1、21.1函數的概念和圖象第1課時函數的概念和定義域學習目標1.理解函數的概念(難點)；2.了解構成函數的要素(重點)；3.會求一些簡單函數的定義域和函數值(重點)預習教材P2325的例2，完成下面問題：知識點一函數的概念設A，B是兩個非空的數集，如果按某種對應法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對應，那么這樣的對應叫做從A到B的一個函數，通常記為yf(x)，xA.其中，所有的輸入值x組成的集合A叫做函數yf(x)的定義域【預習評價】試用函數的定義判斷下列對應是不是函數？(1)f：求周長，A三角形，BR；(2)x123y321；(3)x123y111；(4)x111

2、y123；(5)x123y12.提示(1)不是，因為集合A不是數集(2)是對于數集A中的每一個x，在數集B中都有唯一確定的y和它對應(3)是對于數集A中的每一個x，在數集B中都有唯一確定的y和它對應(4)不是一個x1，對應了三個不同的y，違反了“唯一確定”(5)不是x3沒有相應的y與之對應檢驗兩個變量之間是否具有函數關系的方法：定義域和對應法則是否給出；根據給出的對應法則，自變量x在其定義域中的每一個值，是否都能確定唯一的函數值y.只有當(1)(2)同時滿足時，y才是x的函數知識點二函數的三要素函數的三個要素：定義域，對應法則，值域(1)定義域定義域是自變量x的取值集合有時函數的定義域可以省略

3、，如果未加特殊說明，函數的定義域就是指能使這個式子有意義的所有實數x的集合(2)對應法則對應法則f是核心，它是對自變量x進行“操作”的“程序”或者“方法”，是連接x與y的紐帶，按照這一“程序”，從定義域A中任取一個x，可得到值域y|yf(x)且xA中唯一確定的y與之對應(3)值域函數的值域是函數值的集合，通常一個函數的定義域和對應法則確定了，那么它的值域也會隨之確定【預習評價】1下列圖形可以表示為以Mx|0 x1為定義域，Nx|0 x1為值域的函數是_(填序號)解析根據函數定義任意實數x對應唯一實數y，所以(3)正確答案(3)2函數yeq f(r(x4),|x|5)的定義域為_解析依題意有eq

4、 blcrc (avs4alco1(x40，,x5，)故定義域為x|4x5，或x5答案x|4x5，或x5知識點三函數相等如果兩個函數的定義域相同，并且對應法則完全一致，我們就稱這兩個函數相等【預習評價】下列各組函數中，表示同一函數的是_(填序號)(1)y1，yeq f(x,x)(2)yeq r(x1)eq r(x1)，yeq r(x21)(3)yx，yeq r(3,x3)(4)y|x|，yeq blc(rc)(avs4alco1(r(x)2解析四個表達式中對應法則和定義域均相同的只有(3)，故填(3)答案(3)題型一函數概念【例1】判斷下列對應是否為從集合A到集合B的函數(1)AR，By|y0

5、，f：xy|x|；(2)AZ，BZ，f：xyx2；(3)AZ，BZ，f：xyeq r(x)；(4)Ax|1x1，B0，f：xy0.解(1)當取值為0時A中在B中沒有對應值，故不是集合A到集合B的函數(2)對于集合A中的任意一個整數x，在集合B中都有唯一一個確定的整數x2與其對應，故是集合A到集合B的函數(3)集合A中的負整數沒有平方根，在集合B中沒有對應的值，故不是集合A到集合B的函數(4)對于集合A中任意一個實數x，按照對應法則f：xy0在集合B中都有唯一一個確定的數0和它對應，故是集合A到集合B的函數規律方法(1)判斷一個對應法則是不是函數關系的方法：A，B必須都是非空數集；A中任意一個數

6、在B中有唯一確定的實數和它對應注意：A中元素無剩余，B中元素允許有剩余(2)函數的定義中“任意一個x”與“有唯一確定的y”說明函數中兩變量x，y的對應關系是“一對一”或者是“多對一”而不能是“一對多”【訓練1】下列對應或關系式中是A到B的函數的有_AR，BR，x2y21；A1,2,3,4，B0,1，對應關系如圖：AR，BR，f：xyeq f(1,x2)；AZ，BZ，f：xyeq r(2x1).解析對于，x2y21可化為yeq r(1x2)，顯然對任意xA，y值不唯一，故不符合；對于，符合函數的定義；對于，2A，但在集合B中找不到與之相對應的數，故不符合；對于，1A，但在集合B中找不到與之相對應

