1、資料收集于網絡,如有侵權請聯系網站刪除中國訓練學會中學數學教學專業委員會2022 年“ 數學周報杯” 全國中學數學競賽試題一、挑選題（共5 小題,每道題 6 分,共 30 分.）2|ab|ca2|bc 可1（甲）假如實數a,b,c 在數軸上的位置如下列圖,那么代數式a以化簡為（）（ A ） 2ca（B） 2a2 b（C）a（D）a1（乙）假如 a 2 2,那么 1 1 的值為（）2 13 a（ A ）2（B）2（C）2 （D） 2 2b2（甲）假如正比例函數 y = ax（a 0）與反比例函數 y = x（b 0 ）的圖象有兩個交點,其中一個交點的坐標為（3, 2）,那么另一個交點的坐標為（）

2、（ A ）（ 2, 3）（B）（ 3, 2）（C）（ 2,3） （D）（ 3,2）2（乙） 在平面直角坐標系 xOy 中,滿意不等式 x 2y 22x2y 的整數點坐標 （ x,y）的個數為（）（A ）10 （B）9 （ C） 7 （D）5 3（甲）假如 a,b 為給定的實數,且 1 a b ,那么 1,a 1,2 a b,a b 1 這四個數據的平均數與中位數之差的肯定值是（）（A ）1 （B）2 a 1（C）1（D）14 2 43（乙）如圖,四邊形 ABCD 中, AC,BD 是對角線, ABC 是等邊三角形ADC 30,AD = 3,BD = 5,就 CD 的長為（）（ A ）3 2（B

3、）4 （ C）2 5（D）4.5 4（甲）小倩和小玲每人都有如干面值為整數元的人民幣小倩對小玲說：“你如給我 2 元,我的錢數將是你的 n 倍”；小玲對小倩說：“你如給我 n 元,我的錢數將是你的 2 倍 ”,其中 n 為正整數,就 n 的可能值的個數是（）word 可編輯資料收集于網絡,如有侵權請聯系網站刪除（ A ）1 （ B）2 px（C） 3 q（D）4 3, 那么這樣的方程的4（乙）假如關于x 的方程x2q0（ ,是正整數）的正根小于個數是（ D） 8 ）（C） 7 （ A ） 5 （B） 6 5（甲）一枚質地勻稱的正方體骰子的六個面上的數字分別是1,2,3, 4,5,6擲兩次骰子,

4、設其朝上的面上的兩個數字之和除以4 的余數分別是0,1,2,3 的概率為p 0,p 1,p2,p 3,就p 0,p 1,p 2,p3中最大的是（）2 個數（ A ）p0（B）1p（ C）p 2（D）p 35（乙）黑板上寫有1, , ,1 1 12 3 100共 100 個數字每次操作先從黑板上的數中選取a,b,然后刪去 a,b,并在黑板上寫上數abab,就經過99 次操作后,黑板上剩下的數是（）（ A ）2022 （B） 101 （C）100 （D）99 二、填空題（共5 小題,每道題 6 分,共 30 分）6（甲）按如圖的程序進行操作,規定：程序運行從“ 輸入一個值x”到 “結果是否 487

5、？” 為一次AD操作 . 假如操作進行四次才停止,那么x 的取值范疇是. 6 （ 乙 ） . 如 果a , b , c是 正 數 , 且 滿 足abc9,a1bb1cc1a10, 那 么9baccbaacb的值為7（甲）如圖,正方形ABCD 的邊長為 215 ,E,F 分別是 AB, BC 的中點, AF 與 DE,DB分別交于點M,N,就 DMN 的面積是. 7（乙） .如下列圖,點A 在半徑為 20 的圓 O 上,以 OA 為一條對角線作矩形OBAC ,設直線 BC 交圓 O 于 D、E 兩點,如OC12,就線段 CE、BD 的長度差是；8（甲） . 假如關于 x 的方程 x2+kx+3

6、4k23k+9 2= 0 的兩個實數根分別為1x ,x ,EC那么x 12022的值為2022Bx 2Oword 可編輯資料收集于網絡,如有侵權請聯系網站刪除2 28（乙） 設 n 為整數,且 1n 2022. 如 n n 3 n n 3 能被 5 整除,就全部 n 的個數為 . 9（甲） . 2 位八年級同學和 m 位九年級同學一起參與象棋競賽,競賽為單循環,即全部參賽者彼此恰好競賽一場記分規章是：每場競賽勝者得 3 分,負者得 0 分；平局各得 1 分. 競賽終止后,全部同學的得分總和為 130 分,而且平局數不超過競賽局數的一半,就 m 的值為 . 9（乙）假如正數 x,y,z 可以是一

