1、6 定態Schrodinger方程（一）定態Schrodinger方程 （二）Hamilton算符和能量本征值方程 （三）求解定態問題的步驟 （四）定態的性質 （一）定態Schrodinger方程討有外場情況下的定態Schrodinger 方程：令：于是：V(r)與t無關時，可以分離變量代入等式兩邊是相互無關的物理量，故應等于與 t, r 無關的常數該方程稱為定態Schrodinger 方程，(r)也可稱為定態波函數，或可看作是t=0時刻(r,0)的定態波函數。此波函數與時間t的關系是正弦型的，其角頻率=2E/h。 由de Broglie關系可知： E 就是體系處于波函數(r,t)所描寫的狀態

2、時的能量。也就是說，此時體系能量有確定的值，所以這種狀態稱為定態，波函數(r,t)稱為定態波函數。空間波函數(r)可由方程和具體問題(r)應滿足的邊界條件得出。能量有確定的值能量定值？（二）Hamilton算符和能量本征值方程（1）Hamilton 算符二方程的特點：都是以一個算符作用于(r, t)等于E(r, t)。所以這兩個算符是完全相當的（作用于波函數上的效果一樣）。是相當的。這兩個算符都稱為能量算符。也可看出，作用于任一波函數上的二算符再由 Schrodinger 方程：（2）能量本征值方程一個算符作用于一個函數上得到一個常數乘以該函數這與數學物理方法中的本征值方程相似。 數學物理方法

3、中：微分方程 + 邊界條件構成本征值問題； 將改寫成 （2）量子力學中：波函數要滿足三個標準條件，對應數學物理方法中的邊界條件，稱為波函數的自然邊界條件。因此在量子力學中稱與上類似的方程為束縛的本征值方程。常量 E 稱為算符 H 的本征值；稱為算符 H 的本征函數。 （3）由上面討論可知，當體系處于能量算符本征函數所描寫的狀態（簡稱能量本征態）時，粒子能量有確定的數值，這個數值就是與這個本征函數相應的能量算符的本征值。2.寫出Schrodinger方程1.模型4.由邊界條件（波函數標準條件）確定常數3.解方程5.確定能量6.確定歸一化常數、波函數7.討論 求解定態問題的步驟（四）定態的性質（1

4、）粒子在空間幾率密度與時間無關（2）幾率流密度與時間無關2008.5Quantum Mechanics2.6 一維無限深勢阱 金屬中的電子在構成金屬骨架的晶體點陣之間運動時，要受到點陣上正離子的作用力，這種作用力可用兩者相互作用的勢能表征。電子在這個有勢力場中運動時，通常并不能自發地掙脫出金屬表面，這表明在金屬內的電子運動到表面上時，它的總能量（動能和勢能）遠小于表面處的勢能，因而受到阻擋。因此，我們對金屬中的電子運動有時可以作這樣的簡化處理，即認為：如果沒有外界影響（如外電場、光照等），電子好似被無限高的勢能“壁”禁囿于金屬內，并在一維勢力場作用下運動著，這個抽象出來的計算模型，稱為一維無限

5、深方形勢阱，簡稱一維方勢阱。2008.5Quantum Mechanicsa金屬U(x)U=U0U=U0EU=0 x極限U=0EUUU(x)x0a 無限深方勢阱 （potential well）是實際情況的極端化和簡化。粒子在勢阱內受力為零，勢能為零。在阱內自由運動在阱外勢能為無窮大，在阱壁上受極大的斥力, 不能到阱外。2.6 一維無限深勢阱2008.5Quantum Mechanics勢函數粒子在阱內自由運動不能到阱外一、薛定諤方程和波函數02008.5Quantum Mechanics哈密頓量定態薛定諤方程阱內：0阱外：2008.5Quantum Mechanics根據波函數有限的條件阱外

6、1)阱外分區求通解2008.5Quantum Mechanics令2)阱內(為了方便將波函數腳標去掉)將方程寫成通解式中 A 和 B 是待定常數2008.5Quantum Mechanics由波函數標準條件和邊界條件定特解 在 x=0處，波函數要連續，即 在x=a 處，波函數要連續，即通解是2008.5Quantum MechanicsA 已經為零了，B 不能再為零了。即只能 sin(ka)等于零要求故能量可能值但由上式2008.5Quantum Mechanics 由波函數的歸一性質定常數 B得本征函數這組函數構成本征函數系。2008.5Quantum Mechanics定態波函數概率密度2

7、008.5Quantum Mechanics 每個可能的值叫能量本征值討論 粒子能量取值分立 (能級概念)能量量子化 基態：最低能量不為零-波粒二象性的必然結果，因為靜止的波是不存在的。2008.5Quantum Mechanics 能級間距：L-阱寬 通常表達式寫為當n 很大時,能量趨于連續, 量子效應不明顯。2008.5Quantum Mechanics本征能量和本征函數的可能取值小結：2008.5Quantum Mechanics一維無限深方勢阱中粒子的波函數和概率密度oaao2008.5Quantum Mechanics時，量子經典符合玻爾對應原理|2n|an 很大En0平均效應明顯束

8、縛態無限遠處為零的波函數所描述的狀態存在束縛態條件特點：（1）處于束縛態粒子能量是離散的（2）波函數一般可以用實函數描述（3）束縛態能量所對應本征函數不簡并2008.5Quantum Mechanics2、有限深方形勢阱 勢的特點：空間反射對稱0 xa/2-a/2V0V0V(x)E2008.5Quantum Mechanics寫出分區定態方程在阱外(經典禁介區)令方程(1)變為其解為都是方程的解？2008.5Quantum Mechanics現在是有限深的情況！2008.5Quantum Mechanics在阱內(經典允許區)令則方程變為其解可以寫為2008.5Quantum Mechanic

9、s宇稱2008.5Quantum Mechanics2008.5Quantum Mechanics令則(5)式化為由有再利用(6)式,有2008.5Quantum Mechanics試考慮：如何由 求2008.5Quantum Mechanics2008.5Quantum Mechanics2008.5Quantum Mechanics2008.5Quantum Mechanics3、束縛態與分立譜的討論分析可知，束縛態能量是分立的.相應動量也是分立的。我們也可從波函數變化規律來解釋這一現象.由定態方程這是在束縛態邊界條件下求解定態方程的結果。2008.5Quantum Mechanics解為2008.5Quantum Mechanics解為2008.5Quantum Mechanics 據此可定性討論能量可能取值及波函數的節點數。0 xa/2-a/2V0V0V(x)E2008.5Quantum Mechanics