7、的數，故不符合答案題型二求函數的定義域【例2】求下列函數的定義域：(1)yeq f(x12,x1)eq r(1x)；(2)yeq f(x1,|x|x).解(1)要使函數有意義，自變量x的取值必須滿足eq blcrc (avs4alco1(x10，,1x0，)即eq blcrc (avs4alco1(x1，,x1.)所以函數的定義域為x|x1，且x1(2)要使函數有意義，必須滿足|x|x0，即|x|x，x0.函數的定義域為x|x0規律方法(1)當函數是由解析式給出時，求函數的定義域就是求使解析式有意義的自變量的取值集合，必須考慮下列各種情形：負數不能開偶次方，所以偶次根號下的式子大于或等于零；分

8、式中分母不能為0；零次冪的底數不為0；如果f(x)由幾部分構成，那么函數的定義域是使各部分都有意義的實數的集合；如果函數有實際背景，那么除符合上述要求外，還要符合實際情況(2)求函數的定義域，一般是轉化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結果必須用集合或區間來表示【訓練2】求下列函數的定義域：(1)yeq f(x10,r(x2)；(2)yeq r(2x3)eq f(1,r(2x)eq f(1,x).解(1)由于00無意義，故x10，即x1.又x20，x2，所以x2且x1.所以函數yeq f(x10,r(x2)的定義域為x|x2，且x1(2)要使函數有意義，需eq blcrc (

9、avs4alco1(2x30，,2x0，,x0，)解得eq f(3,2)x2，且x0，所以函數yeq r(2x3)eq f(1,r(2x)eq f(1,x)的定義域為eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(f(3,2)x0時，求f(a)，f(a1)的值解(1)由eq blcrc (avs4alco1(x30，,x20，)得函數的定義域為3，2)(2，)(2)f(3)1，f(eq f(2,3)eq f(3,8)eq f(r(33),3).(3)當a0時，f(a)eq r(a3)eq f(1,a2)，a1(1，)，f(a1)eq r(a2)eq f(1,a1).

10、能力提升8函數f(x)(xa)2滿足：對任意的xR，總有f(1x)f(1x)，則實數a_.解析f(1x)f(1x)即(x1a)2(1ax)2，化簡得4(1a)x0恒成立，故a1.答案19函數yeq r(mx22mxm2)的定義域是R，則實數m的取值范圍是_解析當m0時，符合題意；當m0時，由題意知mx22mxm20對xR恒成立，則eq blcrc (avs4alco1(m0，,4m24mm20，)解得m0.綜上，m0.答案0，)10若函數f(x)ax2eq r(2)，a為一個正常數，且f(f(eq r(2)eq r(2)，那么實數a_.解析f(eq r(2)2aeq r(2)，所以f(f(eq

11、 r(2)f(2aeq r(2)a(2aeq r(2)2eq r(2)，所以a(2aeq r(2)2eq r(2)eq r(2)，a(2aeq r(2)20，因為a0，所以(2aeq r(2)20，所以aeq f(r(2),2).答案eq f(r(2),2)11設f(x)2x22，g(x)eq f(1,x2)，則g(f(2)_.解析f(2)222210，g(f(2)g(10)eq f(1,102)eq f(1,12).答案eq f(1,12)12若函數f(x)的定義域為0,1，求g(x)f(xm)f(xm)(m0)的定義域解由題意得eq blcrc (avs4alco1(0 xm1，,0 xm

12、1，)即eq blcrc (avs4alco1(mx1m，,mx1m.)m0，mm,1m1m，而m與1m大小不定，對m與1m的大小討論如下：若m1m，即meq f(1,2)，則xmeq f(1,2)；若m1m，即meq f(1,2)，則mx1m；若m1m，即meq f(1,2)，則x，與題意不符，故m不可能大于eq f(1,2).綜上所述，當0meq f(1,2)時，所求定義域為x|mx1m當meq f(1,2)時，函數g(x)不存在13(選做題)(1)已知f(x)的定義域為0,1，求函數f(x21)的定義域；(2)已知f(2x1)的定義域為0,1，求f(x)的定義域；(3)已知函數yf(x)的定義域為0,2，求函數g(x)eq f(f2x,2x1)的定義域解(1)f(x21)中的x21的范圍與f(x)中的x的取值范圍相同0 x211，x0，即f(x21)的定義域為0(2)由題意知f(2x1)中，x0,1，12