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文檔簡介

1、第四章 微分中值定理與導數的應用第一節 微分中值定理第二節 洛必達法則第三節 函數單調性第四節 函數的極值與最值第五節 曲線的凹凸性與拐點第六節 函數圖形的描繪第一節 微分中值定理一、羅爾中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理羅爾定理 設函數 f(x) 滿足(1) 在閉區間a,b上連續,(2) 在開區間(a,b)內可導,(3) f(a)=f(b),注意：羅爾定理的條件有三個，如果缺少其中任何一個條件，定理將不成立.一、羅爾中值定理羅爾定理幾何意義：定理 設函數f(x)滿足(1) 在閉區間a,b上連續；(2) 在開區間(a,b)內可導；則至少存在一點 分析 與羅爾定理相比，拉格朗日中值定理

2、中缺少條件是f(a)=f(b).如果能由f(x)構造一個新函數 使 在a,b上滿足羅爾定理條件，且由 能導出 則問題可解決.二、拉格朗日中值定理幾何意義： 如果在a,b上的連續曲線，除端點外處處有不垂直于x軸的切線，那么在曲線弧上至少有一點 使曲線在該點處的切線平行于過曲線弧兩端點的弦線.弦線的方程為作輔助函數即可. 的幾何意義為：曲線的縱坐標與曲線弧兩端點連線對應的縱坐標之差.定理 設函數f(x)與g(x)滿足：(1)在閉區間a,b上都連續，(2)在開區間(a,b)內都可導，(3)在開區間(a,b)內，則至少存在一點在柯西中值定理中，若取g(x)=x，則得到拉格朗日中值定理.因此柯西中值定理

3、可以看成是拉格朗日中值定理的推廣.三、柯西中值定理第二節 洛必達法則一、 型未定式二、 型未定式三、其他類型未定式一、 型未定式定理1二、 型未定式定理2三、其他類型未定式例1解解法：將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型例2解例3解洛必達法則第三節 函數的單調性一、函數單調性的判定方法二、函數單調性的應用一、函數單調性的判定方法 問題的提出若 在區間（a,b)上單調增加若 在區間（a,b)上單調減少定理1（函數單調性判定方法）二、函數單調性的應用第四節 函數的極值與最值一、函數的極值二、函數極值的判定及求法三、函數的最值一、函數的極值二、函數極值的判定及求法求極值的步驟:三、函數的最值

4、閉區間上連續函數的最值步驟:1.求駐點：3.求區間端點及駐點和不可導點的函數值注意:如果區間內只有一個極值,則這個極值就是最值.(最大值或最小值)2.求不可導點：4. 比較（3）中函數值大小,最大的便是最大值,最小的便是最小值;第五節 曲線的凹凸點與拐點一、曲線凹凸性定義及其判定法二、曲線的拐點及求法一、曲線凹凸性定義及其判定法二、曲線的拐點及求法拐點的求法:第六節 函數圖形的描繪一、曲線的漸近線二、函數圖形的描繪一、曲線的漸近線1）漸近線（1）水平漸近線例如有水平漸近線兩條:（2）垂直漸近線例如有鉛直漸近線兩條:二、函數圖形的描繪一般步驟： (1)確定函數的定義域，并討論函數周期性、奇偶性； （2）討論函數的單調性，極值點和極值； （3）討論函數圖形的凹凸區

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