正、負號。如圖2-12（ac）所示，取桿件坐標系的 y 軸向上，x 軸向右。在所切橫圖 211截面的內側截取微段，規定使微段伸長的軸力為正，使其縮短的軸力為負（圖 2-12a）；使微段有逆時針轉動趨勢的剪力為正，反之為負（圖 2-12b）；使水平微段彎曲成凹形的彎矩為正，使其彎曲成凸形的彎矩為負（圖 2-12c）。扭矩仍以力偶矩矢量指向截面的外法向為正（圖 2-12d）。yyyMz

21、MzFSFN FNFSxxxFN FNMz MzFS FSMzFSFSMzFNFN(a)(b)(c)MxMx(d)圖 2-12清楚了截面上內力的形式和性質，在選取合適的分離體并獲得分離體圖后，就可方便地利用平衡條件（2-4）（平面力系）或（2-6）（空間力系）求解這些內力。例 2-2圖 2-13a 所示的懸臂梁，在點 A 受集中力 F 作用，右端為固定支承。試求橫截面 mm 上的內力。解：為了求截面 mm 處的內力，取該截面左側部分為分離體，在截面 mm 的形心 o假設有軸力Fx，剪力Fy，以彎矩 Fx 0 ，M作用。圖 2-13b為分離體圖。對分離體圖應用平衡條件,F cos Fx 0 ，F

22、 sin Fy 0 ， Fy 0 ，mo (F ) 0 ，F sin a M 0 ，可以求出截面上的內力為Fx F cos ， Fy F sin ， M Fa sin 。28FyFmFmMAMyoFxFxaammFy(c)x(a)(b)圖 2-13應該注意，在求得的截面內力結果中的負號表示該力（力偶矩）的實際方向與圖上假設的方向相反。事實上，如圖 2-13c 所示，在 mm 截面的另一側，也就是余下部分的截面上有 x 和 y方向的力 Fx ， Fy 和力偶矩 M 作用。它們分別與 Fx ， Fy 和 M 大小相等，方向相反。是作用力和反作用力關系。同時可以發現，從力的角度來看，截面右側物體對分

23、離體提供的約束與固支端提供的約束是一樣的。例 2-3 一個桿系結構，如果在桿件連接處都是鉸連接，或可以簡化為鉸接，這種10kN5kN5mBC結構稱為桁架（truss）。桁架的桿件只傳遞軸向力。若桁架中各桿及其上的載荷均位于同一平面內，則稱其為平面桁架。圖 2-14a 所示為各桿長度均為 5 米的平面桁架，A 端支承在定鉸支座上，B 端支承在動鉸支座上。求桁架 BC 桿和 CD 桿的軸力.解：(1) 首先求支座反力，可以將整個桁架作為分離體。設支座A處x和y方向的約束力分別為FAx和FAy ，支座E處y方向約束力為FEy。圖 2-14b為分離體圖。由平衡條件5mEA5mD(a)10kN5kNFA

24、xFEyFAy(b)10kN5kNFBCBFGCFCDAEFGDFAxDmA (F ) 0FEyFAy，(d)(c)圖 2-14FEy20m 5kN 4.33m 10kN 12.5m 0 , Fx Fy 0 ， 0 ， 5kN 0 , 7.33kN 10kN 0 ，FAxFAy得到29 7.33kN ， FAx 5kN ， FA y 2.67kNFEy（2）求 BC 桿的軸力。截取如圖 2-6c 所示部分為分離體。這樣的截面涉及到三根桿，有三個未知力。因為有兩根桿的軸力都通過節點 G，通過對 G 點取矩來建立平衡方程，這樣可以避免另兩個未知力的出現，即由mG (F ) 0 ，FBC 4.33k

25、N 5kN 0 ，FAy 3.08kNFBC同理，為求 CD 桿軸力，取圖 2-6d 所示部分為分離體。 Fy 0 ， FCD cos 30 FEy 10kN 0 ，得到FCD = 3.08 kN。實際中，經常遇到桿段上作用有分布載荷的情況。如例 1-1 中所述，分離體上作用有分布載荷，在求支座反力時，需要將分布載荷等效為集中載荷來處理。這就需要預先計算等效合力的大小和作用位置。為方便應用，這里給出任意分布載荷的等效計算方法。如圖 2-15 所示，AB 梁上作用有沿 x 軸向任意分布的載荷q(x)，現求q(x)的合力FR及FRy合力的作用位置xc。因為在坐標x處梁的微分長度dx上的作用力為q(

