1、第8章 電路的暫態分析8.2 一階電路的暫態分析 8.1 換路定律8.4 二階電路的零輸入響應8.3 一階電路的階躍響應本章教學目的及要求 了解“暫態”與“穩態”之間的區別與聯系；熟悉“換路”這一名詞的含義；牢固掌握換路定律；理解暫態分析中的“零輸入響應”、“零狀態響應”“全響應”及“階躍響應”等概念；充分理解一階電路中暫態過程的規律；熟練掌握一階電路暫態分析的三要素法；了解二階電路自由振蕩的過程。8.1 換路定律學習目標：了解暫態分析中的一些基本概念；理解“換路”的含義；熟悉換路定律的內容及理解其內涵，初步掌握其應用。8.1.1 基本概念1.狀態變量：代表物體所處狀態的可變化量稱為狀態 變量

2、。如電感元件的iL及電容元件的uC。2.換路：引起電路工作狀態變化的各種因素。如：電 路接通、斷開或結構和參數發生變化等。 3.暫態：動態元件L的磁場能量WL=1/2LI2和C的電場 能量WC=1/2CUC2，在電路發生換路時必定 產生變化，由于這種變化持續的時間非常 短暫，通常稱為“暫態”。 4.零輸入響應：電路發生換路前，動態元件中已儲有 原始能量。換路時，外部輸入激勵為零，僅在動 態元件原始能量作用下引起的電路響應。5.零狀態響應：動態元件的原始儲能為零，僅在外部 輸入激勵的作用下引起的電路響應。6.全響應：電路中既有外部激勵，動態元件的原始儲 能也不為零，這種情況下換路引起的電路響應。

3、8.1.2 換路定律 由于能量不能發生躍變，與能量有關的iL和uC，在電路發生換路后的一瞬間，其數值必定等于換路前一瞬間的原有值不變。換路定律用公式可表示為： 換路發生在t=0時刻，(0-)為換路前一瞬間，該時刻電路還未換路；(0+)為換路后一瞬間，此時刻電路已經換路。 暫態過程產生的原因 電阻元件是耗能元件，其電壓、電流在任一瞬間均遵循歐姆定律的即時對應關系。因此，電阻元件上不存在暫態過程。(t = 0)US_SRIIt 0電阻電路 電感元件是儲能元件，其電壓、電流在任一瞬間均遵循微分(或積分)的動態關系。它儲存的磁能(t = 0)US_SLiLiLt 0R 因為能量的存儲和釋放需要一個過程

4、，所以有電感的電路存在過渡過程。R-L電路 電容元件也是儲能元件，其電壓、電流在任一瞬間也遵循微分(或積分)的動態關系。它儲存的電能 因為能量的存儲和釋放需要一個過程，所以有電容的電路也存在過渡過程。(t = 0)US_SCiCuCt 0RuC_USR-C電路1.2.根據換路后的等效電路，應用電路基本定律確定其它電量的初始值。初始值（起始值）：電路中 u、i 在 t=0+ 時 的大小。電路初始值的確定求解要點根據換路前一瞬間的電路，應用電路基本定律確定iL(0+）和uC(0+）。例1解已知 iL(0 ) = 0，uC(0 ) = 0，試求 S 閉合瞬間，電路中所標示的各電壓、電流的初始值。(t

5、 = 0)_S0.1Hu2u120101F20ViC_iiLuL_uC_根據換路定律可得：可得t = 0+時等效電路如下 iL(0+) = iL(0) = 0，相當于開路 uC(0+) = uC(0) = 0，相當于短路_S0.1Hu2u120101F20ViC_iuL_其他各量的初始值為：例2解根據換路前電路求uC(0+）換路前電路已達穩態，t=0時S打開，求 iC(0+) 。 R140k10kSiCuCi10V R2畫出t=0+等效電路圖如下 R140k10kSic(0+）10V R28V根據t=0+等效電路可求得iC(0+）為例3解根據換路前電路求iL(0+）換路前電路已達穩態，t=0時