7、個三角形的三邊長,那么稱（ , , ）是三角形數 如 a（ , , ）和（1 1 1,）均為三角形數,且a b cabc,就a c的取值范疇是. 10（甲）如圖,四邊形ABCD 內接于 O,AB 是直徑, AD = DC. 分別延長 BA,CD,交點為 E. 作 BFEC,并與 EC 的延長線（ , ）使得a2b2n 成立,就這樣交于點 F. 如 AE = AO, BC = 6,就 CF 的長為. 10（乙）已知 n 是偶數,且1n 100如有唯獨的正整數對的 n 的個數為x3時,恒有y0；關于x 的方程三、解答題（共4 題,每題 15 分,共 60 分）11（甲）已知二次函數yx2（m3）x

8、m2,當1x2（m3）xm20的兩個實數根的倒數和小于9 10求 m 的取值范疇11（乙） . 如下列圖,在直角坐標系 xOy 中,點 A 在 y 軸負半軸上, 點yB、C 分別在 x 軸正、負半軸上,AO8,ABAC,sinC4COEDBx5；點 D 在線段 AB 上,連結 CD 交Ay 軸于點 E,且SCOESADE；試求圖像經過B、C、E 三點的二次函數的解析式；12（甲） . 如圖, O 的直徑為 AB ,O 過點 O ,且與 O 內切于點 B C 為 O 上的點, OC 與 O 交 于點 D ,且 OD CD 點 E 在 OD 上,且 DC DE ,BE 的延長線word 可編輯資料

9、收集于網絡,如有侵權請聯系網站刪除與 O 交于點 F ,求證：BOCDO F 12（乙）如圖, O 的內接四邊形 ABCD 中, AC,BD 是它的對角線,AC 的中點 I 是 ABD 的內心. 求證：（1）OI 是 IBD 的外接圓的切線；（2）AB+AD = 2BD. 13（甲） . 已知整數 a,b 滿意： ab 是素數,且ab 是完全平方數 . 當 a2022 時,求 a 的最小值 . 13（乙）給定一個正整數n ,凸 n 邊形中最多有多少個內角等于150 ？并說明理由x2022,且14（甲） . 求全部正整數n,使得存在正整數x 1,x 2,x 2022,滿意x 1x2122022n

10、. a, ,c（可x 1x 2x 202214（乙）將 2 , 3, , n （n2）任意分成兩組,假如總可以在其中一組中找到數以相同）,使得abc ,求 n 的最小值參考解答一、挑選題1甲 .C 解： 由實數 a,b,c 在數軸上的位置可知所以2 a|ab|ca2 |bba0c ,且 bc ,c a c|a a bb caword 可編輯資料收集于網絡,如有侵權請聯系網站刪除1（乙）B 解：1211a121121211111121231222（甲）D 解：利用正比例函數與反比例函數的圖象及其對稱性,可知兩個交點關于原點對稱,因此另一個交點的坐標為（3,2）. 2（乙）B 解： 由題設 x 2

11、y 22x2y, 得 0 x2 1xy12 2.x2 11,由于 x,均為整數,所以有0,2 11,x2 10,x2 1y2 10；y2 11；y2 10；y2 11.解得x1,x1,x1,x0,x0,x0,x2,x2,x2,y1；y2；y0；y1；y0；y2；y1；y0；y2.以上共計 9 對（ , ）. 3（甲）D 解： 由題設知, 1a1ab12ab ,所以這四個數據的平均數為1a1ab12ab34a2b,中位數為a144ab144a2 b ,24于是44a2 b34a2b1. 4443（乙）B 解： 如圖,以 CD 為邊作等邊CDE ,連接 AE. 由于 AC = BC,CD = CE

12、, BCD =BCA+ACD=DCE+ACD =ACE,所以BCD ACE, BD = AE. 又由于 ADC 30,所以 ADE 90 . 在 Rt ADE 中,AE 5,AD 3,2 2于是 DE= AE AD 4,所以 CD = DE = 4. 4（甲）D word 可編輯資料收集于網絡,如有侵權請聯系網站刪除解： 設小倩全部的錢數為 x 元、小玲全部的錢數為 y 元, x,y 均為非負整數 . 由題設可得x 2 n y 2,y n 2 x n ,消去 x 得 2y 7n = y+4, 2 y 7 15 152n = 1 . 2 y 7 2 y 7由于 15 為正整數, 所以 2y7 的

13、值分別為 1,3,5,15,所以 y 的值只能為 4,5,6,11從2 y 7而 n 的值分別為 8,3,2,1；x 的值分別為 14, 7,6,74（乙）C 解： 由一元二次方程根與系數關系知,兩根的乘積為qp0,故方程的根為一正一負由二次函數yx2pxq 的圖象知,當x3時,y0,所以2 33q0,即 3pq9. 由于 p,q都是正整數, 所以p1,1q5；或p2,1q2,此時都有p24q0. 于是共有 7 組 p（ , ）符合題意5（甲）D 解：擲兩次骰子,其朝上的面上的兩個數字構成的有序數對共有36 個,其和除以4 的余數分別是 0,1,2,3 的有序數對有9 個, 8 個, 9 個,