26、x)dx，則其合力FR的值等于這些微分長度上力的積分：q(x)xlF q(x)dx（2-7）BACR0 xc另外，根據合力矩定理，這些微段上的力對 A點的力矩之和等于其合力FR對A點之矩，所以lllF x x q(x)dx q(x)xdx圖 2-15Rc00由此可以確定是合力作用點的坐標xc：lq(x)xdxSx y0(2-8)clFq(x)dxR0l其中稱 S q(x)xdx 為圖形q(x) 對y軸的面積矩。事實上xc 就是載荷圖q(x)所圍面積形心y0的位置。對均勻分布載荷，顯然，合力作用位置在分布范圍的中心處。q x AB 上作用有沿 x 軸向線性分布的載荷 q(x) ，o例2-4如圖

27、2-16a 所示，l試計算 1-1 橫截面上的內力。解： (1) 取全分離體，按式（2-7）和（2-8），分布載荷合力的大小30yyFRqoqoq(x)xxAABBFByC2l/3FAyll圖 2-16(a)(b)x dx 1 q ll q(x)dx lqFR00yl200F1R合力作用點在載荷圖下面積的形心處，即qo/22xc 3 l ，如圖 2-16b所示。用合力FR代替分布力 q(x)，容易求出支座反力q(x)xRAMl/3 FR q0l ， 2FR q0l FFFFsAyByAy3633l/2(2) 沿 1-1 截面假想截開，取左段為分離體，如圖 2-16c 所示。同理，其上分布載荷合

28、力的大小(c)圖 2-16 1 q0l q0lF1R2 228合力作用點在距左端 l/3 處。假設桿的 1-1 截面上的內力為Fs和M。對截面形心取力矩，合力矩等于零，以及垂直方向合力等于零，得到 ( ll ) F l2m (F ) 0 ，M F 0o1RAy23 Fy 0 ， 0Ay截面上的內力為1241 q l ， M q l 2 。Fs001624 內力方程，內力圖一般情況下，隨桿橫截面位置的不同，其上的內力也不相同。內力沿桿件的軸線按一定的規律變化，或者講內力是桿軸線坐標 x 的函數，稱此函數為桿件的內力方程。用截面法可以方便地確定內力方程，從而可以確定最大內力產生的位置。另外，在后面

29、章節中，311q(x)l/21C內力方程也將用于求桿件的變形。內力沿桿軸線 x 的分布了桿的內力圖（軸力圖，剪力圖，彎矩圖和扭矩圖）。在規定的（x內力）坐標系中，按內力方程可繪制出內力圖，從圖上可以更直觀地了解內力的變化及其最大值所在截面的位置，內力最大的截面往往是構件受力最大，最容易發生破壞的地方，通常稱為截面（critical cross section）。，右端為動鉸支座，支承在 45o的斜面上。在離左端距例 25 如圖 217a所示的離為a的地方作用有垂直向下的集中力F。求梁的剪力，彎矩和軸力方程，并作內力圖。解：1，計算支座反力先將整個梁作為分離體，選取坐標系如圖 2-17b所示。直

30、于斜面。左端的支座反力為FAx和FAy。根據平衡條件：端的支座反力FB的方向垂mA 0 ，F a + FB sin45 l = 0 ，FAx FB cos 45 0 ，FB sin 45 0 ， Fx Fy 0 ， 0 ，解得yFFBFAxx45oFBACablFAx(a)FNxF-aF/lAx)FSaF/lxFAyMFBx-bF/lFNMFSabF/llxFBy(e)x(f)圖 217F a F ，b F 。l2a F ，F BAxll（2）求內力方程32FAy xM45o(b)N(c)MFN(dFSFFAyFSFx在集中力作用處，用截面法求得其左側和右側截面上的內力（剪力），會發現具有一差