6、S閉合，求 uL(0+) 。畫出t=0+等效電路圖如下根據t=0+等效電路可求得uL(0+）為 R11SiLuL10V R24 R11SuL10V R24iL(0+）uL(0+)為負值，說明它的真實方向與圖上標示的參考方向相反，即與iL(0+)非關聯，實際向外供出能量。1. 由換路前電路（穩定狀態）求 uC(0-) 和 iL(0-)；求初始值的一般步驟2. 由換路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)；3. 畫出t=0+的等效電路圖： uC(0+)=0時相當短路；uC(0+)0時相當電壓源； iL(0+)=0時相當開路；iL(0+)0時相當電流源；電 壓源或電流源的方向與原電路假定的電容電壓、

7、電 感電流的參考方向應保持相同。4. 由t=0+的等效電路圖進而求出其它響應的0+值。8.2 一階電路的暫態分析學習目標：理解一階電路暫態分析中響應的規律；深刻理解時間常數的概念及物理意義；牢固掌握一階電路的三要素法。8.2.1 一階電路的零輸入響應1. RC電路的零輸入響應 只含有一個因變量的一階微分方程描述的電路，稱為一階電路。 R1SiC (0+)uC(0+）t=0US C2 左圖所示電路在換路前已達穩態。t=0時開關由位置1迅速投向位置2，之后由uC (0+)經R引起的電路響應稱為RC電路的零輸入響應。 R1SiC (0+)uC(0+）t=0US C2 根據RC零輸入響應電路可列寫出電

8、路方程為： 這是一個一階的常系數齊次微分方程，對其求解可得： 式中的=RC稱為一階電路的時間常數。如果讓電路中的US不變而取幾組不同數值的R和C，觀察電路響應的變化可發現：RC值越小，放電過程進行得越快；RC值越大，放電過程進行得越慢，這說明RC放電的快慢程度取決于時間常數R和C的乘積。 式中R用，C用F時，時間常數的單位是秒s。如果我們讓上式中的時間t 分別取1、2直至5，可得到如下表所示的電容電壓在各個時刻的數值：1 2345e-10.368USe-20.135USe-30.050USe-4 0.018USe-50.007US 由表可知，經歷一個的時間，電容電壓衰減到初始值的36.8%；經

9、因兩個的時間，電容電壓衰減到初始值的13.5%；經歷35時間后，電容電壓的數值已經微不足道，雖然理論上暫態過程時間為無窮，但在工程上一般認為35暫態過程基本結束。 RC過渡過程中響應的規律可以用曲線來描述：tiCuCiCuCUSiC(0+)00.368US RC過渡過程響應的波形圖告訴我們：它們都是按指數規律變化，其中電壓在橫軸上方，電流在橫軸下方，說明二者方向上非關聯，電容放電電流為：1. RL電路的零輸入響應 左圖所示電路在換路前已達穩態。t=0時開關閉合，之后電流源不起作用，暫態過程在R和L構成的回路中進行，僅由iL (0+) =I0在電路中引起的響應稱為RL電路的零輸入響應。 RSIS

10、uLt=0uR LI0 根據RL零輸入響應電路可列寫出電路方程為： 若以iL為待求響應，可得上式的解為： 式中稱為RL一階電路的時間常數，其大小同樣反映了RL一階電路暫態過程進行的快慢程度。電感元件兩端的電壓： 電路中響應的波形圖如左下圖所示：tiLuLuLiLI0RiL(0+)00.368I00.632I0R 顯然RL一階電路的零輸入響應規律也是指數規律。1.一階電路的零輸入響應都是隨時間按指數規律衰減 到零的，這實際上反映了在沒有電源作用下，儲能 元件的原始能量逐漸被電阻消耗掉的物理過程；一階電路的零輸入響應分析歸納2.零輸入響應取決于電路的原始能量和電路的特性， 對于一階電路來說，電路的

11、特性是通過時間常數 來體現的；3.原始能量增大A倍，則零輸入響應將相應增大A倍， 這種原始能量與零輸入響應的線性關系稱為零輸入 線性。8.2.2 一階電路的零狀態響應1. RC電路的零狀態響應 RC電路的零狀態響應和零輸入響應一樣，都是按指數規律變化，顯然這個暫態過程是電容元件的充電過程：充電電流iC按指數規律衰減；電容電壓uC按指數規律增加，用曲線可描述為： 圖示電路在換路前電容元件的原始能量為零，t=0時開關S閉合 之后電容上電壓、電流的變化稱為RC電路的零狀態響應。 RSiCuCt=0US CtiCuCiCuCUSiC(0+)00.632US顯然在RC充電電路中，電容元件上的電壓與電流方

