1、 第一章 一、 極限的四則運算法則 三、 復(fù)合函數(shù)的極限運算法則 第五節(jié)極限運算法則二、 求極限方法舉例1一、 極限的四則運算法則則有證: 因則有(其中為無窮小) 于是 因為也是無窮小,再利用極限與無窮小的關(guān)系定理 , 知定理結(jié)論成立 .定理 1 . 若2推論: 若且則利用保號性定理證明 .說明: 定理 1 可推廣到有限個函數(shù)相加、減的情形 .提示: 令定理 2 . 若則有提示: 利用極限與無窮小關(guān)系定理及本節(jié)定理2 證明 .說明: 定理 2 可推廣到有限個函數(shù)相乘的情形 .推論 1 .( C 為常數(shù) )推論 2 .( n 為正整數(shù) )3為無窮小(詳見P44)定理 3 . 若且 B0 , 則有

2、證: 因有其中設(shè)無窮小有界因此由極限與無窮小關(guān)系定理 , 得為無窮小,4注意：1.必須是在有限個函數(shù)，且每個函數(shù)的極限都存在的前提下應(yīng)用公式2. 兩層含義5二、求極限方法舉例例1.解:求6小結(jié):說明: 1.設(shè) n 次多項式則2.設(shè)且則有若則商的法則不能應(yīng)用.7解:商的法則不能用由無窮小與無窮大的關(guān)系,得例2. x = 3 時分母為 0 !例3.求8解:例4.(消去零因子法)求分子，分母的極限都是零.時，先約去不為零的無窮小因子后再求極限.有理函數(shù)求極限：（1）分母不等于零,直接用法則；（2）分母等于零,分子不等于零,無窮大（3）分母等于零,分子等于零,消去零因子,極限有可能存在9解:例5.已知

3、求原式10例6. 求極限解:通分11例7. 解:(無窮小因子分出法)分子,分母的極限都是無窮大.時，先用去除分子分母，分出無窮小，再求極限.求12一般有如下結(jié)果：為非負常數(shù) )無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.13例8.解:左右極限存在且相等,設(shè)求是函數(shù)的分段點，兩個單側(cè)極限為故14三、 復(fù)合函數(shù)的極限運算法則定理7. 設(shè)且 x 滿足時,又則有證: 當(dāng)時, 有當(dāng)時, 有對上述取則當(dāng)時故因此式成立.15定理7. 設(shè)且 x 滿足時,又則有 說明: 1.若定理中則類似可得2.此定理是用變量替換求極限的理論基礎(chǔ)，其中條件是不能省去的。16思 考設(shè)求（1）（

4、2）（3）問能否用定理7求=1=1=0不能17例9. 求極限解:（分子有理化）例10. 求極限解: 原式（分子分母同時有理化）18例11. 求極限解:有理化19例12.解:練習(xí)：設(shè)函數(shù)問a為何值時，存在。討論極限令當(dāng)時，當(dāng)時，20練習(xí)1.討論下列極限是否存在.2.求極限21內(nèi)容小結(jié)1. 極限運算法則(1) 極限四則運算法則(2) 復(fù)合函數(shù)極限運算法則2. 求函數(shù)極限的方法(1) 分式函數(shù)極限求法時, 用代入法( 分母不為 0 )時, 型 , 約去公因子時 , 分子分母同除最高次冪(2) 復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量時, 型 , 無極限5)利用無窮小運算性質(zhì)求極限;6)利用左右極限求分段函數(shù)極限.1)2)3)4)22思考及練習(xí)1.是否存在 ? 為什么 ?答: 不存在 .否則由利用極限四則運算法則可知存在 ,矛盾.解:2.問原式原式233. 求解法 1 原式 =解法 2 令則原式 =244. 試確定常數(shù) a 使解 :令則故因此25 作 業(yè)P48 1 （5），（7），（9），（12），（14） 2 （1），（3） 3 （1） 4