31、值，其大小等于該集中力的值，即剪力在該截面上產生突變。因而內力方程在其左側段和右側段不能用同一規律表達。同理，集中力偶作用處的左側段和右側段、分布載荷作用段和沒有分布載荷作用段的內力方程也不同。如此，在求內力方程時，要分段分別考慮。AC段（ 0 x a ）：如圖 2-17c所示，在距A為x處作截面，取左邊部分桿件為分離體。在截面上假設內力分量FN、FS和力矩M，利用力平衡條件：Fx 0 ， FN FAx 0 ，Fy 0 ，及對截面中心 o 取力矩， mo 0求得FS FAy 0 ，FAy x M 0 ，F ， M (x) F x b Fx 。F ，Ayl結果表明軸力FN和剪力FS在AC段為常數

32、。而彎矩M（x）是x的線性函數。CB 段（ a x l ）：當 x a 時，可以截取圖 2-17d 所示的分離體。CB 段的內力方程可以通過這個分離體的平衡條件求出：Fx 0 ，Fy 0 ， mo 0 ，FN FAx 0 ，F 0 ，FAy x F (x a) M 0 ，得到 a F ， M (x) F x F (x a) l x aFF ，AyAyllCB 段的內力也可以從 B 端起截取長度為 lx 的分離體來計算。從右端截取的分離體不包含外力 F，計算較為簡單。如圖 2-17e 所示，由分離體的三個平衡條件得到Fx 0 ， FN FBx 0 ，Fy 0 ，FS FBy 0 ， mo 0 ，

33、 M (x) FBy (l x) 0 ，求得與上面相同結果:(l x) l x aF 。M (x) FF ，F ，Byl從以上結果可見，沿梁全長軸力FN為常數，它是由B端 45o斜支承的水力引起的。垂直方向的兩個支承反力 FAy bF / l ， FBy aF / l 是按杠桿原理分配的與F相平衡的力。33彎矩最大值在C點，該處截面是截面。（3）作軸力，剪力和彎矩圖。選取平行軸線的橫坐標軸 x 及表示內力的縱坐標軸，按所求得的方程繪制各段內力圖，如圖 2-17f 所示。上面用截面法來建立桿件的內力方程。事實上，可以用更直接的方法來寫出內力方程。分離體截面另一側材料對分離體的作用相當于固支端的作

34、用，因為它在截面上給分離體提供了三個約束力（限于平面平衡力系）：軸力、剪力和彎矩。因此，可以將分離體看作是在截面處固支的物體，求出其反力，即為其內力。qFM= -q2/2M= -FyM*M = M*FS = FFS= qxFS = -FM*FS = -qqM= FyM= q2/2M = -M*F圖 218x如圖 2-18 所示，分離體截面左側段上，向下的集中力F在截面上引起正的剪力FSF和負的彎矩MF，其中 為力F的作用點到截面的距離；向上的集中力F引起q負的剪力FSF，正的彎矩MF 。一段集度為q的均布力，分布長度為 ，其作用等效于作用于分布區間中點、大小為BAFAylFByq 的集中力，所

35、以向用的均布力在lx qx q截面上引起正的剪力FS= q，和負彎矩M= q 2/2，向上作用的均布力在截面上引MM起負的剪力FS = q，正的彎矩M= qFS2/2；一個順時針方向的力偶矩M*在截面上引起正的彎矩MM*，而一個逆時針方向的力偶矩M*將引起負的彎矩MFSql/2ql/2ql/2FSxM*。當截取的分離于截面右側時可以用類似的辦法求截面上的內力。-ql/2ql2/8M例 2-6 受均布載荷 q 作用的（圖 2-19），長度為 l，不計梁自重，求剪力和彎矩沿軸線分布的表達式，并作剪力圖，彎矩圖。x圖 21934By=ql/2。從左端到坐標為x的截面處截取的分離體表明，解：易見梁的支

36、座反力x截面上的內力由左端支座反力FAy程如下布力q產生。應用上面所述規律，可直接寫出內力方F (x) F qx ql qxSAy2qx2qxM (x) FAx x (l x)22FS(x)是一直線方程，M(x)是一拋物線方程，它們的圖形如圖 2-19 所示。彎矩的最大值產生在梁的中點x = l/2 處，其大小為 M max ql /8 。2同理，也可以取截面右側部分為分離體，直接寫出內力方程F (x) F q(l x) ql qxSBy2 qx (l x)M (x) F (l x)Ay22得到與取左側段為分離體相同的結果。25 內力與載荷集度間的微分關系內力與載荷集度之間存在著一定的微分關系