12、向關聯，元件向電路吸取電能建立電場。RC零狀態響應電路中的計算公式 RSiCuCt0US C由RC零狀態響應電路圖可得過渡過程結束時電容的極間電壓(即換路后的新穩態值) 則電容電壓的零狀態響應為： 電容支路電流的零狀態響應： 2. RL電路的零狀態響應 圖示電路在換路前電感元件上的原始能量為零，t=0時開關S閉合。之后電感上電壓、電流的變化稱為RL電路的零狀態響應。 RSiL uLt=0US LuR RL電路的零狀態響應也是按指數規律變化。其中元件兩端的電壓uL按指數規律衰減(即只存在過渡過程中)；電感電流iL按指數規律上升；電阻電壓UR=iR按指數規律增長，用曲線可描述為： 顯然，在RL零狀

13、態響應電路中，電感元件是建立磁場的過程，因此其電壓、電流方向關聯。tiCuCiLuLUSUS/R00.368USuR0. 632US/RRL零狀態響應電路中的計算公式 RL零狀態響應電路換路結束時電感電流的新穩態值： 因此電感電流的零狀態響應為： 電感元件自感電壓的零狀態響應： St0 RiL uLUS LuR1.一階電路的零狀態響應也是隨時間按指數規律變化 的。其中電容電流和電感電壓均隨時間按指數規律 衰減，因為它們只存在于過渡過程中；而電容電壓 和電感電流則按指數規律增長，這實質上反映了動 態元件建立磁場或電場時吸收電能的物理過程；一階電路的零狀態響應分析歸納2.零狀態響應取決于電路的獨立

14、源和電路本身特性， 也是通過時間常數來體現其特性的。RL一階電 路的時間常數=L/R；3.在零狀態響應公式中的()符號，代表換路后的新 穩態值，根據電路的不同情況一般穩態值也各不相 同。8.2.3 一階電路的全響應 電路中既有外輸入激勵(即有獨立源的作用)，動態元件上又存在原始能量(換路前uC和iL不為零)，當電路發生換路時，在外激勵和原始能量的共同作用下所引起的電路響應稱為全響應。上述兩電路為RC和RL典型的一階全響應電路。 R1SiC uC（t=0）US C R2 R2SiL uL(t=0)US L R1 RC和RL全響應電路的解可表示為：全響應 = 零輸入響應零狀態響應例解圖示電路在換路

15、前已達穩態，且UC(0-)=12V，試求t 0時的uC(t）和iC(t)。SiC uC（t=0） 2K 1mF 1K9V根據換路定律可得電路的時間常數零輸入響應uC(t) ： 以電容電壓為例，讓其零輸入響應用uC(t)表示；uC(t)表示零狀態響應，則有：全響應uC(t)：電容電流的全響應iC(t)：電容電壓的穩態值：零狀態響應uC(t)：由全響應結果可以看出，前面的常數6為穩態分量，后一項按指數規律變化的為暫態分量，因此：全響應=穩態分量+暫態分量為什么iC只有暫態分量而沒有穩態分量？ 如用 f (t) 表示電路的響應，f (0+)表示響應的初始值，f () 表示響應的穩定值，表示電路的時間

16、常數，則電路的全響應可表示為：8.2.4 一階電路暫態分析的三要素法 上式稱為一階電路在直流電源作用下求解電壓、電流響應的三要素公式。 式中初始值f (0+)、穩態值 f () 和時間常數稱為一階電路的三要素，按三要素公式求解響應的方法稱為三要素法。 由于零輸入響應和零狀態響應是全響應的特殊情況，因此，三要素公式適用于求一階電路的任一種響應，具有普遍適用性。 顯然，應用三要素法求解一階電路的響應時，只要求出其初始值、穩態值及時間常數，代入三要素法公式中即可。例解已知圖中U1 = 3 V， U2 = 6 V，R1= 1 k ，R2 = 2 k，C = 3 F ，t 0 時電路已處于穩態。用三要素