14、 10 個,所以p 09,p 18,p29,p 310,因此p 最大363636365（乙）C 解：由于abab1a1 b1,所以每次操作前和操作后,黑板上的每個數加1 后的乘積不變解得設經過 99 次操作后黑板上剩下的數為x ,就1,x11 11111123100 x1101,x100二、填空題6（甲）7x 19解： 前四次操作的結果分別為word 可編輯資料收集于網絡,如有侵權請聯系網站刪除3x2,33x22 = 9x8,39x82 = 27x26,327x262 = 81x80. 由已知得 27x26487,81x80487. 解得7x19.2487 9x8487,故 x 的取值范疇是簡

15、單驗證,當7x19時, 3 x7x 196（乙） .7 3解： 在a1bb1cc1a10兩邊乘以abbc9得a9cbaccba10即caca7abbbc7（甲）8 解：連接 DF,記正方形 ABCD 的邊長為 2 a . 由題設易知BFN. DAN ,所以ADANDN2,BFNFBN1由此得AN2NF ,所以AN2AF . 3在 Rt ABF 中,由于AB2a,BFa,所以AFAB2BF25a ,于是cosBAFAB2 5. AF5由題設可知ADE BAF ,所以AEDAFB,AME1800BAFAED1800BAFAFB90于是AMAEcosBAF2 5a ,5MNANAM2AFAM4 5a

16、,315SMNDMN4. SAFDAF15又SAFD1 2 2 222 a ,所以SMND4SAFD82 a . 1515由于a15,所以SMND8. 7（乙） .285word 可編輯資料收集于網絡,如有侵權請聯系網站刪除解： 如圖,設 DE 的中點為 M ,連接 OM ,就 OMDE 3. 由于OB2022 1216,所以OMOB OC16 1248,BC205CMOC2OM236,BM6455CEBD（EMCM）（DMBM）BMCM6436285558（甲）2 3解： 依據題意,關于x 的方程有=k 243k23k90,42由此得k320又 k320,所以 k32=0,從而 k=3. 此

17、時方程為x 2+3x+9=0,解得 x1=x2=42故x 12022=1=2x22022x238（乙） .1610 解：n2n3n24n3n232nn25 kn45 n 29因此5 | nn1 mod,因此,1249,所以5或5k202254022所以共有 2022-402=1610 個數 9（甲）8 解： 設平局數為a ,勝（負）局數為b ,由題設知2 a3 b130,由此得 0b43.又abm1 m2,所以 2a2 bm1m2. 于是a2b55,不合題設 . 20b130m1m2 43,由此得m8,或m87m1m2 130,9. 當m8時,b40,a5；當m9時,b20,a35,a2故m8

18、a c19（乙） .325word 可編輯資料收集于網絡,如有侵權請聯系網站刪除abc10,解得解： 依題意得：111 2 a,所以bca,代入（ 2）得bc111c1a1,兩邊乘以a 得abcc1caaa,即ccacaa,化簡得a23 acc20,兩邊除以2 c 得ca23a10所以325a325ccc另一方面： abc,所以a1綜合得325a1cc另解： 可令a ck,由（ 1）得b1k c ,代入（ 2）化簡得k23 k1325k325,另一方面： abc,所以k1,綜合得325k110（甲）322解： 如圖,連接AC,BD,OD . 由 AB 是 O 的直徑知 BCA =BDA = 9

19、0 . 依題設 BFC = 90 ,四邊形 ABCD 是 O 的內接四邊形,所以BCF = BAD, 所以 Rt BCFRt BAD ,因此BCBA. CFAD由于 OD 是 O 的半徑, AD = CD ,所以 OD 垂直平分 AC,OD BC,于是DEOE2. 因此CE3AD. AEBA,BE3BA,DCOBDE2 CD2 AD,所以由AED CEB ,知 DE ECAE BE 由于222AD3ADBA3BA ,BA=22AD ,故22CFADBCBC3 2. BA2 22word 可編輯資料收集于網絡,如有侵權請聯系網站刪除10（乙） .12 解： 依題意得 n a 2 b 2 a b