37、。內力沿桿軸線的分布規律可以通過對載荷集度進行積分求出。如此，提供了求解內力的內力圖或校核所作內力圖的正確性。法。這種微分關系也可以用于繪制一、軸力與軸向分布力間的微分關系圖 2-20 所示的等截面桿件，沿其軸線受軸向分布力 f (x)dx 的微單元作為分離體，對應位置為FN dFN 。由 x 方向的力的平衡條件FN (x) dFN (x) f (x) dx FN (x) 0可以得到軸力與軸向分布力間的微分關系如下：作用。沿軸線取出長度為截面上軸力為dFN (x) f (x)（2-9）dx在分布力作用段上，對上式進行積分，并利用端部的力的邊界條件確定積分常數，可以確f(x)t(x)xxf(x)

38、t(x)FNFN+dFNMxMx +dMxdxdx圖 2-20圖 2-2135定該段內任意截面上的軸力 FN (x) 。二扭矩與分布扭矩間的微分關系如果等截面桿僅受扭矩作用，如圖 2-21 所示，設桿上受分布扭矩為t(x) 。同樣，取出長度為 dx 的微單元作為分離體，其截面上的內力如圖中所示，根據對 x 軸取矩的平衡條件M x (x) dM) 0得到dM x (x) t(x)（2-10）dx此即扭矩與分布力間的微分關系。通過對它的積分并利用力的邊界條件，可以得到分布力段內扭矩沿 x 軸的分布規律。三、 剪力，彎矩和分布力之間的微分關系假設上有分布力q（x）作用（圖 2-16，規定向上的q（x

39、）為正）。現取長度為dx的梁單元作為分離體。設單元左側截面上有剪力 FS和彎矩M，則單元右側截面上的剪力和彎矩在此基礎上有一增量，即為FSdFS和M dM。假設dx足夠小，分布力的作用可以用通過作用于單元中點o的合力q(x)dx代替。則單元體的平衡條件為 Fy 0 ，Fs (x) dFs (x) q(x)dx Fs (x) 0 mo 0 ，yxq(x)xdxdxoMzMz+dMzFSFS+dFS圖 2-22q(x)M (x) dM(x) F (x) dF (x) dx F (x) dx M (x) 0sss22，整理得到：忽略二階微分量dFs (x) dx q(dFs (x) q(x)(2-1

40、1)dxdM (x) F(x)（2-12）sdx這就是將載荷集度q(x) 與剪力FS (x)、彎矩M (x)聯系起來的微分關系。式（2-11）和（2-12）表明：剪力沿軸線的變化率在某截面處的值與該截面處分布力之負值相等；而彎矩沿軸線36的變化率在某截面處的值與該截面處的剪力之負值相等。通過對上述方程積分并利用力的邊界條件，可以解出FS (x) 和M (x)。例 2-7用平衡微分關系求解例 2-6（圖 2-19）。受均布載荷作用，由于載荷方向向下，以q 代替式（2-11）中的 q，得到解：dFS dx (q) 0進行積分得到FS qx C1其中C1為待定的積分常數。將上式代入式（2-12），得

41、到dMqx C 01dx積分上式得到1M (x) qx C x C2122同理，C2為另一待定的積分常數。利用梁A、B兩端面彎矩為零的邊界條件，即M (x) |x0 0 ，M (x) |xl 0得到 ql2C 0 ，C21如此得到與前例相同的結果：F (x) qx ql ,M (x) ql x 1 qx2 。S222現在是，假如梁上有集中力或力偶矩作用，如何進行積分？后面一節講了奇異函數后就可以解決了。四、 利用微分關系繪制內力圖對給定q(x) 的桿段（一端坐標值為 a ，另一端為b ，假設 a b ），沿桿段對方程（2-11）積分bF (b) F (a) q(x)dx(a b)（2-13）s

42、sa可見桿上任意兩截面之間剪力的增量等于兩截面之間的分布力之積分的負值。如果兩截面之間之間沒有分布力，則剪力保持為常數。如果有一個集中力 F（規定向上為正），那么剪力在集中力作用處產生突變，其突變值等于F。實際上，集中力 F 是微小桿段上分布載荷的等效合力，若設微小桿段為x （ x 0 ），則可認為其上的分布載荷是均勻的，即q F / x ，如此，在式（2-5）中，積分上、下限分別取 a 和 a x （相當于從截面的37一側到另一側），就得到剪力突變的結果。同理，沿桿段對方程（2-12）積分bM (b) M (a) F (x)dx(a b)（2-14）Sa可見桿上任意兩截面之間彎矩的增量等于兩

