1、空間向量證明立體幾何問題空間向量空間向量的運算空間向量根本定理空間向量的坐標運算加減和數乘運算共線向量共面向量空間向量的數量積知識構造夾角和距離平行和垂直1、空間直角坐標系以單位正方體 的頂點O為原點，分別以射線OA，OC， 的方向 為正方向，以線段OA，OC， 的長為單位長，建立三條數軸：x軸,y軸,z軸,這時我們建立了一個空間直角坐標系CDBACOAByzxO為坐標原點， x軸,y軸,z軸叫坐標軸，通過每兩個坐標軸的平面叫坐標平面一、根本概念右手直角坐標系空間直角坐標系Oxyz橫軸縱軸豎軸2、空間直角坐標系中點的坐標有序實數組x,y,z叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記作Mx,y,z其

2、中x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標, z叫做點M的豎坐標點M（X，Y，Z） 如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面,稱這個向量垂直于平面,記作n,這時向量n叫做平面的法向量. 4、平面的法向量n3、直線的方向向量1、假設平面法向量的坐標為n=(x,y,z).2、根據na = 0且nb = 0可列出方程組3、取某一個變量為常數(當然取得越簡單越好), 便得到平面法向量n的坐標. anb5、平面法向量的求法設a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面內的兩個不共線的非零向量,由直線與平面垂直的判定定理知,假設na且nb,那么n.換句話說,假設na = 0且nb = 0,

3、那么n.可按如下步驟求出平面的法向量的坐標例、A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).求平面ABC的法向量解：平面ABC的法向量為: 例、在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.解：以A為原點建立空間直角坐標系O-xyz（如圖），則O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2），設平面OA1D1的法向量的法向量為n=(x,y,z), 由 =（-1，-1，2）， =（-1，1，2）得 解得取z =1得平面OA1D1的法向量的坐標n=(2,0,1)AA BOzyA1C1B1AxCDD15、兩法向量所成的角與二面角的關系設

4、n1 、n2分別是二面角兩個半平面、的法向量，由幾何知識可知，二面角-L-的大小與法向量n1 、n2夾角相等或互補，于是求二面角的大小可轉化為求兩個平面法向量的夾角.二、根本公式：1、兩點間的距離公式線段的長度2、向量的長度公式向量的模3、向量的坐標運算公式4、兩個向量平行的條件5、兩個向量垂直的條件或7、重心坐標公式6、中點坐標公式9、直線與平面所成角公式 (為 的法向量)8、直線與直線所成角公式 10、平面與平面所成角公式 ( 為二面角兩個半平面的法向量）11、點到平面的距離公式（PM為平面 的斜線, 為平面 的法向量）12、異面直線的距離公式（A,B為異面直線上兩點, 為公垂線的方向向量

5、）利用向量求角直線與直線所成的角直線與平面所成的角平面與平面所成的角二面角利用向量求距離點到直線的距離點到平面的距離直線到平面的距離平行到平面的距離直線到直線的距離三、根本應用利用向量證平行利用向量證垂直直線與直線垂直直線與平面垂直平面與平面垂直直線與直線平行直線與平面平行平面與平面平行、垂直問題四、根本方法1、平行問題、角度問題、距離問題點到點的距離、點到平面的距離、直線到直線的距離直接用公式求解。點到直線的距離、直線到平面的距離、平面到平面的距離轉化為點到平面的距離求解。例：題型一：線線角五、典型例題所以：題型一：線線角解：以點C 為坐標原點建立空間直角坐標系 如圖所示，不妨設 則 C|所

6、以 與 所成角的余弦值為題型二：線線垂直題型三：線面角N解：如圖建立坐標系A-xyz,那么即在長方體 中，例：題型三：線面角N又例：在長方體 中，ABDCA1B1D1C1例.在正方體AC1中，E為DD1的中點，求證：DB1/面A1C1EEF題型四：線面平行xyz即DACBBCDAFEXYZ題型五：線面垂直或先求平面BDE的法向量 再證明題型六：面面角設平面xyzXYZ例：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：面A1BD面CB1D1題型七：面面平行或先求兩平面的法向量 再證明例、在正方體AC1中，E、F分別是BB1、CD的中點，求證：面AED面A1FD1ABCDA1B1C1D1EFXYZ題型八：面面垂直或證明兩平面的法向量垂直練習練習練習練習練習題型九：異面直線的距離zxyABCC1即取x=1,z則y=-1,z=1,所以EA1B1ABCDEFGXYZ題型十：點到平面的距離練習練習練習練習 正方形ABCD的邊長為1，PD 平面ABCD，且PD=1，E、F分別為AB、BC的中點。