20、a b由于 n 是偶數, a+b、a-b 同奇偶,所以 n 是 4 的倍數,即 n 4 k ,當 1 n 100 時, 4 的倍數共有 25 個,但要滿意題中條件的唯獨正整數對（ , ）,就：2k p 或 k p,其中 p 是素數,因此,k 只能取以下 12 個數： 2、3、5、7、11、13、 17、19、23、4、9、25,從而這樣的 n 有 12 個；三、解答題即（11（甲）解： 由于當1x3時,恒有y0,所以m2 1）0,所以m（m2）0,（m2 3）1 （ 3 分）且當x1時, y 0 ；當x3時, y 0 ,即m20,3232 1m3 1m3m20 ,解得 m 5 （ 8 分）系得

21、設方程x2m3xm20的兩個實數根分別為x 1,x 2,由一元二次方程根與系數的關x 1x 2m3,x x 2m2由于119 10,所以x 1x2m39,解得x 1x 2x x2m210m12,或m2因此m12 （15 分）11（乙） .解： 由于 sinABC =AO4,AO8,AB5所以 AB = 10由勾股定理,得BOAB22 AO6易知ABOACO, 因此 CO = BO = 6于是A 0,8,B6 0,C 6 0設點 D 的坐標為 m nword 可編輯資料收集于網絡,如有侵權請聯系網站刪除由SCOESADE,得SCDBSAOBn186所以 1BC n 1 AO BO ,1 122

22、2 2解得 n 4因此 D 為 AB 的中點,點 D 的坐標為 32,4因此 CD, AO 分別為 AB, BC 的兩條中線,點E 為 A BC 的重心,所以點 E 的坐標為 0,8（也可由直線 CD 交 y 軸于點 E 來求得 .）3設經過 B,C,E 三點的二次函數的解析式為 y a x 6 x 6將點 E 的坐標代入,解得 a = 2 27故經過 B,C,E 三點的二次函數的解析式為 y 2x 2 827 312（甲） 證明： 連接 BD ,由于 OB 為 O 的直徑,所以ODB90又由于 DCDE ,所以CBE 是等腰三角形 （5 分）設 BC 與O 交于點 M ,連接OM ,就OMB

23、90又2DBCDO F 由于 OCOB ,所以2DBFBOC2DOM （10 分）又由于BOC,DO F分別是等腰BOC ,等腰DO F 的頂角,所以 BOC DO F （15 分）12（乙） .證明：（1）如圖,依據三角形內心的性質和同弧上圓周角相等的性質知：CIDIADIDA ,IDAIADIDA CDICDBBDIBAC所以CIDCDI , CI = CD 同理, CI = CB 故點 C 是 IBD 的外心連接 OA,OC,由于 I 是 AC 的中點,且 OA = OC,所以 OIAC,即 OI CI 故 OI 是 IBD 外接圓的切線（2）如圖,過點I 作 IEAD 于點 E,設 O

24、C 與 BD 交于點 F所以 BF = AE由 BCCD ,知 OCBD由于 CBF =IAE,BC = CI = AI,所以 RtBCFRtAIEword 可編輯資料收集于網絡,如有侵權請聯系網站刪除又由于 I 是 ABD 的內心,所以ABADBD2AEBDBD2BFBD 故ABAD2BD ADBCACBD,再將AC2 BC2 CD 代入即得結論也可由托勒密定理得：AB CDABAD2BD ；13（甲）解： 設 ab = m（m 是素數）,ab = n2（n 是自然數） . 由于a+b 2 4ab = a b2,所以2am 2 4n2 = m 2,2am+2n2a m 2n = m 2. （

25、 5 分）（ 1）當 n 1 時,由于 2am+2n 與 2a m2n 都是正整數, 且 2am+2n2am 2n m 為素數,所以 2am+2n m 2,2a m 2n 1. 2 2解得 a m 1, n m 1. 4 42于是 b = am（m 1）. 4 （10 分）2又 a2022,即 m 1 2022.42又由于 m 是素數,解得 m89. 此時, a89 1=2025. 4當 a 2025 時,m 89,b 1936,n 1980 . 此時, a 的最小值為 2025. （ 2）當 n 0 時,由于 a 2022,所以 b 0,從而得 a 的最小值為 2022（素數）；綜上所述,所

26、求的 a 的最小值為 2022； （15 分）13（乙） .解： 設凸 n 邊形最多有 k 個內角等于 150 ,就每個 150 內角的外角都等于 30 ,而凸 n 邊形的 n 個外角和為360 ,所以k36012,只有當n12時,30k 才有最大值12. （ 5 分）下面我們爭論n12時的情形：（1）當n12時,明顯, k 的值是 11；（2）當n3,4,5,6,7時, k 的值分別為1,2,3,4, 5；word 可編輯資料收集于網絡,如有侵權請聯系網站刪除（3）當 n 8,9,10,11 時, k 的值分別為 7,8,9,10. （10 分）綜上所述,當 3 n 7 時,凸 n 邊形最多有 n 2 個內角等于 150 ；當 8 n 11 時,凸