43、截面之間的剪力之積分的負值。如果兩截面之間有一個集中力偶矩Mo作用（規定逆時針方向為正），則在該處彎矩圖有一個突變，其增量為Mo。在剪力為零的區段，彎矩保持為常數。剪力為常數的區段，彎矩是線性變化的。如果剪力是坐標x的線性函數，則彎矩是x的二次函數。假如桿件的端部是鉸支座或是端，并且沒有力偶矩作用，則端點的彎矩必為零。如果桿件的中間有鉸連接，則在連接鉸處彎矩也必須為零。q將式（2-11）代入式（2-12）得到d 2 M q(x)（2-15）dx2q由此可知，在 q 為正值的區段，彎矩圖線的曲率為正，彎矩圖線呈凹形。在 q 為負值的區段，彎矩圖線的曲率為負，彎矩圖線呈凸形（見圖 2-23）。為了

44、便于利用上述規律作剪力、彎矩圖，將其歸納如下：MMxx圖 2-23q0， FSC為常數，FS圖為水平線； M圖為斜直線，FSC0 時，M圖的斜率為負，FSC0 時，FS圖的斜率為負，M圖為凹的拋物線。qC0 時，FS圖的斜率為正，M圖為凸的拋物線。（3）從集中力F作用處的左側到右側截面，FS圖有突變，突變量為持連續，但其斜率發生間斷。F，此處M圖保從集中力偶矩Mo作用處的左側到右側截面，FS圖無變化，M圖有突變，突變量為 Mo。如果在某截面處FS0，則在該處M圖的斜率為零，也就是彎矩取極值。由于集中力和集中力偶矩作用處，截面上的彎矩圖分別產生拐折和突變，彎矩在該截面處也可能取極值。如此，作內力

45、圖時，可先將每一段兩端面的內力值確定，再利用上述規律將區間內內力圖線畫出。BAM0lFBy dxFAydxMBMFAy0FAyFSFBy端點 A端點 BFByxM例 2-8 如圖 2-24 所示的AB，梁x長度為l，在B端受集中力偶矩M0作用，試畫梁的剪力圖與彎矩圖。解：(1) 求支座反力：圖 2-2438 M0lm 0 ,FABy M0 F 0 ,FAyyl（2）作剪力、彎矩圖：利用截面法，首先求出端部 A、B 內側截面的內力值。通過截取圖示長度為d（x dx 0 ）的分離體，由其平衡條件可知A 內側截面上： FS FAy Mo / l ， M 0B 內側截面上： FS FAy Mo / l

46、 ， M M 0 x / l由于AB梁上的分布力為零，所以剪力圖為一水平線，彎矩圖為斜率等于Mo/l的直線。由此及求得的端面的內力，連線即得到全梁的剪力和彎矩圖，見圖 2-24。由圖可知，最大彎矩產生在集中力偶矩作用處，即B截面上。最大彎矩值為| M |max M 0 x / l 。例 2-9 根據內力的微分關系，分析例 2-6（圖 2-19）的與彎矩。受均布載荷時梁的剪力解：梁的左端面和右端面內側上的剪力分別為ql / 2 和 ql / 2 。根據微分關系（2-11）可知，FS是斜率為q的直線，在梁的中點處剪力為零。因為分布力為負值，所以彎矩圖為向上凸的拋物線。梁兩端的彎矩為零，（剪力為零處

47、）彎矩達最大值：q lql 2qll () ( ) 222M max2 28例 210 外伸梁的尺寸及所受載荷如圖 225 所示，試根據內力的微分關系畫出剪力圖與彎矩圖。解：1，求支座反力（詳細式子略）M=2.5kNmF=2kNq=1kN/mmB 0 ， Fy 0 ，AFAy3 kNBCDFBy2 kN3m3m2mFByFS2kN2，分段作剪力圖C 截面內側的剪力為2kN1mxF F 2kN ， CA 段段上無分布力，SCM剪力圖為水平線。A 截面上剪力突變，2kNm即從其左側到右側，剪力由 F 2kNSAx 1 kN ，AD 段突變到Ay1kNm上無分布力，剪力圖也為水平線。DB段載荷均勻分