17、法求 t 0 時的 uC(t)，并畫出變化曲線。 R1SiC uC（t=0）U1 C R2U2先確定初始值uC(0+)：再確定穩態值uC()：最后確定時間常數：將初始值、穩態值及時間常數代入三要素公式可得電容電壓的變化曲線為：uC/VuC(t)00.632uC(t)2V4V2345應用三要素法求解響應的步驟：1. 確定初始值 f (0+) 初始值f(0+)是指任一響應在換路后瞬間t=0+ 時的數值，與本章前面所講的初始值的確定方法完全一樣。 先作t=0- 電路。確定換路前電路的狀態 uC(0-)或iL(0-), 這個狀態即為t0階段的穩定狀態，因此，此時電路中電容C視為開路，電感L用短路線代替

18、。 再作t=0+等效電路。這是利用換路后一瞬間的電路確定各變量的初始值。若uC(0+)=U0，iL(0+)=I0，在此電路中C用電壓源U0代替， L用電流源I0代替;若uC(0+) =0 或iL(0+)=0，則C用短路線代替，L視為開路。作t=0+ 等效電路后，即可按一般電阻性電路來求解其它響應的初始值。2. 確定穩態值 f () 作t=的等效電路，暫態過程結束后，電路進入 新的穩態，用此時的電路確定響應的穩態值f() 。在此電路中，電容C視為開路，電感L視為短路，可按一般電阻性電路來求各響應的穩態值。3. 確定時間常數 RC電路中，=RC；RL電路中，=L/R；其中R等于：將電路中所有獨立源

19、置零后，從C或L兩端看進去的等效電阻，(即戴維南等效電源中的R0)。參看課本P121頁例題8.5 。8.3 一階電路的階躍響應學習目標：8.3.1 單位階躍函數(t)的波形如右圖示，它在(0-，0+)時域內發生了單位階躍。單位階躍函數用(t)表示，其定義如下：理解單位階躍函數的概念及物理意義，明確單位階躍響應的實質，了解單位階躍響應在電路分析中的作用。(t) = 0 t 0-1 t 0+ (t) 01 t注意：(t) 在t=0處不連續，函數值由0躍變到1。 單位階躍既可以表示電壓，也可以表示電流，通常在電路中用來表示開關在t=0時的動作。單位階躍(t)實質上反映了電路在t=0時刻把一個零狀態電

20、路與一個1V或1A的獨立源相接通的開關動作。USS（t=0）零狀態電路(t)零狀態電路ISS（t=0）零狀態電路(t)零狀態電路(t-t0)的波形如右圖示：如果階躍發生在t=t0時刻，則可認為是(t)在時間上延遲了t0后得到的結果，此時的階躍稱為延時單位階躍，記作：(t-t0) = 0 t t0t0下圖所示矩形脈沖波f(t)，根據階躍函數的原理，可以將其看作是由一個(t)與一個(t-t0)的合成波： f(t) 01 tt1t2 f(t) 01 tt0 (t) 01 t(t-t0) 01 tt0即： f(t)=(t) (t-t0) (t-t1) 01 tt1 (t-t2) 01 tt2即： f(

21、t)=(t-t1) (t-t2)8.3.2 單位階躍響應已知電路中u=51(t-2)V，uC(0+)=10V，求電路的階躍響應i。 當激勵為單位階躍函數(t)時，電路的零狀態響應稱為單位階躍響應，簡稱階躍響應，一般用S(t)表示。解例uR=2C=1FuC(0+)_i零狀態響應分兩部分，先求uC(0+)單獨作用下的初始值：再求u單獨作用下的初始值：時間常數：應用疊加定理求得響應：思考 練習 1.單位階躍函數是如何定義的？其實質是什么？它在 電路分析中有什么作用？2.說說(-t)、(t+2)和(t-2)各對應時間軸上的哪一 點？。3.試用階躍函數分別表示下圖所示的電流和電壓。 i/A 02 t/s23114 u/V 02 t/s231