48、布，剪力圖為斜直線，其斜率為(q) 1kN 。D 點無集中力，所4kNm圖 22539FAy1kN1.5kNm以此處剪力連續。由 F 1kN 及 F F 2kN 確定兩點。直線連接這兩點得到該段DSBBy剪力圖。3，分段作彎矩圖CA 段和 AD 段由于剪力為常數，M 圖線性變化。C 端為端，彎矩為零。A 截面矩M A F 2m 4kN m上彎。D左側截面的彎矩M F 5m F 3m 1kN m ，直線連接由此三個值確定的點，獲得該兩段的彎矩D圖。AyDB段彎矩圖為上凸的拋物線，D截面上作用有集中力偶矩，彎矩將產生突變，其右側截面上彎矩 M M M 1.5kN m 。該段內對應于FS0 處彎矩達

49、到極大值，由剪力DD圖可知該值產生在距離B點 2m處，其大小為 M1 FBy 2m q (2m)2 / 2 2kN m 。支座B處彎矩為零。曲線連接由此三個值確定的點，獲得該段的彎矩圖。由所作內力圖可知，最大彎矩產生在 A 截面上，其值為| M |max 4kN m 。例 211 圖 226 所示組合梁，由懸臂梁 AD 與DB 通過中間鉸連接而成。鉸 D 上有集中力 F2kN 作用，梁 AD 的中點 C 有力偶矩 M*10kNm 作用，梁 DB 上有均布力q1kN/m 作用。試作剪力圖和彎矩圖。解：1，求支座反力將 AD 梁，DB 梁和鉸 D 分別作為分離體考慮它們的平衡。(1)梁 DB 與均

50、布載荷作用的F=2kNM*=10kNmq=1kN/mA受MAB力情況相同，在 D 端和 B 端分別受向上的 1kN 力支承。(2)D 鉸受梁 DB 傳來的力（1kN ）和F 力（2kN ）向下的作用，所以梁 ADDFAy1m1m2mFBy2kN1kN在 D向鉸提供 3kN 向上的力來平衡3kN4kNm這兩個力。(3)梁 AD 的 D 端受鉸 D 傳來的向下的3kN 力的作用。其固支端 A 的剪力和彎矩通過平衡關系確定為10kNm1kN/m3kN1kN1kNFS1kNADxFSA 3kN ，2，作剪力、彎矩圖M A 4kN m-1kN-3kNBMC梁AD上分布力為零，所以剪力為常7kNm0.5k

51、Nmx數，其值F = 3kN。D點有集中力F=D4kNmSA2kN 作用，所以剪力圖向上跳躍了 2kN。梁DB有分布力q = 1kN/m，所以剪力圖是斜率為 1kN/m的直線，B端的剪力是 FSB = FBy1kN。-3kNm圖 226403kNC由 AD 的剪力為常數（3kN），所以 AD 段的彎矩是斜率為 3kNm/m 的斜直線，但是在 C 點有集中力矩 M*= 10kNm 的作用，所以彎矩圖在 C 點向下跳躍 10kNm。在 D點彎矩為零，這與鉸連接的條件一致。DB 段彎矩圖為向上突起的拋物線，這一段彎矩的最大值為 0.5kNm，位于 DB 段的中點。從圖中可以看出，全梁上最大彎矩產生在

52、 C 的左側截面上，大小為 M max 7kN m*26 奇異函數由前面一節知，上僅有 q（x）作用，可以通過對微分關系（2-11）和（2-12）積分求出其剪力和彎矩方程。但是，當梁上有集中載荷或力偶矩作用時，對全梁進行積分將會遇到，一般要以集中載荷作用處為分段點進行分段積分。為避免分段帶來的繁瑣，這里將引進一個數學工具，使這類問題同樣可以簡便地在全梁上求積分。用符號定義如下的函數- x aa x x an 0(216)(x a)n其中 n = 0, 1, 2, .。尖括號表達式的值，在 x a 時為零，當 x a 時，其值為 (x a)n 。規定冪次數n 0 時，可將函數式(2-8)視為通常

53、函數來進行積分運算，即， x a n dx 1 x a n1xn 0(217)n 1定義 n 0 時，0為階躍函數（Heaviside- x a函數）。即 x a0 0（218） 1a x 脈沖函數，物理上稱為Dirac定義n = 1 時 x a 1 為 函數。定義n = 2 時 x a 2 為偶極函數（unit doublet）。這三個函數之間的關系可以表示為：x x a 2 dx x a 1x x a 1dx x a 0（219）（220）滿足如上規定的這一族函數稱為奇異函數（singularity function）。圖 2-27 中左邊一列所示為 n 2 至 n 2 按冪次數上升的次序

54、排列的奇異函數的圖形。若視 q(x) 為廣義載荷，可將集中力偶矩、集中力和均布力作為 q(x) 的特殊形式，分別用偶極函數、脈沖函數和階躍函數來表示。圖 2-27 中右邊一列是用奇異函數表示的廣義載荷，圖中載荷方向均假設為正的方向。如此，將梁上的各類載荷用廣義載荷寫成的一個表達式，按上述積分規則便可在全梁上進行簡單的積分運算，從而獲得其內力方程。值得注意，在圖中選定的坐標系下，a 表示載荷(集中力偶矩、集中力和均布力始、終點)作用位置坐標，從梁的一端起建立廣義載荷的表達式，而梁另一端的載荷不計入其中。412q(x)=M2xM axaoo偶極函數力偶矩q(x)=F1F1x脈沖函數xoo集中力aa

55、q(x)=q00 x階躍函數oxo均布力aa1xoa2xo圖 227a例 212 圖 228 所示的左半邊受均布y載荷 q 的作用。試用奇異函數表示梁上的載荷，并通過積分求剪力、彎矩方程。解：1, 很明顯，支座反力為qxF 3 ql ,F 1 qlFAyAyByl/288FlBy2，利用奇異函數將載荷用廣義分布力表示為q(x) F x q x 0FS 1 8ql1Ay q x l 0 3 ql x 28（a）1 3 qll q x q x 0082注意上述表達式中，第一項表示集中力FAy作用在x=0 處；第二項表示均布力從x=0 處開始作用， q向下為負；然而，從 x l /2 開始均布力中止

56、， 9 ql 2M21 ql12816圖 228所以加上第三項q x l 0 ，表示從 x l /2 開2始有向上的均布力q作用，與第二項的作用相抵，使得實際上右半段梁上的分布力為零。42將上式積分可以得到剪力的表達式3l2F (x) q(x)dx ql x q x 01q x 1（b）S8注意這里不必加積分常數，因為 A 端的剪力已作為已知值代入，剪力的左端邊界條件已滿足。上式再積分可以得到彎矩的表達式M (x) F (x)dx 3 ql q2l22（c）S8作為檢驗，將 x l 代入式（b）和（c），F (l) 3 ql ql ql ql FSBy828ql 2ql 23M (l) ql

57、02828可見它們滿足右端力的邊界條件。按奇異函數的取值規定，上述結果也可用寫成常規函數形式l2F (x) 3 ql qxM (x) 3 qlx q x20 x ：S882l2F (x) 1 qlM (x) 1 ql(l x) x l ：S88事實上，利用奇異函數的表達形式，剪力和彎矩方程式（b）和式（c）也可直接寫出來。又如，例題 210（圖 225）的剪力、彎矩可以寫成F (x) F x 0 0 F x 2 0 q x 5 1SAyM (x) F x 0 1 F x 2 1 M x 5 0 q x 5 2Ay2 2-7 剛架和曲桿的內力在工程實際中，常常需要將一些直桿剛性地連接起來，形成剛架（frame）。桿件之間的剛性連接處稱為剛節點（rigid jo ）。當剛架受力而變形時，認為節點處桿件之間的夾角保持不變。這種節點與鉸節點不同，它既可以傳遞力，又可以傳遞力矩（鉸節點不能傳遞力矩）。當剛架的所有桿件都在同一平面內，載荷也作用在此面內時稱為平面剛架(plane frame)。剛架桿橫截面上可能存在軸力、扭矩、剪力和彎矩，對于軸力、扭矩和剪力，仍按前述方定其正負號（即軸力、扭矩矢量方向與截面外法線方向一致為正，反之為負；剪力使